中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)07幾何最值問題解題策略-解析

中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)第七講幾何最值問題解題策略【考題分析】最值問題有代數(shù)最值問題和幾何最值問題,主要在中考?jí)狠S題中出現(xiàn)。最值問題出現(xiàn)比較高的主要有利用重要的幾何結(jié)論(如兩點(diǎn)之間線段最短、三角形兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊、垂線段最短等)以及用一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)來求最值問題。【知識(shí)歸納】1.解決在求幾何圖形中的周長(zhǎng)或線段長(zhǎng)度最值時(shí)的方法：a.先將要求線段(要求的量)用未知數(shù)x表示出來,建立函數(shù)模型（常用勾股定理或三角形相似求得函數(shù)關(guān)系式）；b.再用函數(shù)的增減性或最值來求解即可。2.解決利用對(duì)稱的性質(zhì)求兩條線段之和最小值的問題的方法:如圖,要求直線l上一動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)A,B距離之和的最小值,先作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A',連接A'B,則A'B與直線l的交點(diǎn)即為P點(diǎn),根據(jù)對(duì)稱性可知此時(shí)A'B的長(zhǎng)即為PA+PB的最小值,求出A'B的值即可?！绢}型解析】題型1:三角形中最值問題例題：（2022?湖州）在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格圖形中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．如圖，在6×6的正方形網(wǎng)格圖形ABCD中，M，N分別是AB，BC上的格點(diǎn)，BM＝4，BN＝2．若點(diǎn)P是這個(gè)網(wǎng)格圖形中的格點(diǎn)，連結(jié)PM，PN，則所有滿足∠MPN＝45°的△PMN中，邊PM的長(zhǎng)的最大值是（）A．4 B．6 C．2 D．3【分析】在網(wǎng)格中，以MN為直角邊構(gòu)造一個(gè)等腰直角三角形，使PM最長(zhǎng)，利用勾股定理求出即可．【解答】解：如圖所示：△MNP為等腰直角三角形，∠MPN＝45°，此時(shí)PM最長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理得：PM＝＝＝2．故選：C．【方法指導(dǎo)】此題考查了相似三角形的判定，以及勾股定理，熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵．題型2:四邊形中最值問題例題:（2022?內(nèi)江）如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，點(diǎn)E、F分別是AB、DC上的動(dòng)點(diǎn)，EF∥BC，則AF+CE的最小值是10．【分析】延長(zhǎng)BC到G，使CG＝EF，連接FG，則四邊形EFGC是平行四邊形，得CE＝FG，則AF+CE＝AF+FG，可知當(dāng)點(diǎn)A、F、G三點(diǎn)共線時(shí)，AF+CE的值最小為AG，利用勾股定理求出AG的長(zhǎng)即可．【解答】解：延長(zhǎng)BC到G，使CG＝EF，連接FG，∵EF∥CG，EF＝CG，∴四邊形EFGC是平行四邊形，∴CE＝FG，∴AF+CE＝AF+FG，∴當(dāng)點(diǎn)A、F、G三點(diǎn)共線時(shí)，AF+CE的值最小為AG，由勾股定理得，AG＝＝＝10，∴AF+CE的最小值為10，故答案為：10．【方法指導(dǎo)】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，作輔助線將AF+CE的最小值轉(zhuǎn)化為AG的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．題型3:圓中最值問題例題：（2022?瀘州）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝2，半徑為1的⊙O在Rt△ABC內(nèi)平移（⊙O可以與該三角形的邊相切），則點(diǎn)A到⊙O上的點(diǎn)的距離的最大值為2+1．【分析】連接OE、OF，根據(jù)正切的定義求出∠ABC，根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到∠OBF＝30°，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理計(jì)算，得到答案．【解答】解：當(dāng)⊙O與BC、BA都相切時(shí)，連接AO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)D，則AD為點(diǎn)A到⊙O上的點(diǎn)的距離的最大值，設(shè)⊙O與BC、BA的切點(diǎn)分別為E、F，連接OE、OF，則OE⊥BC，OF⊥AB，∵AC＝6，BC＝2，∴tan∠ABC＝＝，AB＝＝4，∴∠ABC＝60°，∴∠OBF＝30°，∴BF＝＝，∴AF＝AB﹣BF＝3，∴OA＝＝2，∴AD＝2+1，故答案為：2+1．【方法指導(dǎo)】本題考查的是切線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、切線長(zhǎng)定理，根據(jù)題意得出AD為點(diǎn)A到⊙O上的點(diǎn)的距離的最大值是解題的關(guān)鍵．此題綜合性強(qiáng),解題方法很多,考查范圍較廣,與初中數(shù)學(xué)很多內(nèi)容有關(guān),如勾股定理、圓周角定理及推論、垂徑定理、相似、三角函數(shù)、二次函數(shù)、垂線段的性質(zhì)、二次根式的計(jì)算與化簡(jiǎn)等.考查了多種數(shù)學(xué)思想,如建模思想、化歸思想等.此題難度中等,有一定的靈活性,考生不易拿滿分.【提升訓(xùn)練】1.（2022?重慶）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，D為BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為AC，AD上任意一點(diǎn)，連接EF，將線段EF繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段EG，連接FG，AG．（1）如圖1，點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，且GF的延長(zhǎng)線過點(diǎn)B，若點(diǎn)P為FG的中點(diǎn)，連接PD，求PD的長(zhǎng)；（2）如圖2，EF的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)M，點(diǎn)N在AC上，∠AGN＝∠AEG且GN＝MF，求證：AM+AF＝AE；（3）如圖3，F(xiàn)為線段AD上一動(dòng)點(diǎn)，E為AC的中點(diǎn)，連接BE，H為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接EH，將△BEH沿EH翻折至△ABC所在平面內(nèi)，得到△B′EH，連接B′G，直接寫出線段B′G的長(zhǎng)度的最小值．【分析】（1）連接CP，判斷出△FCG為等腰直角三角形，進(jìn)而判斷出CP⊥FG，進(jìn)而得出DP＝BC，再求出BC，即可求出答案；（2）過點(diǎn)E作EH⊥AE交AD的延長(zhǎng)線于H，先判斷出△EGA≌△EFH（SAS），得出AG＝FH，∠EAG＝∠H＝45°，進(jìn)而判斷出△AGN≌△AMF（AAS），即可得出結(jié)論；（3）先求出BE＝，再判斷出點(diǎn)B'是以點(diǎn)E為圓心，為半徑的圓上，再判斷出點(diǎn)G在點(diǎn)A右側(cè)過點(diǎn)A與AD垂直且等長(zhǎng)的線段上，進(jìn)而得出EF最大時(shí)，B'G最小，即可求出答案．【解答】（1）解：如圖1，連接CP，由旋轉(zhuǎn)知，CF＝CG，∠FCG＝90°，∴△FCG為等腰直角三角形，∵點(diǎn)P是FG的中點(diǎn)，∴CP⊥FG，∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴DP＝BC，在Rt△ABC中，AB＝AC＝2，∴BC＝AB＝4，∴DP＝2；（2）證明：如圖2，過點(diǎn)E作EH⊥AE交AD的延長(zhǎng)線于H，∴∠AEH＝90°，由旋轉(zhuǎn)知，EG＝EF，∠FEG＝90°，∴∠FEG＝∠AEH，∴∠AEG＝∠HEF，∵AB＝AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝45°，∴∠H＝90°﹣∠CAD＝45°＝∠CAD，∴AE＝HE，∴△EGA≌△EFH（SAS），∴AG＝FH，∠EAG＝∠H＝45°，∴∠EAG＝∠BAD＝45°，∵∠AMF＝180°﹣∠BAD﹣∠AFM＝135°﹣∠AFM，∵∠AFM＝∠EFH，∴∠AMF＝135°﹣∠EFH，∵∠HEF＝180°﹣∠EFH﹣∠H＝135°﹣∠EFH，∴∠AMF＝∠HEF，∵△EGA≌△EFH，∴∠AEG＝∠HEF，∵∠AGN＝∠AEG，∴∠AGN＝∠HEF，∴∠AGN＝∠AMF，∵GN＝MF，∴△AGN≌△AMF（AAS），∴AG＝AM，∵AG＝FH，∴AM＝FH，∴AF+AM＝AF+FH＝AH＝AE；（3）解：∵點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，∴AE＝AC＝，根據(jù)勾股定理得，BE＝＝，由折疊直，BE＝B'E＝，∴點(diǎn)B'是以點(diǎn)E為圓心，為半徑的圓上，由旋轉(zhuǎn)知，EF＝EG，∴點(diǎn)G在點(diǎn)A右側(cè)過點(diǎn)A與AD垂直且等長(zhǎng)的線段上，∴B'G的最小值為B'E﹣EG，要B'G最小，則EG最大，即EF最大，∵點(diǎn)F在AD上，∴點(diǎn)F在點(diǎn)A或點(diǎn)D時(shí)，EF最大，最大值為，∴線段B′G的長(zhǎng)度的最小值﹣．【方法指導(dǎo)】此題是幾何變換綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)造出全等三角形是解本題的關(guān)鍵．2.（2022?臺(tái)州）如圖，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝6．折疊該菱形，使點(diǎn)A落在邊BC上的點(diǎn)M處，折痕分別與邊AB，AD交于點(diǎn)E，F(xiàn)．當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)B重合時(shí)，EF的長(zhǎng)為3；當(dāng)點(diǎn)M的位置變化時(shí)，DF長(zhǎng)的最大值為6﹣3．【分析】如圖1中，求出等邊△ADB的高DE即可．如圖2中，連接AM交EF于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OK⊥AD于點(diǎn)K，交BC于點(diǎn)T，過點(diǎn)A作AG⊥CB交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，取AD的中點(diǎn)R，連接OR．證明OK＝，求出AF的最小值，可得結(jié)論．【解答】解：如圖1中，∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝BC＝CD，∠A＝∠C＝60°，∴△ADB，△BDC都是等邊三角形，當(dāng)點(diǎn)M與B重合時(shí)，EF是等邊△ADB的高，EF＝AD?sin60°＝6×＝3．如圖2中，連接AM交EF于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OK⊥AD于點(diǎn)K，交BC于點(diǎn)T，過點(diǎn)A作AG⊥CB交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，取AD的中點(diǎn)R，連接OR．∵AD∥CG，OK⊥AD，∴OK⊥CG，∴∠G＝∠AKT＝∠GTK＝90°，∴四邊形AGTK是矩形，∴AG＝TK＝AB?sin60°＝3，∵OA＝OM，∥AOK＝∠MOT，∠AKO＝∠MTO＝90°，∴△AOK≌△MOT（AAS），∴OK＝OT＝，∵OK⊥AD，∴OR≥OK＝，∵∠AOF＝90°，AR＝RF，∴AF＝2OR≥3，∴AF的最小值為3，∴DF的最大值為6﹣3．故答案為：3，6﹣3．【方法指導(dǎo)】本題考查菱形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)填空常用輔助線，構(gòu)造特殊四邊形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．3.（2022?廣元）在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣x﹣2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，并與x軸的正半軸交于點(diǎn)C．（1）求a，b滿足的關(guān)系式及c的值；（2）當(dāng)a＝時(shí)，若點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△ABP周長(zhǎng)的最小值；（3）當(dāng)a＝1時(shí)，若點(diǎn)Q是直線AB下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)Q作QD⊥AB于點(diǎn)D，當(dāng)QD的值最大時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)及QD的最大值．【分析】（1）在直線y＝﹣x﹣2中，令x＝0和y＝0可得點(diǎn)A和B的坐標(biāo)，代入拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）中可解答；（2）連接BC交直線x＝1于點(diǎn)P，利用兩點(diǎn)之間線段最短可得出此時(shí)△PAB的周長(zhǎng)最小，從而可以解答；（3）根據(jù)a＝1時(shí)，可得拋物線的解析式y(tǒng)＝x2+x﹣2，如圖2，過點(diǎn)Q作QF⊥x軸于F，交AB于E，則△EQD是等腰直角三角形，設(shè)Q（m，m2+m﹣2），則E（m，﹣m﹣2），表示QE的長(zhǎng)，配方后可解答．【解答】解：（1）直線y＝﹣x﹣2中，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣2，∴B（0，﹣2），當(dāng)y＝0時(shí)，﹣x﹣2＝0，∴x＝﹣2，∴A（﹣2，0），將A（﹣2，0），B（0，﹣2）代入拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）中，得，，∴2a﹣b＝1，c＝﹣2；（2）如圖1，當(dāng)a＝時(shí)，2×﹣b＝1，∴b＝﹣，∴拋物線的解析式為：y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣1）2﹣，∴拋物線的對(duì)稱軸是：x＝1，由對(duì)稱性可得C（4，0），要使△ABP的周長(zhǎng)最小，只需AP+BP最小即可，如圖1，連接BC交直線x＝1于點(diǎn)P，因?yàn)辄c(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，由對(duì)稱性可知：AP+BP＝PC+BP＝BC，此時(shí)△ABP的周長(zhǎng)最小，所以△ABP的周長(zhǎng)為AB+BC，Rt△AOB中，AB＝＝＝2，Rt△BOC中，BC＝＝＝2，∴△ABP周長(zhǎng)的最小值為2+2；（3）當(dāng)a＝1時(shí)，2×1﹣b＝1，∴b＝1，∴y＝x2+x﹣2，∴A（﹣2，0），B（0，﹣2），C（1，0），∴OA＝OB，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠OAB＝45°，如圖2，過點(diǎn)Q作QF⊥x軸于F，交AB于E，則△EQD是等腰