一元一次方程

一元一次方程第一頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六一、提出問題：

甲、乙兩個班，原來甲班比乙班多20人．現(xiàn)在學(xué)校從甲班抽調(diào)14人去乙班，則甲班人數(shù)正好是乙班人數(shù)的7/8，求甲、乙兩個班的現(xiàn)有人數(shù)．第二頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六算術(shù)解法：甲班原比乙班多20人，乙班現(xiàn)比甲班多14×2-20（人），相當(dāng)于乙班現(xiàn)有人數(shù)的.因此，乙班現(xiàn)有人數(shù)為，甲班現(xiàn)有人數(shù)為第三頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六代數(shù)解法：設(shè)甲班現(xiàn)有x人，則乙班現(xiàn)有x+14×2-20=x+8（人），因此，即甲班現(xiàn)有56人，乙班現(xiàn)有64人.第四頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六對比兩種解法可以看出：算術(shù)解法是把未知量置于特殊地位，設(shè)法用已知量組成的混合運算式表示出來(在條件較復(fù)雜時，列出這樣的式子往往比較困難)；代數(shù)解法是把未知量與已知量同等對待(使未知量在分析問題的過程中也能發(fā)揮作用)，找出各量之間的等量關(guān)系，建立方程．因此，代數(shù)解法的“直截了當(dāng)”比算術(shù)解法的“拐彎抹角”要方便得多．但是，在由算術(shù)解法向代數(shù)解法轉(zhuǎn)化的過程中，同學(xué)們原來的思維定勢不同程度的成為接受新思想的障礙，算術(shù)解法的思想會時隱時現(xiàn)．要充分發(fā)揮代數(shù)解法的優(yōu)越性，必須有意識地進(jìn)行對比性訓(xùn)練解題，使同學(xué)們從思想上認(rèn)識到學(xué)習(xí)代數(shù)解法的必要性，而自覺地運用．第五頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六二、知識梳理：1、列方程解應(yīng)用題:學(xué)習(xí)列方程解應(yīng)用題是十分重要的，首先從學(xué)習(xí)內(nèi)容上講，中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)離不開方程，離不開利用列方程來解決應(yīng)用問題，特別是我們已經(jīng)明確了這樣一種思想：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)重在應(yīng)用．因此列方程解應(yīng)用題中蘊含的思想方法對學(xué)習(xí)者而言是十分重要的．第二，通過列方程解應(yīng)用題可以培養(yǎng)和提高分析問題和解決問題的能力．這對于一個人的發(fā)展也是十分重要的．第六頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六

列方程過程的實質(zhì)有多種說法：如“通過分析，找出等量關(guān)系，而列出方程”，或“把題目中蘊含的相等關(guān)系找出來，列出方程”．這些說法都指明了列方程的方向——找出相等關(guān)系．一般步驟如下：(1)審題、弄清題意，分清哪些是已知量，哪些是未知量．(2)設(shè)未知數(shù)，選一個適當(dāng)?shù)奈粗吭O(shè)為未知數(shù)x．(3)列方程．(4)解所列的方程．(5)根據(jù)題意，作出答案．第七頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六具體可從以下三條途徑出發(fā)研究解決：(1)圖解分析：分析問題中的數(shù)量關(guān)系時，借助圖形，可以使抽象的關(guān)系直觀化、簡單化，根據(jù)題意畫圖列式是對同學(xué)們的思維能力的有效培養(yǎng)．這里，應(yīng)要求“圖要達(dá)意”，避免圖上發(fā)生錯誤而造成列式錯誤．第八頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六(2)列表分析：列表法的優(yōu)點是通過列表歸類使對應(yīng)量之間關(guān)系較為清晰，往往有利于運用比例分析法顯示解題思路．(3)框圖分析：框圖分析是由文字語言、符號語言及長方格通過題中相等關(guān)系確立而成，容易操作，不拘一格。第九頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六例1、某連隊從駐地出發(fā)前往某地執(zhí)行任務(wù)．行軍速度是6千米/時，18分鐘后，駐地接到緊急命令，派遣通訊員小王必須在一刻鐘內(nèi)把命令傳達(dá)給連隊．小王騎自行車以14千米/時的速度沿同一路線追趕連隊．問是否能在規(guī)定時間內(nèi)完成任務(wù)．第十頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六例2、汽船從甲地順?biāo)_往乙地，所用時間比從乙地逆水開往甲地少1.5小時．已知此船在靜水中速度為18千米/時，水流速度為2千米/時．求甲、乙兩地間的距離．第十一頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六2、抓住“不變量”解應(yīng)用題列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵是尋找數(shù)量間的相等關(guān)系，這要從分析題中的基本量入手去尋找．一般說來，一個問題中有幾種基本量就可以找出幾種相等關(guān)系．但有些應(yīng)用題中的相等關(guān)系不外露，如能抓住問題中的“不變量”即可得到相等關(guān)系，從而列出方程，甚至能找出多種解法，拓寬解題思路．第十二頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六例3、某工人在一定時間內(nèi)加工一批零件，如果每天加工44個就比規(guī)定任務(wù)少加工20個；如果每天加工50個，則可超額10個．求規(guī)定加工的零件數(shù)和計劃加工的天數(shù)．分析：本題每天加工的零件數(shù)是變量，實際做的工作總量也隨著變化，但有兩個不變量，即計劃加工的時間不變，規(guī)定任務(wù)不變，這就是題目中的等量關(guān)系，故可得到兩種解法．第十三頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六例4、一艘輪船從甲地順流而下8小時到達(dá)乙地，原路返回要12小時，才能到達(dá)甲地，已知水流速度是每小時3千米，求甲、乙兩地的距離．分析：本題中甲、乙兩地間的距離與輪船本身的速度(靜水速度)是“不變量”，分別抓住這兩個“不變量”即得兩種不同的等量關(guān)系．可從兩個不同方面設(shè)出未知數(shù)．第十四頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六

有關(guān)溶液的濃度應(yīng)用題是初中代數(shù)中列方程解應(yīng)用題的一類基本題．解這類應(yīng)用題，關(guān)鍵的問題是：抓住不變量(如稀釋前溶質(zhì)重量等于稀釋后溶質(zhì)重量)列方程．第十五頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六（1）求溶質(zhì)例5、現(xiàn)有濃度為20％的鹽水300克和濃度為30％的鹽水200克，需配制成濃度為60％的鹽水，問兩種溶液全部混合后，還需加鹽多少克？解：設(shè)兩種溶液全部混合后，還需加鹽x克，注意混合前后溶質(zhì)總量不變，依題意得方程：20％×300+30％×200+x=60％(300+200+x)．化簡得2x=900．解這個方程得x=450．答：兩種溶液全部混合后，還需加鹽450克．第十六頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六（2）求溶劑例6、要把濃度為90％的酒精溶液500克，稀釋成濃度為75％的酒精溶液，需加水多少克．解：設(shè)需加水x克，因為加水前后溶質(zhì)數(shù)量不變，依題意得方程75％(x+500)=90％×500．化簡得15x=1500．解這個方程得x=100．答：需加水100克．第十七頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六（3）求溶液例7、有若干克4％的鹽水蒸發(fā)了一些水分后，變成10％的鹽水，接著加進(jìn)4％的鹽水300克，混合后變?yōu)?.4％的鹽水，問:最初有鹽水多少克？解：設(shè)最初有鹽水x克，注意混合后的含鹽量，依題意得方程化簡得1.44x=720．解這個方程得x=500．答：最初有鹽水500克．第十八頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六（4）求濃度例8、甲種硫酸溶液含硫酸的百分?jǐn)?shù)是乙種硫酸溶液的1.5倍，甲種硫酸溶液5份與乙種硫酸溶液3份混合成的硫酸溶液含硫酸52.5％，求兩種硫酸溶液含硫酸的百分?jǐn)?shù)．解：設(shè)乙種硫酸溶液含硫酸的百分?jǐn)?shù)為x，則甲種硫酸溶液含硫酸的百分?jǐn)?shù)為1.5x，依題意得方程5×1.5x+3x=52.5％×8．化簡得105x=42．解這個方程得x=0.4=40％，則1.5x=1.5×0.4=0.6=60％．答：甲種硫酸溶液含硫酸的百分?jǐn)?shù)是60％，乙種硫酸溶液含硫酸的百分?jǐn)?shù)是40％．第十九頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六從以上幾例可以看出：抓住不變量關(guān)系是解決有關(guān)百分比濃度應(yīng)用題中所涉及的各種量的關(guān)鍵．第二十頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六3、用整體思想解應(yīng)用題數(shù)學(xué)崇尚簡捷．初中不少數(shù)學(xué)應(yīng)用題若能著眼于整體結(jié)構(gòu)，往往能觸及問題的本質(zhì)，從而獲得簡捷明快的解法．把整體思想解題用于教學(xué)不但可以培養(yǎng)學(xué)生著眼于整體的意識，而且有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的敏捷性．第二十一頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六例9、甲、乙兩人分別從A、B兩地同時相向出發(fā)，在離B地6千米處相遇后又繼續(xù)前進(jìn)，甲到B地，乙到A地后，都立即返回，又在離A地8千米處相遇，求A、B兩地間的距離．第二十二頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六分析：用常規(guī)方法解決本題具有一定難度，若把兩個運動過程一起處理，便可使問題迎刃而解．解：如圖，第一次相遇，甲、乙兩人合走一個全程，對應(yīng)乙走6千米；第二次相遇，甲、乙兩人合走了三個全程，故乙共走了18千米，設(shè)A、B兩地間的距離為x千米，第二次相遇時乙走了(x+8)千米，所以x+8=18，x=10．答：A、B兩地間距離為10千米．第二十三頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六例10、甲、乙兩人分別從A、B兩地相向而行，若兩人同時出發(fā)，則經(jīng)4小時相遇；若甲先出發(fā)3小時后乙再出發(fā)，則經(jīng)2小時相遇，問甲、乙單獨走完AB這段路程各需幾小時？解：由兩人同時出發(fā)經(jīng)4小時相遇，知兩人2小時走全程的一半；又由甲出發(fā)3小時后乙再出發(fā)，經(jīng)2小時相遇，知甲3小時走完全程的一半．故甲走完全程需6小時．因甲走5小時，乙走2小時可走完全程，而甲6小時走完全程，故甲走1小時的路程乙需走2小時，故乙走完全程需12小時．答：單獨走完全程，甲需6小時，乙需12小時．第二十四頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六注意：用常規(guī)方法解題是必要的，但本題運用整體思想求解不但看透了本質(zhì)，而且利于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力．第二十五頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六4、合理設(shè)元巧解一元一次方程應(yīng)用題：

列方程解應(yīng)用題在初中代數(shù)中既是重點，又是難點．怎樣列方程解應(yīng)用題，除了找出題中的相等關(guān)系外，關(guān)鍵還在于如何設(shè)元．在列方程解應(yīng)用題時，大多時候是將要求的量設(shè)為未知元(設(shè)直接元)．而有時設(shè)直接元時，不易找出題目中的相等關(guān)系，此時則應(yīng)恰當(dāng)選擇題目中要求的未知量外有關(guān)的某個量為未知元(設(shè)間接元)，求出這些量后，再用這些量求出要求的量．還有些時候除了設(shè)直接元或間接元，還要設(shè)輔助列方程的量為未知元(設(shè)輔元)，它在方程中，不需求出或不能求出，但便于建立相等關(guān)系列方程．

第二十六頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六（1）不同的設(shè)元有不同的方程

應(yīng)用題一般有多個未知量，因而有多種設(shè)元方法，從而有多種不同的方程．例11、從A地到B地，先下山然后走平路，某人騎自行車以每小時12千米的速度下山，而以每小時9千米的速度通過平路，到達(dá)B地共用55分鐘．回來時以每小時8千米的速度通過平路而以每小時4千米的速度上山，回到A地共用1.5小時，從A地到B地有多少千米？第二十七頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六（2）直接設(shè)元與間接設(shè)元一般情況下采用直接設(shè)元，即問什么就設(shè)什么，但有時根據(jù)問題的性質(zhì)，選設(shè)適當(dāng)?shù)拈g接未知量，就可能使數(shù)量之間的復(fù)雜關(guān)系變得比較簡單，容易列出關(guān)于間接未知量的方程來．第二十八頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六例12、從家里騎車到火車站，若每小時行30千米，則比火車開車時間早到15分；若每小時行18千米，則比火車開車時間遲到15分．現(xiàn)要求在火車開車前10分鐘到達(dá)火車站，騎車的速度應(yīng)是多少？第二十九頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六例13、設(shè)有五個數(shù)，其中每四個數(shù)之和分別是15、22、23、24、32，求這五個數(shù)．分析：這個題目如果設(shè)直接元，就應(yīng)設(shè)五個未知元，涉及幾個未知數(shù)的問題，須列出幾個方程，不易解出．因此，我們想到設(shè)間接元的方法，題中已知五個數(shù)中四個數(shù)之和，若設(shè)五個數(shù)總和為x，則這五個數(shù)分別是：x-15，x-22，x-23，x-24，x-32，它們的和等于x．解：(設(shè)間接元)設(shè)這五個數(shù)的和是x則(x-15)+(x-22)+(x-23)+(x-24)+(x-32)=x．解方程得x=29．這五個數(shù)分別為：29-15=14，29-22=7，29-23=6，29-24=5，29-32=-3．答：這五個數(shù)是14，7，6，5，-3．第三十頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六（3）加設(shè)輔助元有些應(yīng)用題中，常隱含一些未知的常量，這些量對于求解無直接聯(lián)系，但如果不指明這些量的存在，則難求其解．因而常把這些未知的常量設(shè)為參數(shù)，作為橋梁幫助思考，這就是加設(shè)輔助元．第三十一頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六例14、一輪船從重慶到武漢需5晝夜，從武漢到重慶需7晝夜，試問一木排從重慶漂流到武漢需要多少時間？分析：該題若設(shè)直接元，即木排漂流所需時間，很難找到相等關(guān)系來列方程，但由題意知輪船從重慶到武漢為順?biāo)叫?，從武漢到重慶為逆水航行，輪船在靜水中速度不變，木排漂流速度為水流速度，引入輔助元：重慶到武漢輪船行駛路程為s，水流速度為v，由輪船在靜水中速度不變可列方程．第三十二頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六說明：在列出一元一次方程解應(yīng)用題時，因為方程中只有一個未知數(shù)，所以不管應(yīng)用題中有幾問，都只能設(shè)一個未知數(shù)，但有時只設(shè)出一個未知數(shù)，有關(guān)的等量關(guān)系很難表達(dá)，這樣就需要在方程中引入一個輔助元，便于列出方程表達(dá)等量關(guān)系，這個輔助元在解的過程中，常常被約掉，實際上還是一個未知數(shù)．第三十三頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六例15、某人上午8時乘裝有竹桿的船逆流而上，10時半發(fā)現(xiàn)一捆竹桿掉入河中，他立即掉頭順流去追，用30分追上了竹桿．竹桿是何時掉入河中的？注：在以上求解中，我們是以河岸為參照物來設(shè)定船速V和水流速度v的．并且，我們發(fā)現(xiàn)船速和水速實際上對結(jié)果都無影響．可以說這里的參數(shù)V、v是設(shè)而不求，只起到一個中間過渡作用．第三十四頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六例16、一組割草人要把兩塊到處長得一樣密的草地里的草割完，大的一塊比小的一塊大一倍，上半天全部人在大草地割草；下半天一半人仍留在大草地上，到晚上把草割完，另一半人去割小草地的草，到晚上還剩下一小塊，最后由一人再用一天的時間剛好割完．如果這組割草人每天割草速度是相等的，問他們共有多少人？第三十五頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六（4）整體設(shè)元

在某些應(yīng)用題中，直接設(shè)元相當(dāng)困難，就是間接設(shè)元，也會感到未知數(shù)太多，已知關(guān)系太少．如果在未知數(shù)的某一部分中存在一個整體關(guān)系，可設(shè)這一部分為一個未知量，這樣就減少了設(shè)元的個數(shù)，從而易列出方程(組)．這種設(shè)元方法稱之為整體設(shè)元．第三十六頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六例17、一個五位數(shù)的最高位上數(shù)字是5，若將這個5移至最右邊的數(shù)位上，這所得的五位數(shù)比原數(shù)的2/3多7001，求原五位數(shù)。【注】此題中的原五位數(shù)后四位組成的數(shù)在題中沒有變化，故可設(shè)其為x．若分別設(shè)個十百千上的數(shù)字，則有四個未知量，僅一個相等關(guān)系，無法解題．第三十七頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六列方程解應(yīng)用題中的設(shè)元問題是一個十分廣泛、靈活而有趣的內(nèi)容，沒有一種萬能的方法，沒有一種必由的途徑．總之，設(shè)元的宗旨要使列方程的思路簡捷，列出的方程的解法容易．在學(xué)習(xí)中必須靈活運用．切忌生搬硬套．

第三十八頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六三、小結(jié)：

列方程解應(yīng)用題的原理是：正確列出的方程能準(zhǔn)確地表達(dá)出題目中各量之間的關(guān)系．就是說，方程即表達(dá)了題意，這樣方程中未知數(shù)的值能使方程成立，也就符合題意．我們對間接未知數(shù)的作用有了一個初步的了解，它是我們從已知通向未知，從復(fù)雜通向簡單，從困難通向容易的一座橋