2022年福建省南平市廣通中學(xué)高一數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析

2022年福建省南平市廣通中學(xué)高一數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩個(gè)小組（每小組4人）在期末考試中的數(shù)學(xué)成績(jī)．乙組記錄中有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊，無(wú)法確認(rèn)，在圖中以α表示．已知甲、乙兩個(gè)小組的數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分相同，則乙組數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)為（）A．92B．93C．93.5D．94參考答案：B考點(diǎn)：眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)．

專題：計(jì)算題；概率與統(tǒng)計(jì)．分析：先根據(jù)甲、乙兩組的平均分相同，求出α的值，再求乙組的中位數(shù)即可．解答：解：∵甲、乙兩個(gè)小組的平均分相同，∴=α=2∴乙組數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)為=93．故選：B．點(diǎn)評(píng)：本題考查了求平均數(shù)與中位數(shù)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．2.已知△ABC中，cosA=，cosB=，BC=4，則△ABC的面積為（）A．6 B．12 C．5 D．10參考答案：A【考點(diǎn)】正弦定理的應(yīng)用．【分析】由已知可求A，B為銳角，sinA，sinB的值，從而可求sinC=sin（A+B）=1，角C為直角，即可求得AC的值，由三角形面積公式即可求解．【解答】解：∵cosA=＜cosB=，∴A，B為銳角，則sinA==，sinB==，∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB==1，角C為直角，∵BC=4，∴AB===5，AC=ABsinB=5×=3，∴△ABC的面積===6．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，考查了三角形內(nèi)角和定理，兩角和的正弦函數(shù)公式及三角形面積公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．3.設(shè)P是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，，則A. B.C. D.參考答案：C【分析】由題得，化簡(jiǎn)即得解.【詳解】由題得，所以.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的減法運(yùn)算，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.4.設(shè)是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，是其公比，是其前項(xiàng)的積，且，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A、

B、C、

D、與均為的最大值參考答案：C5.下列各式正確的是(

)參考答案：C略6.已知函數(shù)y=ax2+bx+c，如果a＞b＞c，且a+b+c=0，則它的圖象是(

)A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】二次函數(shù)的圖象．【專題】數(shù)形結(jié)合．【分析】先依據(jù)條件判斷a＞0，且c＜0，聯(lián)系二次函數(shù)的圖象特征，開口方向、及與y軸的交點(diǎn)的位置，選出答案．【解答】解：∵a＞b＞c，且a+b+c=0，得a＞0，且c＜0，∴f（0）=c＜0，∴函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象開口向上，與y軸的交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上，故選

D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的圖象特征，由二次函數(shù)的二次項(xiàng)的系數(shù)符號(hào)確定開口方向，由c值確定圖象與y軸的交點(diǎn)的位置．7.已知點(diǎn)，直線l方程為，且直線l與線段AB相交，求直線l的斜率k的取值范圍為（

）A.或 B.或C. D.參考答案：A【分析】先求出線段的方程，得出，在直線的方程中得到，將代入的表達(dá)式，利用不等式的性質(zhì)求出的取值范圍?！驹斀狻恳浊蟮镁€段的方程為，得，由直線的方程得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，。因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是或，故選：A?！军c(diǎn)睛】本題考查斜率取值范圍的計(jì)算，可以利用數(shù)形結(jié)合思想，觀察傾斜角的變化得出斜率的取值范圍，也可以利用參變量分離，得出斜率的表達(dá)式，利用不等式的性質(zhì)得出斜率的取值范圍，考查計(jì)算能力，屬于中等題。8.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限參考答案：D【考點(diǎn)】A4：復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義．【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義即可得出．【解答】解：復(fù)數(shù)==﹣i﹣1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（﹣1，﹣1）位于第三象限，故選：C．9.下列各圖中，可表示函數(shù)y＝f（x）的圖象的只可能是（）

參考答案：D10.設(shè)集合，，，則=（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.有一圓柱形的無(wú)蓋杯子，它的內(nèi)表面積是400（cm2），則杯子的容積V（cm3）表示成杯子底面內(nèi)半徑r（cm）的函數(shù)解析式為．參考答案：【考點(diǎn)】根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】通過杯子底面內(nèi)半徑可知杯子底面表面積為πr2cm2、周長(zhǎng)為2πrcm，進(jìn)而可知杯子的深度、r的取值范圍，進(jìn)而利用圓柱的體積公式計(jì)算即可．【解答】解：依題意，杯子底面表面積為πr2cm2，周長(zhǎng)為2πrcm，則杯子的深度為：cm，∵＞0，∴0＜r＜，∴，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型，考查分析問題、解決問題的能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．12.已知，（1）設(shè)集合，請(qǐng)用列舉法表示集合B；（2）求和．參考答案：解：（1）B=

………………..5分（2）

………………..7分

…………..10分

略13.若向量a、b滿足|a|＝1，|b|＝2，且a與b的夾角為，則|a＋b|＝________.

參考答案：14.軸截面是正三角形的圓錐的表面積與它的外接球的表面積的比是．參考答案：9：16【考點(diǎn)】球的體積和表面積；球內(nèi)接多面體．【專題】綜合題；方程思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離．【分析】由題意，求出圓錐的底面面積，側(cè)面面積，得到圓錐的表面積，求出外接球的表面積，即可求出比值．【解答】解：圓錐的軸截面是正三角形，設(shè)底面半徑為r，則它的底面積為πr2；圓錐的側(cè)面積為：2πr2；所以圓錐的表面積為3πr2；設(shè)外接球的半徑為R，則4r2=r?2R，∴R=r，∴外接球的表面積為4πR2=πr2；∴軸截面是正三角形的圓錐的表面積與它的外接球的表面積的比是9：16．故答案為：9：16．【點(diǎn)評(píng)】本題是基礎(chǔ)題，考查圓錐的特征，底面面積，側(cè)面積的求法，考查計(jì)算能力，是送分題．15.設(shè)的值域是

.參考答案：

解析：。令，則.因此

即得.16.在等腰中，是的中點(diǎn)，則在方向上的投影是

．參考答案：略17.若向量的夾角為，，則的值為

．參考答案：2∵，∴．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(10分)已知數(shù)列，其前項(xiàng)和，數(shù)列滿足（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和參考答案：解：（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，顯然時(shí)滿足上式，∴

于是

……

4分（2）由題意知，兩邊同乘以4得兩式相減得，所以

……

10分

略19.建造一容積為8深為2m的長(zhǎng)方體形無(wú)蓋水池，每平米池底和池壁造價(jià)各為120元和80元.（1）求總造價(jià)關(guān)于池底某一邊長(zhǎng)x的函數(shù)解析式，并指出該函數(shù)的定義域；（2）判斷（1）中函數(shù)在和上的單調(diào)性并證明；（3）如何設(shè)計(jì)水池尺寸，才能使總造價(jià)最低；參考答案：解：（1）水池的總造價(jià)為：………………4分（2）任取， 且，則………………5分ks5u因?yàn)?，，所以，……………?分當(dāng)，此時(shí)，即；………………9分當(dāng)，，此時(shí)，即……………10分所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增?！?2分（3）由（2）可知，當(dāng)時(shí)，總造價(jià)最低，為1760元.……………略20.在一次商貿(mào)交易會(huì)上，商家在柜臺(tái)開展促銷抽獎(jiǎng)活動(dòng)，甲、乙兩人相約同一天上午去該柜臺(tái)參與抽獎(jiǎng).（1）若抽獎(jiǎng)規(guī)則是從一個(gè)裝有2個(gè)紅球和3個(gè)白球的袋中一次取出2個(gè)球，當(dāng)兩個(gè)球同色時(shí)則中獎(jiǎng)，求中獎(jiǎng)概率；（2）若甲計(jì)劃在之間趕到，乙計(jì)劃在之間趕到，求甲比乙提前到達(dá)的概率.參考答案：解：（1）不妨設(shè)個(gè)紅球分別為，，個(gè)白球分別為，，，從中取出個(gè)球，有：，，，，，，，，，.共種情況.其中兩個(gè)球同色的情況有：，，，.共種情況.記“取到同色球”為事件，則其概率為.（2）設(shè)甲乙到達(dá)的時(shí)刻分別為，，則可以看成平面中的點(diǎn)，全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)椋?設(shè)甲比乙先到為事件，甲比乙先到所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)椋?.

21.已知函數(shù)f（x）=的定義域?yàn)椋ī?，1），滿足f（﹣x）=﹣f（x），且f（）=．（1）求函數(shù)f（x）的解析式；（2）證明f（x）在（﹣1，1）上是增函數(shù)；（3）解不等式f（x2﹣1）+f（x）＜0．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)；函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明；函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)．【分析】（1）根據(jù)條件即可得出f（x）為奇函數(shù)，原點(diǎn)有定義，從而f（0）=0，得出b=0，再由f（）=即可求出a=1；（2）根據(jù)增函數(shù)的定義，設(shè)任意的﹣1＜x1＜x2＜1，然后作差，通分，證明f（x1）＜f（x2），從而便得出f（x）在（﹣1，1）上是增函數(shù)；（3）根據(jù)f（x）為奇函數(shù)便可得出f（x2﹣1）＜﹣f（x），由f（x）在（﹣1，1）上為增函數(shù)即可得到不等式組，解該不等式組便可得出原不等式的解集．【解答】解：（1）由題意知，f（x）為奇函數(shù)；∴f（0）=b=0，則；又；∴a=1；∴；（2）設(shè)﹣1＜x1＜x2＜1，則：=；又﹣1＜x1＜x2＜1；∴；∴f（x1）﹣f（x2）＜0；即f（x1）＜f（x2）；∴f（x）在（﹣1，1）上是增函數(shù)；（3）由f（x2﹣1）+f（x）＜0得f（x2﹣1）＜﹣f（x）；即f（x2﹣1）＜f（﹣x）；由（2）知f（x）在（﹣1，1）上是增函數(shù)，則；∴原不等式的解集為．【點(diǎn)評(píng)】考查奇函數(shù)的定義，奇函數(shù)在原點(diǎn)有定義時(shí)，f（0）=0，增函數(shù)的定義，以及根據(jù)增函數(shù)定義證明一個(gè)函數(shù)為增函數(shù)的方法和過程，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解不等式的方法．22.（本小題滿分13分）

已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)（1）求的值；（2）當(dāng)時(shí)，記的值域分別為集合，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍。參考答案：（1）依題意得：，解得m=0或m=2

………2分當(dāng)m=2時(shí)，在（0，+∞）上單調(diào)遞減，與題設(shè)矛盾，舍去

………….4分∴m=0．