2022考研數(shù)一真題及解析

千里之行，始于足下讓知識帶有溫度。第第2頁/共2頁精品文檔推薦2022考研數(shù)一真題及解析2022年全國碩士討論生入學統(tǒng)一考試數(shù)學一試題

一、填空題(本題共5小題，每小題3分，滿分15分，把答案填在題中橫線上)(1)

2e

lndx

xx

+∞

=?

(2)已知函數(shù)()yyx=由方程2610yexyx++-=確定，則''(0)y=.(3)微分方程2'''0yyy+=滿足初始條件1

1,'

2

y

yxx==

==的特解是.(4)已知實二次型222

123123121323(,,)()444fxxxaxxxxxxxxx=+++++經正交變換xPy=可化成標準型2

16fy=，則a=.

(5)設隨機變量X聽從正態(tài)分布2(,)(0),Nμσσ>且二次方程240yyX++=無實根的概率為

1

2

，則μ=

二、挑選題(本題共5小題，每小題3分，共15分，在每小題給出的四個選項中，惟獨一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內.)(1)考慮二元函數(shù)(,)fxy的下面4條性質：

①(,)fxy在點00(,)xy處延續(xù)，②(,)fxy在點00(,)xy處的兩個偏導數(shù)延續(xù)，③(,)fxy在點00(,)xy處可微，④(,)fxy在點00(,)xy處的兩個偏導數(shù)存在.若用""PQ?表示可由性質P推出Q，則有()(A)②?③?①.(B)③?②?①.(C)③?④?①.(D)③?①?④.

(2)設0(1,2,3,...),nun≠=且lim1,nn

nu→∞=則級數(shù)11111(1)()nnnnuu∞

+=+-+∑()

(A)發(fā)散.(B)肯定收斂.

(C)條件收斂.(D)收斂性按照所給條件不能判定.

(3)設函數(shù)()yfx=在(0,)+∞內有界且可導，則()

(A)當lim()0xfx→+∞

=時，必有l(wèi)im'()0xfx→+∞

=.

(B)當lim'()xfx→+∞

存在時，必有l(wèi)im'()0xfx→+∞

=.

(C)當0

lim()0xfx+→=時，必有0

lim'()0xfx+

→=.(D)當0

lim'()xfx+→存在時，必有0

lim'()0xfx+

→=.

(4)設有三張不同平面的方程123,1,2,3,iiiiaxayazbi++==它們所組成的線性方程組的系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩都為2，則這三張平面可能的位置關系為()

(5)設1X和2X是隨意兩個互相自立的延續(xù)型隨機變量，它們的概率密度分離為1()fx和

2()fx，分布函數(shù)分離為1()Fx和2()Fx，則()

(A)12()()fxfx+必為某一隨機變量的概率密度.(B)12()()fxfx必為某一隨機變量的概率密度.(C)12()()FxFx+必為某一隨機變量的分布函數(shù).(D)12()()FxFx必為某一隨機變量的分布函數(shù).

三、(本題滿分6分)

設函數(shù)()fx在0x=的某鄰域內具有一階延續(xù)導數(shù)，且(0)0,'(0)0,ff≠≠若

()(2)(0)afhbfhf+-在0h→時是比h高階的無窮小，試確定,ab的值.

四、(本題滿分7分)

已知兩曲線()yfx=與2

arctan0

x

tyedt-=?

在點(0,0)處的切線相同，寫出此切線方程，

并求極限2lim().nnfn

→∞

五、(本題滿分7分)

計算二重積分

2

2max{,}

,xyD

edxdy??其中{(,)|01,01}Dxyxy=≤≤≤≤.

六、(本題滿分8分)

設函數(shù)()fx在(,)-∞+∞內具有一階延續(xù)導數(shù)，L是上半平面(0)y>內的有向分段光

滑曲線，其起點為(,)ab，盡頭為(,)cd.記2221[1()][()1],LxIyfxydxyfxydyyy

=

++-?(1)證實曲線積分I與路徑L無關；(2)當abcd=時，求I的值.

七、(本題滿分7分)

(1)驗證函數(shù)3693()13(3)!

n

xxxxyxxn=+++++∞.此事發(fā)生概率為

12，即{}142

PX>=，對于2

(,)(0),XNμσσ>{}12

PXμ>=，由于正態(tài)分布的密度函數(shù)為

22

()()2xfxμσ??-=-????

x-∞=

，所以4μ=.

二、挑選題

(1)【詳解】下述重要因果關系應記住，其中AB?表示由A可推出B.無箭頭者無因果關系，箭頭的逆向不成立.

(,)xfxy'與(,)yfxy'延續(xù)(,)fxy?可微(,)(,)(,)xyfxyfxyfxy?''?????

與存在延續(xù)

其中均指在同一點處.記住上述關系，不難回答本挑選題，故應選(A).

(2)【詳解】首先要分清肯定收斂和條件收斂的定義，通過定義判定級數(shù)的斂散性.

考察原級數(shù)

11

1

11(1)(

)nnnnuu∞

+=+-+∑的前n項部分和

1122334111111111(

)()()(1)()nnnnSuuuuuuuu++=+-+++-+-+1

11

11

(1)nnuu++=+-由lim

10nnnu→∞=>知，當n充分大時，0nu>且limnnu→∞=+∞.所以1

1

limnnSu→∞=(收斂)，

另一方面，

1

1

1

1

()nn

nu

u∞

=++

∑為正項級數(shù)，用比較判別法的極限形式，由題設條件lim

1nn

n

u→∞=的啟發(fā)，考慮

1111111

()(1)limlimlim1121(21)1(1)

nnnnnnnnnnnnnuuuuuuuunnnuunnnnn++++→∞→∞→∞+++++==+++

++11(1)(1)[](1)lim

21nnnnnuunnnnnnnuun+→∞

+++++=+1

1(1)(1)lim1211nn

nn

nuunnnn

uunnnn

+→∞++++==+??

+而級數(shù)1111111

()11nnnnnnn∞

∞

∞===+=+++∑∑∑

是發(fā)散的，所以1111()nn

nuu∞=++∑也發(fā)散，所以選(C).

(3)【詳解】辦法1：排斥法.

令21()sinfxxx=

，則()fx在(0,)+∞有界，2221

()sin2cosfxxxx

'=-+，lim()0xfx→+∞

=，但lim()xfx→+∞

'不存在，故(A)不成立；

0lim()0xfx+

→=，但0

lim()10xfx+

→'=≠，(C)和(D)不成立，故選(B).辦法2：證實(B)正確.設lim()xfx→+∞

'存在，記lim()xfxA→+∞

'=，證實0A=.

用反證法，若0A>，則對于02

A

ε=

>，存在0X>，使當xX>時，()2AfxAε'-+-

從而lim()xfx→+∞

=+∞，與題設()fx有界沖突.類似可證當0A??當.故在上半平面(0y>)，該曲線積分與路徑無關.(2)辦法1：由該曲線積分與路徑無關而只與端點有關所以用折線把兩個端點銜接起來.先從

點(,)ab到點(,),cb再到點(,)cd.有

2

221[1()][()1]c

da

bcIbfbxdxyfcydyb

y=++-?

?

()]()cdabcacc

bfbxdxcfcydybdb

-=+++-??

經積分變量變換后，()cdabcaIftdtdb=-+?.當abcd=時，推得ca

Idb

=-.辦法2:原函數(shù)法.

2221[1()][()1]Lx

Iyfxydxyfxydyyy

=++-?

2()()()()()L

LLLydxxdyx

fxyydxxdydfxydxyyy

-=++=+?

???由原函數(shù)法計算其次型曲線積分的公式(與定積分的牛頓—萊布尼茨公式類似)，有

(,)();(,)Lcdxxca

dabyydb==-?

(,)

()()()

()()0,(,)

L

cdfxydxyFxyFcdFabab==-=?

其中()Fu為()fu的一個原函數(shù)，即設()()Fufu'=.由此有caIdb

=

-.辦法3：因為與路徑無關，又由abcd=的啟發(fā)，取路徑xyk=，其中kab=.點(,)ab與

點(,)cd都在此路徑上.于是將k

xy

=

代入之后，

22221[(1())()(()1)]dakk

Iyfkyfkdyyyy

=+-+-?

32()d

b

kdyy=-

?2

dkb

y=22k

kdb=-22cdabdb=-.cadb=-

七【解】(1)369331

()113(3)!(3)!nn

nxxxxxyxnn∞

==+++++=+∑

+！6！9！，由收斂半徑的求法知收斂半徑為∞，故由冪級數(shù)在收斂區(qū)間上逐項可導公式得

3311()(1)(3)!(3)!nnnnxxyxnn∞

∞

=='??''=+=???∑∑311

3(3)!nnnxn-∞==∑31

1(31)!nnxn-∞==-∑，同理得32

1(32)!

nnxyn-∞

=''=-∑

從而

()()()yxyxyx'''++32313111

()()(1)(32)!(31)!(3)!nnn

nnnxxxnnn--∞

∞∞

====+++--∑∑∑

11!

n

nxn∞

==+∑(由xe的麥克勞林綻開式)

xe=

這說明，30()(3)!

nnxyxn∞

==∑是微分方程x

yyye'''++=的解，并且滿足初始條件

310(0)1(3)!nnyn∞

==+∑1=，31

10(0)(31)!

nnyn-∞

='=-∑0=.(2)微分方程x

yyye'''++=對應的齊次線性方程為0yyy'''++=，其特征方程為

210λλ++=

，其特征根為12-，所以其通解為

2

12[]xyeCxCx-=+.另外，該非齊次方程的特解形式為x

yce=，代入原非齊次方程得x

x

x

x

cececee++=，

所以13

c=

.故微分方程x

yyye'''++=的通解為

2

121[cos

sin]223

xxyeCxCxe-

=++.故

22

121211[cossin][sincos]2222223

xx

xyeCxCxeCxxe--'=-?++-?++

222112111(2(2223

xxxeCCxeCCe--=-?--?-+

由初始條件(0)1,(0)0yy'==得

02121

00

022*********[cos0sin0]2233111

0(20(2022311223eCCeCeCCeCCeCC?=++=+??

?=-?--?-+????=-+?+

?

解得

112

113110

2

3CC?

+=??

?

?-+=??，于是得到惟一的一組解：

122

,0.3

CC==從而得到滿足微分方程xyyye'''++=及初始條件(0)1,(0)0yy'==的解，惟獨一個，為

22133

xxyexe-=+

另一方面，由(1)已知30()(3)!

nnxyxn∞

==∑也是微分方程x

yyye'''++=及初始條件

(0)1,(0)0yy'==的解，由微分方程解的唯一性，知

321211().(3)!

33x

nxnxexexn∞

-=+=+-∞

由一維概率計算公式，{}()b

Xa

PaXbfxdx≤≤=

?

，有

3311()cos32

22xpPXfxdxdxππππ+∞?

?=>===??????，

所以，1(4,)2

YB~.

由公式22()[()]()DYEYEY=-以及若(,)YBnp~，其數(shù)學期望和方差分離為

();()EYnpDYnpq==，其中1.qp=-

得2

2

2

2111

()()[()]()4(4)5.222

EYDYEYnpqnp=+=+=?

?+?=

十二【分析】矩估量的實質在于用樣本矩來估量相應的總體矩，此題中被估參數(shù)惟獨一個，故只需要用樣本一階原點矩(樣本均值)來估量總體的一階原點矩(期望)

最大似然估量，實質上就是找出訪似然函數(shù)最大的那個參數(shù)，問題的關鍵在于構造似然函數(shù).

【詳解】矩估量：由離散型隨機變量期望的定義1

()()n

i

i

iEXxPXx==

=∑，有：