數(shù)學(xué)游戲與數(shù)學(xué)文化PPT完整全套教學(xué)課件

《數(shù)學(xué)游戲與欣賞》全套PPT課件前言第1章?lián)淇伺浦械臄?shù)學(xué)游戲（1）第1章?lián)淇伺浦械臄?shù)學(xué)游戲（2）撲克牌魔術(shù)時間第2章與進位制有關(guān)的幾個游戲第3章1美的密碼-黃金分割第3章2美的密碼-斐波那契數(shù)列第3章3美的密碼-優(yōu)選法第4章猴子分蘋果與遞推問題第5章抽屜原理第6章趣味邏輯問題第7章機靈的小老鼠與約瑟夫問題第8章趣味對策問題第9章有趣的7巧板第10章一筆畫第11章神奇的莫比烏斯帶第12章拓?fù)鋵W(xué)拾趣WhatisMathematics?

抽象性嚴(yán)謹(jǐn)性應(yīng)用的廣泛性數(shù)學(xué)的特點數(shù)學(xué)是上帝用來書寫宇宙的文字?！だ詳?shù)學(xué)，如果正確地看，不但擁有真理，而且也具有至高的美。

——羅素

這個世界可以由音樂的音符組成，也可以由數(shù)學(xué)的公式組成。

——愛因斯坦

哪里有數(shù)，哪里就有美。

——Proclus只有音樂堪與數(shù)學(xué)媲美。

——A.H.懷海德數(shù)學(xué)和詩歌都具有永恒的性質(zhì)。

——R.D.Carmichael數(shù)學(xué)的美麗“9對3說，我除了你，還是你；4對2說，我除了2還是2；1對0說，我除了你，一切都沒有意義；0對1說，我除了你，就是孤獨的自己”。

數(shù)學(xué)是浪漫的，它比任何東西都完美，因為它推理考證，真實嚴(yán)謹(jǐn)，從不說謊……數(shù)學(xué)也浪漫欣賞數(shù)學(xué)之美，感受數(shù)學(xué)之趣撲克牌中的數(shù)學(xué)游戲1.1搶牌游戲（15分鐘）游戲規(guī)則：（1）每4人一組，每組一副撲克牌，去掉大小王和J,K,Q，還剩40張，輪流揭牌，掲完為止。（2）4人同時單張出牌，誰最先算出前面所出牌點數(shù)之和時，把這些牌搶入手中再用；算錯搶錯者，從手里牌中取出與欲搶牌的點數(shù)相同的牌.（3）逐個淘汰無牌者，最后把40張牌搶到手者贏。時間到！利用撲克牌你還能設(shè)計出哪些數(shù)學(xué)活動？試一試1.224點游戲（20分鐘）（1）每4人一組，一副撲克牌，去掉大小王，還剩52張，除了數(shù)字牌外，A，J，Q，K分別看作1點，11點，12點，13點，輪流揭牌，每人手上13張牌。（2）每一局游戲中，每人從手中任意抽出一張牌，參加游戲者用這4張牌分別代表的數(shù)字思考算法（進行加、減、乘、除運算，每張撲克牌對應(yīng)的數(shù)用且只用一次，可加括號），誰最先想出（要求寫出來）結(jié)果是24的算法，誰就獲得這4張牌。都算不出來，牌入底。（3）再次每人任意出一張牌，再次按（2）規(guī)則進行。最后誰手中牌最多誰就贏。時間到！1.3速算比賽例1

、抽出下面四組牌：（A，J，Q，K分別為1點，11點，12點，13點）你能算出24點嗎？（1）2，3，4，5（2）3，4，5，10（3）1，3，9，10（4）K，7，9，5（5）J，6，Q，5（6）Q，10，Q，1（1）3，3，7，7；（2）1，5，5，5。例2．在“24”點游戲中，抽出了下面兩組牌，你能求出“24”嗎？例3．抽的四張牌恰好是“1～9”中從大到小連續(xù)排列的四張，這樣的牌能算出“24”嗎？

由上面例子，很自然地想到這種游戲可以發(fā)展成一類專門的數(shù)學(xué)的問題，如下例：例4、填上適當(dāng)?shù)倪\算符號，使下面算式成立。（1）4444＝5（2）4444＝6（3）4444＝7（4）4444＝8（5）4444＝9（6）4444＝10

例5、

不用（），將加減乘除運算符號添在適當(dāng)位置，且運算符號不超過三次，使下面的算式成立。999999999=1000例6、在下列算式中合適的地方填上括號，使算式成立。（1）4＋5×6＋8÷4－2＝31（2）4＋5×6＋8÷4－2＝391.4常見撲克牌數(shù)學(xué)游戲介紹(1)搶牌游戲-比大小每2人一組，每組一副撲克牌，去掉大小王，還剩52張，輪流揭牌，掲完為止。每一局游戲中，每位同學(xué)不看牌，同時出一張牌，比大小，大吃小，即點數(shù)大者獲得這2張牌，最后誰手中牌最多誰就贏。(2)搶牌游戲-口算加、減、乘、除法

2人一組，每組一副撲克牌，去掉大小王，輪流揭牌，掲完為止。定好運算規(guī)則（如計算和、差、積、商），大家同時出一張牌。誰先說出這幾張牌點數(shù)的運算結(jié)果，這兩牌就給誰；如果兩人同時說出這兩張牌點數(shù)的運算結(jié)果，牌各得一張。最后得牌多者為勝。謝謝撲克牌魔術(shù)時間魔術(shù)1

預(yù)言牌魔術(shù)過程：

一幅牌，洗過之后（誰洗都行），魔術(shù)師手放到牌上去做“感應(yīng)”，然后在紙上寫下了一個牌點（比如：紅桃7）。接下來，他要求觀眾在10~19中間說一個數(shù)，比如15。然后，他數(shù)出前15張牌。接下來，讓觀眾把他的兩位數(shù)的兩個數(shù)字相加，1+5=6。請觀眾從前面15張牌中由后往前數(shù)出第六張牌。魔術(shù)師把自己事先寫好的紙片翻開，天呢??！觀眾手里拿的那張牌，恰好就是他紙上寫的，紅桃7。你能想清楚其中的道理嗎？你來試一試魔術(shù)2猜?lián)淇伺?/p>

一共27張撲克牌，觀眾任選一張，不要告訴魔術(shù)師。魔術(shù)師把27張牌按1、2、3、1、2、3的順序分成三排，每排9張牌，然后讓觀眾指出他挑選的牌在哪一排。接下來，魔術(shù)師先把觀眾挑選的這一排按順序收起來，然后再依次收另外兩排。全部收好后，魔術(shù)師再次把這27張牌按1、2、3、1、2、3的順序分成三排，每排9張牌，然后讓觀眾指出他挑選的牌在哪一排。這樣重復(fù)三次，魔術(shù)師收好牌后，把最上面的那張交給觀眾，恰好就是觀眾想的那張牌！先想清楚其中的道理，然后你來試一試它們和數(shù)的進位制有關(guān)魔術(shù)3你能看出誰是托兒嗎？

在下面這個魔術(shù)中，主持人將請上三位觀眾，其中有一位觀眾是托兒。不過，和別的魔術(shù)不同，這個托兒非常低調(diào)，他沒有任何多余的舉動，在游戲規(guī)則內(nèi)就把消息偷偷傳遞了出去。你能看出這個魔術(shù)背后的原理嗎？魔術(shù)表演的第一步

把魔術(shù)師五花大綁，眼睛套上黑布，放進麻袋里。然后，主持人請第一位觀眾上臺，從一副撲克牌里找16張牌，把它們擺成一個4×4的撲克方陣，哪些牌正面朝上哪些牌背面朝上由觀眾自己決定。主持人說：“為了增加表演的難度，我們把4×4的撲克牌方陣增加到5×5一共25張，魔術(shù)師沒有意見吧？”麻袋里的魔術(shù)師表示沒有意見。于是，主持人請上了第二位觀眾。第二位觀眾按照要求對桌子上的撲克牌陣進行了擴充。魔術(shù)表演的第二步主持人說，“下面呢，我們再請第三位觀眾上臺。你在這25張牌里，隨意挑選一張撲克牌，把它翻過來。翻的時候一定要小心，不要留下痕跡，別讓魔術(shù)師一眼看出來。”第三位觀眾稍微考慮了一下，把那張原來背面朝上的方片5翻了過來。魔術(shù)表演的第三步“好的，下面就請魔術(shù)師開始他的表演”，主持人說。魔術(shù)師從袋子里鉆出來，走到這堆撲克牌面前，果斷地指出了被第三位觀眾動過的牌。你能看出哪個觀眾是托兒嗎？魔術(shù)表演的第四步魔術(shù)表演的三步魔術(shù)揭秘

這個魔術(shù)的關(guān)鍵就是第二位觀眾，他就是那個“托兒”，另外兩位觀眾都是不明真相的群眾。在第一位觀眾放完撲克牌以后，魔術(shù)師的托兒登場。表面上，托兒是在隨意地擴展方陣，可實際上他放的一圈牌大有講究。他需要保證，在最后的25張牌里，每一行、每一列正面朝上的撲克牌都是奇數(shù)張。等到第三位觀眾翻完牌，魔術(shù)師上場后，他需要做的就是數(shù)一數(shù)，看哪一行和哪一列正面朝上的撲克牌張數(shù)不是奇數(shù)。

用1表示正面朝上的牌，用0表示背面朝上的牌，魔術(shù)可以用上面這個01方陣來表示。這是信息學(xué)中傳輸數(shù)據(jù)使用的奇偶校驗法。奇偶校驗法

在電子通信上，這些1和0就可以用來傳遞聲音、文字、圖片、視頻等各種東西，不過數(shù)據(jù)的傳遞過程中很可能會出差錯，發(fā)生某一個數(shù)字正好弄反了的情況（相當(dāng)于第三位觀眾的操作）。如果給原始信息（第一位觀眾的撲克牌陣）加上了校驗碼（第二位觀眾的做法），接受這些數(shù)字信號的一方（相當(dāng)于魔術(shù)師）不但能知道數(shù)據(jù)有沒有傳錯，還能自己把傳錯的地方給糾正過來。不過，如果有不止一個數(shù)字被傳錯，這種自糾錯方案就無能為力了。好在，數(shù)學(xué)家們還發(fā)明了一些更強大的自糾錯校驗編碼，可以用于通訊信號更惡劣的場合中。奇偶校驗法魔術(shù)4

巧排順序?qū)?-K共13張牌，表面上看順序已亂（實際上已按一定順序排好），將其第1張放到第13張后面，取出第2張；再將手中的牌的第1張放到最后，取出第2張。如此反復(fù)進行，直到手中的牌全部取出為止。最后向觀眾展示取出的牌的順序正好是1，2，3，……，10，J,Q,K.

請你試試看！巧排順序魔術(shù)揭秘

撲克牌的順序為：7，1，Q，2，8，3，J，4，9，5，K，6，10.你知道這是怎么排出的嗎？這是"逆向思維"的結(jié)果，將按順序1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，J，Q，K排好的撲克牌按開始的操作過程反向做一遍即可.與進位制有關(guān)的游戲

現(xiàn)有1023只盤子，需要把這些盤子裝在箱子里運走．為了便于中途出售，問在箱數(shù)最少的情況下，每個箱子內(nèi)應(yīng)該分別放入多少只盤子，才能使得中途碰到的客戶無論要買多少只盤子，都可以整箱整箱地付給，而不必拆開箱子的包裝．1.盤子裝箱問題

盤子數(shù)給定，要求箱數(shù)最少．顯然，總得有裝1只盤子的箱子．有了一只盤子的一箱，就沒必要有再裝1只盤子的箱子，接下來需有裝2只盤子的一箱．由于，沒必要有再裝3只盤子的箱子，于是就得有裝4只盤子的箱子，有了分別裝1、2、4只盤子的箱子，就可付給買1至7只盤子的買主．因此又得有裝8只盤子的一箱．經(jīng)過歸納發(fā)現(xiàn)，各箱的盤子數(shù)構(gòu)成的數(shù)列的任一項應(yīng)等于前面所有項之和再加1．故各箱的盤子數(shù)分別是．這個數(shù)列的特點是第k+1項2^k等于前k項之和加1，即．由于，1023只盤子應(yīng)該裝十箱，分別裝只盤子．分析與解這個問題其實與二進制有關(guān)．一位商人有一個重40磅的砝碼，一天不小心將砝碼摔成了四塊．后來商人稱得每塊的重量都是整磅數(shù)，更巧的是用這四塊碎片當(dāng)砝碼，可以在天平上稱1至40磅之間的任意整數(shù)磅的重物，請問這四塊碎片各重多少？2.砝碼問題

該商人的四個碎片分別重為1、3、9、27磅．我們不難驗證其正確性．如15、21、40磅的重物稱法分別是：答案這個問題與三進制有關(guān)．3、猜出對方心里想的數(shù)某人任意寫出三位數(shù)，其第1位數(shù)碼不要和第3位數(shù)碼一樣；顛倒這3個數(shù)碼的次序而構(gòu)成另一個數(shù)；再把此數(shù)與原來的數(shù)相減取絕對值，問他得數(shù)的末一位是幾，那么你就可以指出他原來寫的數(shù)是多少．如578，把這三位數(shù)的數(shù)字位置顛倒后得到一個新三位數(shù)(三位數(shù)的首位數(shù)字不為0)875,再把兩數(shù)相減取絕對值,得到,計算結(jié)果為297.分析4、猜年齡與出生月份用2乘以你的出生月份數(shù)，加上5，再將結(jié)果乘以50，再加上你的年齡數(shù)，再減去365；然后把你的最后結(jié)果告訴我，我就能知道你今年幾歲，在哪月出生的．這是什么道理你明白嗎？想想看．

（出生月份數(shù)×2＋5）×50＋年齡數(shù)－356＝出生月份數(shù)×100＋年齡數(shù)－115．因為月份1～12都是一位數(shù)或兩位數(shù)，而年齡一般也是一位數(shù)或兩位數(shù)（超過100歲的人較少），所以根據(jù)等號右邊的式子，只要把最后的結(jié)果加上115，所得的和的后兩位數(shù)是年齡數(shù)，前兩位數(shù)就是出生的月份數(shù)！分析5、猜生日把你的生日的月份乘以4，再加上12，再將結(jié)果乘以25，再加上生日的日期，最后減去365．把你的結(jié)果告訴我，我就知道你出生于幾月幾日．想想其中的奧妙．

你能設(shè)計出新的猜年齡和生日的游戲嗎？試試看．謝謝

你覺得哪張照片的構(gòu)圖最合理？更能體現(xiàn)小松鼠若有所思的在凝視前方？哪張照片,小鹿母子擺放的位置最適中？芭蕾舞演員做相同的動作，踮腳尖和不踮腳尖，哪個更美？以上都與黃金分割有關(guān)。關(guān)于黃金分割你知道些什么？黃金分割美的密碼——1、黃金分割的發(fā)現(xiàn)早在100多年以前，德國的心理學(xué)家弗希納曾精心制作了各種比例的矩形，并且舉行了一個“矩形展覽”，邀請了許多朋友來參加，參觀完了之后，讓大家投票選出最美的矩形．最后被選出的四個矩形的比例分別是:5×8，8×13，13×21，21×34．經(jīng)過計算，其寬與長的比值分別是:0.625，0.615，0.619，0.618。這些比值竟然都在0.618附近．事實上，大約在公元前500年,古希臘著名的的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派就對這個問題發(fā)生了興趣．他們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)長方形的寬與長的比例為0.618時，其形狀最美。一條線段分成兩部分，當(dāng)兩部分的比值是0．618時，其比例關(guān)系是最優(yōu)美的．希臘數(shù)學(xué)家普羅克魯在《幾何原本》的注釋中將這種比例的分割稱為卓越的“分割”．后來，該比例數(shù)0.618被中世紀(jì)藝術(shù)家達(dá)·芬奇譽為“黃金數(shù)”，因此按這種比例進行的分割被稱為“黃金分割”.黃金分割的發(fā)現(xiàn)如圖,點C把線段AB分成兩條線段AC和BC,如果ACABACBC=那么稱線段AB被點C

黃金分割(goldensection),點C叫做線段AB的黃金分割點,AC與

AB的比叫做黃金比.CAB:1√5–12≈0.618:1ACABACBC==AC2=AB

?

BC黃金分割的數(shù)學(xué)表達(dá)黃金三角形頂角為36°的等腰三角形稱為黃金三角形?！钭鳌螧的平分線,交AC于D,△CDB也是黃金三角形,點D是線段AC的黃金分割點.再作∠C的平分線,交BD于E,△CDE也是黃金三角形……☆其底邊與腰之比約為0.618;DCABEDCADEBFHGMN在五角星、正五邊形ABCDE中，找找看,圖中是否有黃金分割點、黃金三角形?點F是線段AC與AN，BE與BG的黃金分割點.

點G呢？CADEBFHGMNEDG

以黃金矩形ABCD的寬為邊在內(nèi)部作正方形AEFD，那么矩形BCFE也是黃金矩形，這個過程可以一直進行下去。AEBDFC黃金矩形

矩形ABCD寬與長的比是黃金比，即點E是AB的黃金分割點，這樣的矩形稱之為黃金矩形。黃金矩形的尺規(guī)作圖黃金分割造就了美！黃金分割的應(yīng)用葉子中的黃金分割圖中主葉脈與葉柄和主葉脈的長度之和比約為0.618黃金分割與自然

許多植物葉片上下兩層葉子之間相差137.5°,這個度數(shù)有什么奧妙呢？植物學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)，這個角度對葉子的采光（便于光合作用）、通風(fēng)都是最佳的，因為這樣從頂端往下看，不會有一片葉子被另一片葉子完全遮住。任意兩相鄰的葉片、枝頭或花瓣都沿著這兩個角度伸展。這樣一來，盡管它們不斷輪生，卻互不重疊，確保了光合作用。

一棵小樹如果始終保持著幼時增高和長粗的比例，那么最終會因為自己的“細(xì)高個子”而倒下。為了能在大自然的風(fēng)霜雨雪中生存下來，它選擇了長高和長粗的最佳比例，即“黃金比率”0.618。

在小麥或水稻的莖節(jié)上，可以看到其相鄰兩節(jié)之比為1：1.618(即0.618:1)，這又是一個“黃金比率”。黃金分割與自然自然界也偏愛黃金分割．

0.618隨處可見!黃金分割與自然美麗的蝴蝶下圖所畫的是一條對數(shù)螺線，它處在一個黃金矩形內(nèi)，且與黃金矩形序列各邊的相切點均處于相應(yīng)邊的黃金分割點上．在自然界，海螺、蝸牛等的外形就非常近似于對數(shù)螺線．

人體肚臍不但是黃金點美化身型，有時還是醫(yī)療效果黃金點，許多民間名醫(yī)在肚臍上貼藥治好了某些疾病。人體還有幾個黃金點：肚臍剛好就是整個人體的黃金分割點，喉頭剛好是頭頂?shù)蕉悄毜狞S金分割點，膝關(guān)節(jié)是肚臍到腳的黃金分割點，肘關(guān)節(jié)是手指到肩部的黃金分割點……黃金分割與人體人們?yōu)楹瘟魬俅禾?？因為人在春季感到舒暢，因為這時的環(huán)境溫度正好在22至24攝氏度之間，而這種氣溫與人的正常體溫37攝氏度正呈現(xiàn)微妙之處：人的正常體溫37攝氏度與0.618的乘積為22.8攝氏度，人在這一環(huán)境溫度中，機體的新陳代謝、生理動均處于最佳狀態(tài)。

黃金分割與養(yǎng)生生命在于運動,動而不衰;可又有人說,生命在于靜養(yǎng),靜養(yǎng)得以長壽.從辨證觀點看,動和靜是一個0.618比例關(guān)系,大至四分動,六分靜才是最佳的養(yǎng)生之法.我們常說每天8小時的睡眠,活動時間是16小時，幾乎就是一個黃金比。醫(yī)學(xué)專家分析發(fā)現(xiàn)，飯吃六七成飽的人幾乎不生胃??；攝入的飲食以六分粗糧、四分精食為適宜。你知道芭蕾舞演員跳舞時為什么要掂起腳尖嗎?芭蕾舞演員的身段是苗條的，但下半身與身高的比值也只有0.58左右，演員在表演時掂起腳尖，身高就可以增加6-8cm.這時比值就接近0.618了,給人以更為優(yōu)美的藝術(shù)形象.黃金分割與藝術(shù)黃金矩形的“迷人面容”

----蒙娜麗莎的微笑

這幅《蒙娜麗莎的微笑》給了數(shù)以億萬計的人們美的藝術(shù)享受。意大利畫家達(dá)芬奇在創(chuàng)作中大量運用了黃金矩形來構(gòu)圖。整個畫面使人覺得和諧自然，優(yōu)雅安寧。

京劇演員經(jīng)常選擇舞臺寬度的一個黃金分割點作為出場亮相的位置．

把長方形畫面的長、寬各分成三等分，整個畫面呈井字形分割，井字形分割的交叉點便是畫面主體（視覺中心）的最佳位置，是最容易誘導(dǎo)人們視覺興趣的視覺美點．黃金分割與藝術(shù)攝影構(gòu)圖通常運用的三分法就是黃金分割的演變，把二胡的“千斤”放在琴弦某處，音色會無與倫比的美妙。經(jīng)過數(shù)學(xué)家驗證，這一點恰恰是琴弦的黃金分割點0.618!

我國的國歌歌詞是散文式的自由體新詩，歌曲高潮部分在結(jié)構(gòu)上幾乎正好是全曲的黃金分割的位置，音樂富有動力，讓人感到無比振奮。古埃及胡夫金字塔文明古國埃及的金字塔，形似方錐（底面呈正方形，整體為四棱錐），大小各異。但這些金字塔底面的邊長與高的比都接近于0.618.黃金分割與建筑上海東方明珠電視塔高468m,上球體是塔身的黃金分割點,它到塔底部的距離大約是468m468×0.618≈289.2m黃金分割與建筑巴黎圣母院古希臘帕特農(nóng)神廟寬與長的比為黃金比的矩形，在古典及現(xiàn)代建筑中都有廣泛的應(yīng)用．聯(lián)合國總部大廈新西蘭朝鮮新加坡中華人民共和國

上述的國旗中有共同圖案嗎？度量C到點A、B的距離,ACABACBC=ACBONPLmM汽車的黃金設(shè)計哪里有了“黃金比率”，哪里就有美的存在。

黃金分割是人類認(rèn)識世界收獲的碩果中的精品。黃金分割是神賜的“美的密碼”。兔子問題1)假定一個月大小的一對兔子(雄和雌的)，對于繁殖還太年輕，但兩個月大小的兔子便足夠成熟．又假定從第二個月之后（即第三個月）開始，每一個月它們都繁殖一對新的兔子(雄和雌的)．2)如果每一對兔子的繁殖都按上面說的同樣的方式．試問，從開始起每個月有多少對兔子呢？算算看！斐波那契數(shù)列

一個數(shù)列，如果從第三項起，每一項都是前兩項之和，那么我們就把這樣的數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列。斐波那契數(shù)列因以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”。1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987……

斐波那契數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，數(shù)列中的每一個數(shù)都被稱為斐波那契數(shù)。用表示第n個月兔子的總對數(shù)，則有二階遞推公式斐波那契（Fibonacci.L,1175—1250）是中世紀(jì)數(shù)學(xué)家,他對歐洲的數(shù)學(xué)發(fā)展有著深遠(yuǎn)影響。他出生于意大利的比薩，曾經(jīng)游歷過東方和阿拉伯的許多城市．由此斐波那契熟練地掌握了印度—阿拉伯?dāng)?shù)字的十進制系統(tǒng)，該系統(tǒng)使用位值原則計數(shù)并使用了零的符號．在那時，意大利仍然使用羅馬數(shù)字進行計算。公元1202年，他寫了《算盤書》一書，這是一本廣博的工具書，在這部名著中，他引入了阿拉伯?dāng)?shù)字，將十進制計數(shù)法介紹到歐洲（其中說明了怎樣應(yīng)用印度—阿拉伯?dāng)?shù)字，以及如何用它們進行加、減、乘、除計算和解題）。此外還對代數(shù)和幾何進行了進一步的探討。在此書中還提出了有趣的兔子繁殖問題，作為一個智力練習(xí)。斐波那契其人美的密碼—斐波那契數(shù)列——以數(shù)學(xué)的視角感受美大自然中的斐波那契數(shù)列112358cm單位:102花瓣中的斐波那契數(shù)花瓣的數(shù)目海棠（2）鐵蘭（3）蘭花蘋果花105洋紫荊（5）蝴蝶蘭（5）黃蟬（5）格?；ǜ裆；?2534687雛菊12345678910111213

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132134111樹杈的數(shù)目13853211這就是生物學(xué)中“魯?shù)戮S格定律”葉序的秘密

葉序指的是葉在莖上排列的方式。它們看似雜亂無章但實際上極有規(guī)律。植物學(xué)家對葉序劃分為互生、對生和輪生三種基本分布類型。在自然界的成千上萬種植物中，所有植物都有一種葉序，葉完全呈不規(guī)則排列的植物幾乎是沒有的?；ド抗?jié)上只生一枚葉片，交互而生或呈螺旋狀著生，又稱旋生葉序。對生——在莖枝的每個節(jié)上相對地著生兩枚葉片。輪生——莖枝的每個節(jié)上著生三枚或三枚以上的葉片。拉拉藤，輪生葉序白蘭花，互生葉序黃楊對生葉序玉樹對生葉序白蘭花，互生葉序，1/3式北美紅杉，互生葉序，2/5式葉序與斐波那契數(shù)列

互生葉序由于螺旋線繞莖的圈數(shù)和相應(yīng)的葉片數(shù)的不同，互生葉序形成了各種形式，并組成奇妙的斐波那契數(shù)列。小葉羅漢松，互生葉序，3/8式鐵堅杉，互生葉序，5/13式葉序(松果)種子的排列種子的排列種子的排列松果種子上的螺旋線條，順時針數(shù)8條；反向再數(shù)就變成了1３條．119向日葵花盤內(nèi)葵花子排列的螺線數(shù)

向日葵花盤上的螺旋線條，順時針數(shù)２１條；反向再數(shù)就變成了３４條．121菜花表面排列的螺線數(shù)（5-8）122

這一模式幾個世紀(jì)前已被注意到，此后曾被廣泛研究，但真正滿意的解釋直到1993年才給出。這應(yīng)該源于植物尋找最佳生長辦法的自然傾向性，是植物在自然選擇作用下進化的結(jié)果。1231、斐波那契數(shù)列的通項公式通項公式：

該證明由法國數(shù)學(xué)家比內(nèi)（Binet）做出。斐波那契數(shù)列的性質(zhì)探究124

2、斐波那契數(shù)列與黃金比值

1）黃金分割：線段的分割點滿足，這一比值是

2）斐波那契數(shù)列組成的分?jǐn)?shù)數(shù)列隨著n的增大，極限正是斐波那契數(shù)列的性質(zhì)探究1253、盧卡斯數(shù)列盧卡斯（Lucas，F(xiàn).E.A.1824-1891）構(gòu)造了一類更值得研究的數(shù)列，現(xiàn)被稱為“推廣的斐波那契數(shù)列”，推廣的斐波那契數(shù)列—盧卡斯數(shù)列126

即從任何兩個正整數(shù)開始，往后的每一個數(shù)是其前兩個數(shù)之和，由此構(gòu)成無窮數(shù)列。二階遞推公式中，起始整數(shù)可任取。127

斐波那契數(shù)列1，1，2，3，5，8，…是這類數(shù)列中最簡單的一個，起始整數(shù)分別取為1、1。次簡單的為1，3，4，7，11，18，…現(xiàn)稱之為盧卡斯數(shù)列。盧卡斯數(shù)列的通項公式是

128

推廣的斐波那契數(shù)列與斐波那契數(shù)列一樣，與黃金分割有密切的聯(lián)系：該數(shù)列相鄰兩數(shù)之比（前一項比后一項），交替地大于或小于黃金比；隨項數(shù)的增加這個比的極限也是黃金比。129斐波那契數(shù)列的有趣特性130斐波那契數(shù)列的有趣特性數(shù)學(xué)家還發(fā)現(xiàn)了許多斐波那契數(shù)列的特性。例如：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,…第3、6、9、12等項的數(shù)字能被2整除。第4、8、12等項的數(shù)字能被3整除。第5、10等項的數(shù)字能被5整除。其余依此類推。131斐波那契協(xié)會和《斐波那契季刊》

斐波那契1202年在《算盤書》中從兔子問題得到斐波那契數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，…之后，并沒有進一步探討此序列，并且在19世紀(jì)初以前，也沒有人認(rèn)真研究過它。沒想到過了幾百年之后，十九世紀(jì)末和二十世紀(jì)，人們發(fā)現(xiàn)不僅在自然界，在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)、化學(xué)等領(lǐng)域，斐波納契數(shù)列都有直接的應(yīng)用，斐波那契數(shù)列的神奇，吸引著無數(shù)人去發(fā)現(xiàn)它，從而成為熱門的研究課題。132

為此，美國數(shù)學(xué)會從1960年代起成立了斐波那契協(xié)會，還出版了《斐波納契數(shù)列》季刊，專門刊載這方面的研究成果。有人比喻說，“有關(guān)斐波那契數(shù)列的論文，甚至比斐波那契的兔子增長得還快?！?33用斐波那契數(shù)列及其推廣做數(shù)學(xué)游戲①右邊這連續(xù)的十個數(shù)，你能在十秒鐘內(nèi)很快說出這些數(shù)的和嗎？112358132134+55———？134數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)：連續(xù)

10個斐波那契數(shù)之和，必定等于第

7個數(shù)的11倍！所以右式的答案是：

13

11=143112358132134+55———？135右式的答案是？

34

55

89

144

233

377

610

987

1597

+ 2584 ????136右式的答案是：

34

55

89

144

233

377

610

987

1597

+ 2584 ????

61011=6710137

②從你寫出推廣的斐波那契數(shù)列中任何地方劃一條線，你能迅速說出“這條線之前所有各數(shù)”的和嗎？。其實有公式：前n項和其中表示盧卡斯數(shù)列的第n項。③一個樓梯共有10級臺階，規(guī)定每步可以邁一級臺階或二級臺階，從地面到最上面一級臺階，一共可以有多少種不同的走法？④數(shù)字謎題現(xiàn)有長為144cm的鐵絲，要截成n小段（n>2），每段的長度不小于1cm．如果其中任意三小段都不能拼成三角形，則n的最大值為多少？分析與解：由于構(gòu)成三角形的充要條件是任意兩邊之和大于第三邊，因此不構(gòu)成三角形的條件就是存在兩邊之和不超過第三邊．n段鐵絲長度之和為定值144，要使n盡可能大，則每段長度要盡可能?。爻傻蔫F絲最短長度為1，因此可以放2個1，第三段鐵絲長度就是2，之后每一段鐵絲長度總是前面的相鄰兩段長度之和，依次為：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，以上各數(shù)之和為143，與144相差1，因此可以取最后一段為56，這時n達(dá)到最大，最大值為10．讓我們一起找尋生活中的數(shù)學(xué)美黃金分割與優(yōu)選法游戲活動-猜數(shù)

游戲的規(guī)則：一人隨機寫一個某范圍內(nèi)數(shù)字，另一人猜，出題的人根據(jù)對方猜的數(shù)字告訴他正確答案比它大還是小，繼續(xù)猜，直到猜中為止。比比誰猜中所用次數(shù)最少。

二分法

這個方法要點是每次都取在搜索范圍的中點，將搜索范圍對分為兩半，所以這個方法也稱為對分法.用這種方法做試驗的效果每次可以縮小一半范圍.

蒸饅頭是日常生活中常做的事情，為了使蒸出的饅頭好吃，就要放堿，如果堿放少了，蒸出的饅頭就發(fā)酸；堿放多了，饅頭就會發(fā)黃且有堿味.如果你沒有做饅頭的經(jīng)驗，也沒有人可以請教，就要用數(shù)學(xué)的方法迅速找出合適的堿量標(biāo)準(zhǔn).優(yōu)選法

假如我們是煉鋼工人，鋼中的含碳量太多了是生鐵，如果沒有一點含碳量是熟鐵，介于中間的是鋼，鋼在什么情況下強度最高呢？

假設(shè)在一噸鋼材里面

含炭量由1000克到2000克。那么到底多少含量才能煉出最好的鋼來？

在實踐中有許多最優(yōu)化問題，問題目標(biāo)與因素之間沒有明確的表達(dá)式，或有些表達(dá)式很復(fù)雜，難以用函數(shù)求極值的方法解決，只能通過實驗找出有關(guān)因素的最佳點。用最少的試驗次數(shù)找到“最佳點”的方法稱為優(yōu)選法。

優(yōu)選法的應(yīng)用在我國從70年代初開始，首先由我們數(shù)學(xué)家華羅庚等推廣并大量應(yīng)用,優(yōu)選法也叫最優(yōu)化方法。優(yōu)選法單因素雙因素單峰情形多峰情形0.618法分?jǐn)?shù)法對分法縱橫對折法單峰情形從好點出發(fā)法平行線法雙因素盲人爬山法分批試驗法盲人爬山法

0.618優(yōu)選法

假設(shè)在一噸鋼材里面

含炭量由1000克到2000克。那么到底多少含量才能煉出最好的鋼來？（誤差不得超過1克）

方法1

煉鋼時里面分別加入炭1000克，1002克，…，1000克，做1千次試驗，就能發(fā)現(xiàn)最佳方案。方法2

二分法：取1000克2000克的中點1500克。再取進一步二分法的中點1250克與1750克，分別做兩次試驗。如果1750克處效果較差，就刪去1750克到2000克的一段，如果1250克處效果較差，就刪去1000克到1250克的一段。再在剩下的一段中取中點做試驗，比較效果決定下一次的取舍，這種“二分法”會不斷接近最好點，而且所用的試驗次數(shù)與上法相比，大大減少。

表面上看來，似乎這就是最好的方法。但華羅庚證明了，每次取中點的試驗方法并不是最好的方法；每次取試驗區(qū)間的0.618處去做試驗的方法，才是最好的。試驗方法中，利用黃金分割常數(shù)確定試點的方法叫做黃金分割法，也叫做0.618法.黃金分割點的再生性華羅庚的0.618優(yōu)選法介紹x21382x1161810002000

x1＝1000＋0.618×(2000－1000) ＝1618(g)，

x2＝1000＋2000－x1＝1382(g).x1＝?。?.618×(大－小)，x2＝?。螅瓁1或?。螅虚g以后的點都是“大加小減去中間”，如比較第一、二次試驗結(jié)果，如果第二試點x2是好點，則去掉x1以外較短部分，剩余部分中選第三試點x3，計算如下：

x3＝1000＋1618－1382＝1236(g)

x21382x1161810002000比較第二、三次試驗結(jié)果，如果第二試點x2仍是好點，則去掉x3以外較短部分，剩余部分中選第四試點x4。一直進行下去，直到達(dá)到我們滿意的精確度。x4＝1236＋1618－1382＝1472(g)x21382x116181000x31236

注意，每次去掉的都是效果較差點以外的短區(qū)間，保留下的是效果較好的部分，而每次留下區(qū)間的長度是上次區(qū)間長度的0.618倍。因此，剩余搜索區(qū)間的長度按0.618的k次方倍逐次減小，以指數(shù)函數(shù)的速度迅速趨于0。所以，“0.618法”可以較快地找到滿意的點。

斐波那契數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，21，34,…用分?jǐn)?shù)列確定試點的方法叫做分?jǐn)?shù)法.分?jǐn)?shù)法

分?jǐn)?shù)法也稱斐波那契法?？梢宰C明，分?jǐn)?shù)數(shù)列中的項是黃金比的近似數(shù)。分?jǐn)?shù)法基本思想是用適當(dāng)?shù)臐u近分?jǐn)?shù)Fn/Fn+1代替0.618，然后按類似黃金分割法的操作原理選取試點.即先用漸近分?jǐn)?shù)確定第一個試點，后續(xù)試點可以用“加兩頭，減中間”的方法來確定.分?jǐn)?shù)法適用于實驗范圍是是一些不連續(xù)的、間隔不等的點組成，或試驗點只能取某些特定數(shù)，或由于某種條件的限制，只能做一定次數(shù)實驗的情況。分?jǐn)?shù)法的應(yīng)用條件例在測試某設(shè)備的線路中，要選一個電阻，但測試者手里只有阻值為0.5KΩ，1KΩ，1.3KΩ，2KΩ，3KΩ，5KΩ，5.5KΩ等七種阻值不等的定值電阻，如何解決？分?jǐn)?shù)法的具體操作

阻值間隔不均勻，電阻個數(shù)不是斐波那契數(shù).把這些電阻由小到大排序，并在兩端各增加一個虛點，使因素范圍湊成8格.阻值0.511.32355.5排序012345678

這樣，把阻值優(yōu)選變?yōu)榕帕行蛱杻?yōu)選，用漸近分?jǐn)?shù)3/8代替0.618確定試點，第1個試點選取3KΩ的電阻，第2個試點選取1.3KΩ的電阻.后續(xù)試點可以用“加兩頭，減中間”的方法來確定.0.618這個“黃金比”和斐波那契數(shù)列能產(chǎn)生“優(yōu)選法”，這告訴我們，美的東西與有用的東西之間，常常是有聯(lián)系的。

單因素優(yōu)選法如0.618法、分?jǐn)?shù)法、對分法等，它們的區(qū)別在于試驗點的選擇方法不同，如對分法是每次選取實驗范圍的中點做實驗，而且必需能判斷每次實驗結(jié)果是“好”還是“壞”，以決定留下哪一半范圍繼續(xù)做實驗。對于實驗范圍大，實驗次數(shù)多的情況，可以采取分批實驗以加快實驗進度，可減少實驗代價。（1）調(diào)酒師為了調(diào)制一種雞尾酒，每100kg烈性酒中需要加入檸檬汁的量在1kg到2kg之間，尋找它的最佳（2）用實驗方法，找出蒸饅頭時合適的放堿量。（3）在配置某種清洗液時，需要加入某種材料.經(jīng)驗表明，加入量大于130ml肯定不好.用150ml的錐形量杯計量加入量，該量杯的量程分為15格，每格代表10ml，用試驗法找出這種材料的最優(yōu)加入量。請你選擇適當(dāng)?shù)膬?yōu)選方法166最優(yōu)化數(shù)學(xué)

生活和生產(chǎn)中提出了大量的優(yōu)化問題，它們共同的追求目標(biāo)是：最多、最快、最好、最省。這發(fā)展成一門“最優(yōu)化數(shù)學(xué)”，包括規(guī)化論（線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃、幾何規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、動態(tài)規(guī)劃、多目標(biāo)規(guī)則、隨機規(guī)劃等）、統(tǒng)籌學(xué)、實驗設(shè)計（優(yōu)選法、多因素正交實驗法、分批實驗法），組合最優(yōu)化等等。167

用導(dǎo)數(shù)的方法求極值是用連續(xù)的手段處理最優(yōu)化問題，對分法、“0.618法”、分?jǐn)?shù)法則是用離散的手段處理最優(yōu)化問題。提出和解決最優(yōu)化問題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用到實踐中去的一條經(jīng)常的重要的途徑。猴子分蘋果

與遞推問題有五個猴子一起去摘蘋果。摘捕完后，他們就到河邊的樹林中睡覺。有一個先醒了，他把所有蘋果分作五份，還剩下一個，他把剩下的一個扔到河里，就提著自己的一份回家了。第二個人醒來，他把剩下的所有蘋果也分作五份，這次又剩下一個，他把這一個也扔到河里，提著一份走了。以后每個猴子都如此辦理。每次都剩下一個。問原來至少有多少蘋果？問題一

猴子分蘋果數(shù)列數(shù)列：按一定次序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列。數(shù)列中的每一個數(shù)都叫做這個數(shù)列的項。通項公式：數(shù)列的第n項與項的序數(shù)n之間的關(guān)系可以用一個公式表示，這個公式就叫做這個數(shù)列的通項公式。遞推公式：如果數(shù)列的第n項與它前一項或幾項的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的遞推公式。用遞推公式表示的數(shù)列就叫做遞推數(shù)列。問題二世界末日的傳說

印度有一個關(guān)于"世界末日"的傳說:在世界中心貝拿勒斯的圣廟里,安放著一個黃銅板,板上插著.每根針高約50.8cm,象韭菜葉那樣粗細(xì).梵天在創(chuàng)造世界的時候,在其中一根針上,自下到上,放下了由大到小的64片金片,這就是所謂梵塔,不論白天黑夜,都有一個值班的僧侶按照梵天不渝的法則,把這些金片在三根針上移來移去,一次只能移一片并且要求不管在哪根針上,小片永遠(yuǎn)在大片上面。當(dāng)64片都從一根針上,移到另外一根針上時,世界將會在一聲霹靂中消失,梵塔,廟宇和眾生都將同歸于盡——.世界末日到來。這個傳說提出了一個有趣的問題。64片金片從一根寶石針上移至另外一根針上時，究竟要移動多少次？設(shè)移動一次需1秒，計算“世界末日"的時間。問題三分割問題例1平面上有n條直線，每兩條直線皆相交，任三條直線不公點，求：（1）交點總數(shù)；（2）這n條直線把平面分成多少個部分？問題三分割問題例2n個平面最多把空間分成多少個部分？思考平面上有100個圓兩兩相交，任意兩圓有兩個交點，任三圓不共點，問這100個圓把平面分割成幾個區(qū)域？用“1*2”紙牌（如圖）若干張，放在一個圖形上．如果將圖形都蓋住，并且牌與牌之間不重疊，也沒有超出圖形之外，我們把滿足這種條件的叫做一種“覆蓋”方法．例如，用“1*2”紙牌覆蓋“2*2”圖形（如圖），有2種方法．問題四紙牌覆蓋問用“1*2”紙牌，覆蓋“2*10”圖形（如圖）有多少種覆蓋方法？思考回答1、一副撲克牌，拿走兩個王。至少抽出多少張，才能保證至少有兩張牌花色相同？2、有黑色、白色、黃色的筷子各8根，混雜在一起，黑暗中想從這些筷子中取出顏色相同的一雙筷子，問至少要取多少根才能保證達(dá)到要求？為什么？3、問：7只鴿子飛回6個鴿舍，至少有2只鴿子要飛進同一個鴿舍里。對嗎？7只鴿子飛回5個鴿舍，至少有（）鴿子要飛進同一個鴿舍里。7只鴿子飛回4個鴿舍，至少有（）鴿子要飛進同一個鴿舍里。抽屜原理一、抽屜原理

“抽屜原理”又稱“鴿籠原理”。最先是由19世紀(jì)的德國數(shù)學(xué)家狄利克雷1834年提出來的，所以也稱“狄里克雷原理”，它是組合數(shù)學(xué)中一個重要的原理。這一原理在解決實際問題中有著廣泛的應(yīng)用。原理1：把多于n個的物體按任意確定的方式分放到n個抽屜里，則至少有一個抽屜里物體有兩個或更多。例1在新學(xué)期的開學(xué)典禮上某年級總共有1千人參加，從學(xué)生中任意挑選13（14人、15人）人。證明在這13人中至少有2人屬相相同。

證明由于屬相總共有12種，因此將12種屬相看成12個抽屜．根據(jù)抽屜原理，將13件物品放入12個抽屜，至少有一個抽屜中的物品的件數(shù)不少于2，即說明13人中至少有2人屬相相同．例2有紅、黃、藍(lán)、白珠子各10粒，裝在一只袋子里，為了保證摸出的珠子有兩粒顏色相同，應(yīng)至少摸出幾粒?

解將4種顏色看成4個抽屜，任意從袋子中摸出一粒，根據(jù)顏色放入相應(yīng)抽屜．從最壞的情況考慮，假定摸出的前4粒都不同色，那么再摸出1粒(第5粒)一定可以保證和前面中的一粒同色．因此，不管在什么情況下，至少摸出5粒就能保證摸出的珠子有兩粒顏色相同．例3黑色、白色、黃色的筷子各有8根，混雜地放在一起，黑暗中想從這些筷子中取出顏色不同的2雙筷子（每雙筷子兩根的顏色應(yīng)一樣），問至少要取多少根才能保證達(dá)到要求？

提示：在最不利的情況下，只要取出8+3=11根筷子，就能保證有顏色不同的2雙筷子．所以，至少要取11根筷子才能保證達(dá)到要求．例4能否在如圖所示的8行8列的方格表中，每個空格分別填上1，2，3這三個數(shù)字中的任一個，使得每行、每列及兩條對角線上的各個數(shù)字的和互不相等？解

8行8列加上2條對角線，共有18條“線”，每條“線”上都填有8個數(shù)字，共對應(yīng)18個和。如果一條“線”上的8個數(shù)字都填1，那么數(shù)字和為最小值8；如果一條“線”上的8個數(shù)字都填3，那么數(shù)字和為最大值24．由于數(shù)字和都是整數(shù)，所以從8到24共有17個不同的值，我們把數(shù)字和的17種不同值當(dāng)作17個抽屜，而把18條“線”當(dāng)做18個蘋果，根據(jù)抽屜原理，把18條“線”分到17個抽屜，一定有一個抽屜里有兩條或兩條以上的“線”，即18條“線”上的數(shù)字和至少有兩個是相同的．因此，不可能使18條“線”上的各個數(shù)字的和互不相等．

思考回答7只鴿子飛回3個鴿舍，至少有（）只鴿子要飛進同一個鴿舍里。7只鴿子飛回2個鴿舍，至少有（）只鴿子要飛進同一個鴿舍。一副撲克牌，拿走兩個王，剩52張，任意抽出5張牌，至少有（）張牌花色相同。任意抽出9張牌，至少有（）張牌花色相同。任意抽出17張牌，至少有（）張牌花色相同。二、抽屜原理的推廣

原理2：把多于mn個物體，按任意確定的方式分放到n個抽屜里，則至少有一個抽屜里有（m+1）個或多于（m+1）個物體。

原理3：把無窮多件物體按任意方式放入n個抽屜，則至少有一個抽屜里有無窮個物體。

例5外國講星座，中國傳統(tǒng)講屬相。請問在任意的37個中國人中至少有幾個人的屬相相同?例6將5件物品放到3個抽屜里，總有一個抽屜至少有幾件物品。將10件物品放到3個抽屜里呢?將22件物品放到5個抽屜里呢?例7從一副完整的撲克牌中，至少抽出多少張牌，才能保證至少有6張牌的花色相同?三、構(gòu)造抽屜的常用方法方法一、用數(shù)組構(gòu)造抽屜例8在1，4，7，10…，100中任選20個不同的數(shù)組成一組，證明這樣的任一組數(shù)中至少有不同的兩對數(shù)，其和等于104．

方法二、用剖分圖形構(gòu)造抽屜例9在邊長為1的正方形內(nèi)，任意放入9個點，證明在以這些點為頂點的三角形中，必有一個三角形的面積不超過1/8.(三點一線時認(rèn)為面積為0)

方法三、用著色方法構(gòu)造“抽屜”例10六人集會問題“證明在任意6個人的集會上，或者有3個人以前彼此相識，或者有三個人以前彼此不相識?！?/p>

方法四、用剩余類構(gòu)造“抽屜”例11證明：“任意7個整數(shù)中，至少有3個數(shù)的兩兩之差是3的倍數(shù)?！彼摹W(xué)生練習(xí)1、某班有45名同學(xué)，那么在這45名同學(xué)中至少有幾個人在同一個月中出生？2、（1）在一個口袋中有10個黑球，6個白球，4個紅球，問：至少從中取出多少個球，才能保證其中一定有白球？（2）在一副撲克牌中，最少要拿出多少張，才能保證在拿出的牌中四種花色都有？3、把154本圖書分給某班的同學(xué)，如果不管怎樣分，都至少有一位同學(xué)會分得4本或4本以上的圖書，那么這個班最多有多少名學(xué)生？4、飼養(yǎng)員給10只猴子分蘋果，其中至少要有一只猴子得到7個蘋果，飼養(yǎng)員至少要拿來多少個蘋果？5、請你任意寫出4個自然數(shù)，在這4個自然數(shù)中，必定有這樣的兩個數(shù)，它們的差是3的倍數(shù)，為什么？6、在半徑為1的圓內(nèi)，任意畫13個點，則一定有三個點，由它們構(gòu)成的三角形面積小于。為什么？趣味邏輯問題

邏輯是關(guān)于思維的科學(xué)。邏輯推理就是根據(jù)一系列的事實或論據(jù)，使用一定的推理方法，最后得到結(jié)論的思維過程。1、推理必須遵循邏輯規(guī)律

邏輯的基本規(guī)律是人們運用概念、作出判斷、進行推理和論證時所必須遵守的最起碼的思維準(zhǔn)則。它包括同一律、矛盾律、排中律、充足理由律。違背了邏輯的基本規(guī)律的要求，思維就會陷入邏輯矛盾。數(shù)學(xué)邏輯與推理也主要以這規(guī)律為基礎(chǔ)。一、邏輯規(guī)律簡介2、邏輯規(guī)律（1）同一律基本內(nèi)容：在同一個推理、論證過程中，任何一個概念或判斷都與其自身保持同一。

邏輯表達(dá)式：A是A同一律的邏輯要求：確定性的要求。違反同一律的邏輯錯誤有：混淆概念或偷換概念，混淆論題或偷換論題

例：為什么亂罰款？答：罰款本身不是目的，嚴(yán)格執(zhí)法是為了維護人民的合法權(quán)益。

這個回答問題出在哪里？一、邏輯規(guī)律簡介2、邏輯規(guī)律（2）矛盾律基本內(nèi)容：在同一個推理論證過程中，互相否定的判斷不可能都是真的，其中必有一個是假的。

邏輯表達(dá)式：A不是非A矛盾律的邏輯要求：不能自相矛盾。在同一個思維過程中，也就是在同一時間、同一關(guān)系下，同一對象不應(yīng)該具有相互矛盾的屬性，也就是不能在同一個思維過程中，對一個對象既予肯定，又予否定。一、邏輯規(guī)律簡介2、邏輯規(guī)律（3）排中律基本內(nèi)容：在同一個思維過程，兩個互相否定的思想必有一個是真的。此外沒有其他可能。即對一個命題及其否定不能持兩不可之說。它要求：在同一時間、同一關(guān)系（也就是同一思維過程中），對反映同一對象的兩個互相否定的思想，它或者是真的，或者是假的，二者必居其一，不應(yīng)該含糊其詞，騎墻其中。（4）充足理由律基本內(nèi)容：任何判斷必須有(充足)理由。一、邏輯規(guī)律簡介只有一個問題老師（正在上一學(xué)期的最后一節(jié)課）：“下禮拜一就要進行期末考試，現(xiàn)在試卷已經(jīng)發(fā)到文印室?guī)煾凳掷锶ゴ蛴?，大家都?yīng)該為迎接考試做好準(zhǔn)備?，F(xiàn)在，你們還有什么問題需要問嗎？”學(xué)生：“只有一個問題：老師，那個文印室?guī)煾底≡谀睦?？”請你用所學(xué)的邏輯規(guī)律分析下面兩個小幽默?！哪幌奶斓囊粋€周末，市內(nèi)火車很擠。一個老人在站臺上走著，尋找空位。突然他看見車上有個空位，便上了車。座位上放著一個小袋子，一位穿戴講究的先生在旁邊坐著。

“這個位置空著嗎？”老人問。

“不空，有人，他去買報紙了，很快就回來”。

“那么，”老人說：“我先坐這，等他回來我就走。”10分鐘過去了，火車開了。“他錯過火車了，”老人說：“可不能讓他丟了袋子?！闭f著他拿起袋子。正當(dāng)他要把袋子扔出窗外時，穿戴講究的先生跳起來，叫道：“別扔，是我的袋子！”是我的袋子——幽默二提示：幽默一：學(xué)生犯了偷換概念的錯誤。老師所說的“問題”與他提出的問題不是一個意思。幽默二：穿戴講究的先生違反了矛盾律，犯了自相矛盾的錯誤。1、利用邏輯規(guī)律進行推理例1相片在哪里？某國王選婿，公主將自己照片放到下面三個盒子之一，并在每個盒子外面寫了一句話：紅盒：相片在這里黃盒：相片不在這里藍(lán)盒：相片不在紅盒子里并告訴參選者，這三句話中只有一句是真的，猜中相片在哪里者進入下一輪競選。想想，相片在哪個盒子里呢？

二、邏輯推理常用方法分析解答

注意到，紅盒上的話“相片在這里”與藍(lán)盒上的話“相片不在紅盒子里”相互否定，根據(jù)矛盾律和排中律，此二句必有一真一假．根據(jù)題設(shè)“只有一句是真的”，則黃盒上的話為假，得出相片就在黃盒里．

2、利用反證法進行推理

所謂反證法，就是先提出和要求證的結(jié)論相反的假定，即肯定題設(shè)而否定結(jié)論，然后從這個假定中經(jīng)過推理導(dǎo)出矛盾，從而證明原命題的一種方法．它屬于“間接證明法”的一種．

用反證法證題時，如果欲證明的命題的反面情況只有一種，那么只要將這種情況駁倒了就可以，這種反證法又叫“歸謬法”；如果結(jié)論的反面情況有多種，那么必須將所有的反面情況一一駁倒，才能推斷原結(jié)論成立，這種證法又叫“窮舉法”．

例2比賽的名次（九年級（上）數(shù)學(xué)北師大版教材）某次世界杯的四強賽中,小紅、小明、小強對A、B、C、D四支球隊的排名情況作了預(yù)測——小紅：A隊第一，B隊第三小明：C隊第一，D隊第四小強：D隊第二，A隊第三比賽結(jié)束后，三個人都沒有完全猜中，但都猜對了一半，那么到底四支球隊的排名情況如何呢？解

注意到每人都猜對了一半，假設(shè)小紅的前半句話正確，后半句話錯，即小紅：A隊第一（√），B隊第三（×）；則小明：C隊第一（×），D隊第四（√）；繼而得小強：D隊第二（×），A隊第三（√）．顯然，“A隊第一”與“A隊第三”相互矛盾，所以假設(shè)錯誤．因此小紅的前半句話錯，后半句話正確，即小紅：A隊第一（×），B隊第三（√）；則小強：D隊第二（√），A隊第三（×）；繼而得小明：C隊第一（√），D隊第四（×）．經(jīng)過檢查符合條件，即有C隊第一，D隊第二，B隊第三，A隊第四．3、借助表格或圖像進行推理例3、三條領(lǐng)帶

黃、藍(lán)、白三位先生在一起吃午餐。他們都穿西裝打領(lǐng)帶，而且領(lǐng)帶顏色也剛好有藍(lán)、白、黃三種，他們一邊吃飯一邊聊天。突然系藍(lán)領(lǐng)帶的那位先生說話了：“各位有沒有發(fā)現(xiàn)，我們?nèi)齻€人所系的領(lǐng)帶顏色都和自己的姓氏不同耶！”黃先生聽到了就說：“對呀，你說的一點也沒錯！”

請問：黃、藍(lán)、白先生，各是系何種顏色的領(lǐng)帶呢？分析解答：這里涉及到三位先生和三條領(lǐng)帶共兩個集合，所以我們先建立一個表格，第一行表示先生，第一列表示領(lǐng)帶．如果先生姓氏和所系領(lǐng)帶顏色相符，我們就在相應(yīng)行與列對應(yīng)的空格內(nèi)填“1”，否則填“0”．

從表中便可看出黃先生系白領(lǐng)帶，藍(lán)先生系黃領(lǐng)帶，白先生系藍(lán)領(lǐng)帶．例4、比賽幾場A、B、C、D、E五支球隊進行單循環(huán)比賽（每隊都要和其它四隊各賽一場）．當(dāng)比賽進行到一定階段時，統(tǒng)計A、B、C、D四隊已經(jīng)比賽過的場數(shù)為：A隊賽過4場；B隊賽過3場；C隊賽過2場；D隊賽過1場．試問哪些球隊之間已經(jīng)比賽過了？E隊這時賽了幾場？分析解答

此題可將A、B、C、D、E五支球隊表示為5個點，兩點之間連線表示對應(yīng)的兩隊比賽過一場，如圖6-1。顯然每隊最多比賽了四場。由于A隊賽過4場，說明A隊和每隊都比賽過；D隊賽過1場，說明D隊只和A隊賽過；再由B隊賽過3場，說明B隊和除去D隊的A、C、E三隊都比賽過；此時C隊和A、B隊已賽過2場；可得E隊這時和A、B隊共賽過2場．圖6-1三、邏輯推理挑戰(zhàn)時間問題1、院子里四個小孩A,B,C,D在踢球，不小心把某個房間窗戶的玻璃打破了，主人詢問后得到的回答是：：A說:“B打破的”。B說：“D打破的?！盋說：“不是我打破的”。D說：“B撒謊?！睋?jù)目擊者說只有一個孩子說了真話，肇事者也只是其中一人，請問說真話的是誰，肇事者是誰。問題2、猜帽子（1）過去有三個人是一師之徒，他們都很聰明．一天老師決定考考他們誰更聰明，做了一個實驗：三人被蒙上眼睛，告訴他們每人頭上都給戴了一頂帽子，帽子不是紅的就是黑的．在這以后，去掉蒙眼睛的布，要求每個人如果看見別人（一個或兩個）戴紅帽子就舉手，并且誰能斷定自己頭上帽子的顏色，就馬上離開房間．所有三人碰巧都戴紅帽子，因此三人都舉了手．幾分鐘之后，甲離開了．他是怎樣推出自己頭上帽子顏色的？問題3、猜帽子（2）老師讓4名學(xué)生圍坐成一圈，另讓一名學(xué)生坐在中央，并拿出五頂帽子，其中三頂白色，兩頂黑色．然后讓五名學(xué)生都戴上眼罩，并給每個學(xué)生戴一頂帽子．再只解開坐在圈上的4名學(xué)生的眼罩．這時，由于坐在中央的學(xué)生的阻擋，每個人只能看到三個人的帽子．老師說：“現(xiàn)在，你們五人猜一猜自己戴的帽子顏色．”大家靜靜地思索了好大一會．最后，坐在中央的、被蒙住雙眼的學(xué)生說：“我猜到了．”

問：中央的被蒙住雙眼的學(xué)生帶的是什么顏色的帽子？他是怎樣猜到的？問題4、關(guān)于“撒謊者”的故事

一個英國探險家到非洲某地探險．在宿營地附近有兩個土著部落，高個子部落和矮個子部落．已知兩個部落中有一個部落成員總是說真話，另一個部落成員則總是說假話．有一次，探險家在路上遇到兩個土人，一個高個子一個矮個子．探險家問高個子土人：“你是說真話嗎？”這個土人回答說：“古姆”，探險家知道這個土語意思為“是”或“不是”，但記不清了．小個子土人會講英語，就解釋說：“他說‘是的’，但他是個騙子．”試問哪個部落成員說真話，哪個部落成員說假話？

問題5俱樂部有多少人

某俱樂部成員有兩種人，一種是永遠(yuǎn)說實話的老實人，另一種是總說假話的騙子，A先生去訪問時，他們都圍著圓桌吃飯，他問每個人：“你是不是騙子？”，結(jié)果每個人都回答“不是”。接著他又問每個人：“你左鄰那人是不是老實人？”結(jié)果每個人仍都回答“不是”。A先生回家后，忘了問他們共有多少人，就打電話問俱樂部主席，回答“23人”。掛上電話后，他又想到忘了問主席是不是騙子，只好重新打電話，這次接電話的是秘書，他得知A先生意思后說“不，桌邊有24人，主席是個騙子，他的話怎么能信？”試確定這個俱樂部有多少人？提示：

注意，主席和秘書可能是騙子，但明顯，二者一個是老實人，一個是騙子。解題的關(guān)鍵是從A先生的問話及得到的回答考慮，第一個問題沒有實際意義，因為無論是老實人還是騙子對“你是不是騙子？”回答都是“不是”。第二個問題得到全部否定回答，這表明圓桌邊上的人是老實人與騙子相互間隔排列，否則總要有某個人作肯定回答，(若回答“不是”的是老實人，則其左鄰是騙子，若回答“不是”的是騙子，則其左鄰必是老實人)這樣得知人數(shù)為偶數(shù)，但主席說有23人，推出主席是騙子，因此秘書是老實人，從而人數(shù)為24.問題6誰是魔鬼

天使永遠(yuǎn)說真話，魔鬼永遠(yuǎn)說假話，人有時說真話有時說假話．現(xiàn)有天使、魔鬼和人各一位，分別穿著紅衣服、藍(lán)衣服和白衣服．他們各自敘述如下：紅衣服：“我不是魔鬼．”藍(lán)衣服：“我不是天使．”白衣服：“我不是人．”

請問：哪個是天使，哪個是魔鬼，哪個是人？分析解答

假設(shè)穿藍(lán)衣服者說話為假話，則穿藍(lán)衣服者為天使，這與天使永遠(yuǎn)說真話矛盾，故穿藍(lán)衣服者不是天使，而所說話為真，因此穿藍(lán)衣服者為人．接著可推出穿白衣服者所說的話為真，故穿白衣服者為天使，穿紅衣服者為魔鬼．問題7誠實者和說謊者

我們?nèi)ふ覍毑?，遇到了兩扇門，寶藏在其中一扇門的后面，但是另一扇門是萬劫不復(fù)的深淵．我們只能打開其中一扇門，要么拿到寶藏，要么萬劫不復(fù)．現(xiàn)在這兩扇門旁邊坐著兩個人，這兩個人都知道哪扇門后面有寶藏，也都知道哪扇門后面是萬劫不復(fù)的深淵，但是這兩個人中有一個只講真話，另一個只講假話，可是我們不知道那兩人誰講真話誰講假話．現(xiàn)在我們只有問其中一個人一個問題的機會，為了能夠拿到寶藏，我們應(yīng)該怎么問？問誰？分析解答

我們可以隨便選其中一個人問：另一個人會指出哪扇門后面是有寶藏的？設(shè)門1后是寶藏，門2后是深淵，A為誠實者，B為說謊者．若問到A，得到的答案是：B會說門2后面會有寶藏．若問到B，得到的答案是：A會說門2后面會有寶藏．即我們將這個問題無論問哪一個人，得到的答案都指向那扇錯誤的門．問題8箱子上的標(biāo)簽

有三個筐，一個筐裝著柑子，一個筐裝著蘋果，一個筐混裝著柑子和蘋果．裝完后封好了，然后做了“柑子”、“蘋果”、“混裝”三個標(biāo)簽，分別往上述三個筐上貼．由于馬虎，結(jié)果全都貼錯了．

請你想一個辦法，只許從某一個筐中拿出一個水果查看，就能夠糾正所有的標(biāo)簽．問題9職業(yè)是什么

盧剛、丁飛和陳瑜一位是工程師，一位是醫(yī)生，一位是飛行員．現(xiàn)在知道：①盧剛和醫(yī)生不同歲；②醫(yī)生比丁飛年齡?。虎坳愯け蕊w行員年齡大．問三人的職業(yè)各是什么？問題10讀什么專業(yè)朋友有三個兒子，分別在清華、北大、科大讀書，三人讀不同的專業(yè)．并且①老大不在北大；②老二不在清華；③在北大的不讀數(shù)學(xué)；④在清華的讀化學(xué)；⑤老二不讀物理．問：老三在哪里讀書，讀什么專業(yè)？問題11科學(xué)家到底姓什么

少先隊要去采訪一位電子科學(xué)家，可他們不知道科學(xué)家姓什么．看門的老伯伯說了下面一段話，請他們猜猜科學(xué)家姓什么．老伯伯說，二樓住著分別姓李、王、張的三位科技會議代表，一位是科學(xué)家，一位是技術(shù)員，一位是科技雜志編輯．二樓還住著三位來自不同地方的旅客也姓李、王、張．并且：①姓李的旅客來自北京；②技術(shù)員在廣州一家工廠工作；③姓王的旅客說話有口吃的毛??；④與技術(shù)員同姓的旅客來自上海；⑤技術(shù)員和一位教師旅客來自同一個城市；⑥姓張的代表賽乒乓球總是輸給編輯．問題12誰是兇手

艾麗斯，艾麗斯的丈夫，他們的兒子，他們的女兒，還有艾麗斯的哥哥，卷入一樁謀殺案．這五人中的一人殺了其余四人中的一人．這五人的有關(guān)情況是：①在謀殺發(fā)生時，有一男一女兩人正在一家酒吧里；②在謀殺發(fā)生時，兇手和被害者兩人正在一個海灘上；③在謀殺發(fā)生時，兩個子女中的一個正一人獨處；④在謀殺發(fā)生時，艾麗斯和她的丈夫不在一起；⑤被害者的孿生同胞是無罪的；⑥兇手比被害者年輕．

這五人之中，誰是被害者？

課后練習(xí)

1、甲、乙、丙、丁四人在爭論今天是星期幾，甲說：明天是星期五；乙說：昨天是星期日；丙說：你倆說的都不對；丁說：今天不是星期六．實際上這四個人只有一人說對了，那么請問今天是星期幾？

2、警察抓了5個犯罪嫌疑人，對他們的談話做了記錄：A說：5個人中有1人說謊。B說：5個人中有2人說謊。C說：5個人中有3人說謊。D說：5個人中有4人說謊。E說：5個人都在說謊。最后警察只釋放了說真話的人，你知道釋放了多少人嗎？

3、有500人聚會，其中至少有一人說假話，這500人里任意兩個人總有一個說真話。問：說真話、假話各幾人?答案：用反證法可得，說假話1人，真話499人。4、小李、小徐和小張是同學(xué)，大學(xué)畢業(yè)后分別當(dāng)了教師、數(shù)學(xué)家和工程師．小張年齡比工程師大；小李和數(shù)學(xué)家不同歲；數(shù)學(xué)家比小徐年齡?。l是教師、誰是數(shù)學(xué)家、誰是工程師？

答案：數(shù)學(xué)家-小張，小徐-教師，小李-工程師

5、甲、乙、丙三人分別在北京、天津、上海的中學(xué)教數(shù)學(xué)、物理、化學(xué).已知①甲不在北京；②乙不在天津；③在北京的人不教化學(xué)；④在天津的人教數(shù)學(xué)；⑤乙不教物理。

根據(jù)以上情況判斷，甲、乙、丙三人分別在何處教何課程？

答案：甲-天津-數(shù)學(xué)，乙-上海-化學(xué)，丙-北京-物理

6、

史密斯、瓊斯和魯賓遜三人同乘一列火車，他們的職業(yè)分別為工程師、司閘員和消防員，但不一定是按上面順序?；疖嚿线€有三個乘客分別與他們?nèi)送眨瑸榱艘允緟^(qū)別，在這些乘客的姓后加上“先生”。魯賓遜先生居住在洛杉磯；司閘員住在奧馬哈；瓊斯先生早把高中學(xué)的代數(shù)忘得一干二凈；與司閘員同姓的乘客住在芝加哥。司閘員和另外三位乘客中的一位出類拔萃的數(shù)學(xué)物理學(xué)家在同一個教堂做禮拜；史密斯在臺球比賽中擊敗了消防員。請問誰是工程師？機靈的小白鼠