中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)突破專題50 中考數(shù)學(xué)新定義型試題解法（教師版）

專題50中考數(shù)學(xué)新定義型試題解法1.新定義問題所謂“新定義”試題指給出一個(gè)從未接觸過的新規(guī)定，要求現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用，“給什么，用什么”是應(yīng)用新“定義”解題的基本思路．這類試題的特點(diǎn)：源于中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容但又是學(xué)生沒有遇到過的新信息,它可以是新的概念、新的運(yùn)算、新的符號(hào)、新的圖形、新的定理或新的操作規(guī)則與程序等等.在解決它們過程中又可產(chǎn)生了許多新方法、新觀念，增強(qiáng)了學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)．2.新定義問題類型主要包括以下幾種類型：（1）概念的“新定義”；（2）運(yùn)算的“新定義”；（3）規(guī)則的“新定義”；（4）實(shí)驗(yàn)操作的“新定義”；（5）幾何圖形的新定義．3.新定義問題解題策略“新定義型專題”關(guān)鍵要把握兩點(diǎn)：一是掌握問題原型的特點(diǎn)及其問題解決的思想方法；二是根據(jù)問題情景的變化，通過認(rèn)真思考，合理進(jìn)行思想方法的遷移?！纠}1】（2020?河南）定義運(yùn)算：m☆n＝mn2﹣mn﹣1．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7．則方程1☆x＝0的根的情況為（）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 C．無實(shí)數(shù)根 D．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根【答案】A【分析】根據(jù)新定義運(yùn)算法則以及即可求出答案．【解析】由題意可知：1☆x＝x2﹣x﹣1＝0，∴△＝1﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】定義：對(duì)于實(shí)數(shù)a，符號(hào)[a]表示不大于a的最大整數(shù)．例如：[5.7]=5，[5]=5，[-π]=-4．（1）如果[a]=-2，那么a的取值范圍是．（2）如果[]=3，求滿足條件的所有正整數(shù)x．【答案】（1）-2≤a＜-1（2）5，6．【解析】運(yùn)算新定義問題。（1）∵[a]=-2，∴a的取值范圍是-2≤a＜-1；故答案為：-2≤a＜-1．（2）根據(jù)題意得：3≤＜4，解得：5≤x＜7，則滿足條件的所有正整數(shù)為5，6．【例題2】（2021廣東深圳模擬）定義新運(yùn)算：a※b=SKIPIF1<0，則函數(shù)y=3※x的圖象大致是()A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意得y＝3※x＝SKIPIF1<0當(dāng)x≥3時(shí)，y＝2；當(dāng)x＜3且x≠0時(shí)，y＝?SKIPIF1<0,圖象如圖：【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】（2020甘肅蘭州模擬）通過學(xué)習(xí)三角函數(shù)，我們知道在直角三角形中，一個(gè)銳角的大小與兩條邊長的比值相互唯一確定，因此邊長與角的大小之間可以相互轉(zhuǎn)化。類似的，可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯(lián)系。我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對(duì)（sad）.如圖①在△ABC中，AB=AC，頂角A的正對(duì)記作sadA，這時(shí)sadASKIPIF1<0.容易知道一個(gè)角的大小與這個(gè)角的正對(duì)值也是相互唯一確定的.根據(jù)上述角的正對(duì)定義，解下列問題：（1）sad60°=.（2）對(duì)于0°<A<180°，∠A的正對(duì)值sadA的取值范圍是.（3）如圖②，已知sinASKIPIF1<0，其中∠A為銳角，試求sadA的值.AAABCCB圖①圖②【答案】見解析?！窘馕觥浚?）根據(jù)正對(duì)定義，當(dāng)頂角為60°時(shí)，等腰三角形底角為60°，則三角形為等邊三角形，則sad60°=SKIPIF1<0QUOTE=1．故答案為1．（2）當(dāng)∠A接近0°時(shí)，sadα接近0，當(dāng)∠A接近180°時(shí)，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故sadα接近2．于是sadA的取值范圍是0＜sadA＜2．故答案為0＜sadA＜2．（3）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，sin∠A=SKIPIF1<0QUOTE．在AB上取點(diǎn)D，使AD=AC，作DH⊥AC，H為垂足，令BC=3k，AB=5k，則AD=AC=SKIPIF1<0QUOTE=4k，又在△ADH中，∠AHD=90°，sin∠A=SKIPIF1<0QUOTE．∴DH=ADsin∠A=SKIPIF1<0QUOTEk，AH=SKIPIF1<0QUOTE=SKIPIF1<0QUOTEk．則在△CDH中，CH=AC﹣AH=SKIPIF1<0QUOTEk，CD=SKIPIF1<0QUOTE=SKIPIF1<0QUOTEk．于是在△ACD中，AD=AC=4k，CD=SKIPIF1<0QUOTEk．由正對(duì)的定義可得：sadA=QUOTE=SKIPIF1<0QUOTE，即sadα=SKIPIF1<0QUOTE．【例題3】（2020?咸寧）定義：有一組對(duì)角互余的四邊形叫做對(duì)余四邊形．理解：（1）若四邊形ABCD是對(duì)余四邊形，則∠A與∠C的度數(shù)之和為；證明：（2）如圖1，MN是⊙O的直徑，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，AM，CN相交于點(diǎn)D．求證：四邊形ABCD是對(duì)余四邊形；探究：（3）如圖2，在對(duì)余四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，探究線段AD，CD和BD之間有有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出猜想，并說明理由．【答案】見解析?！痉治觥浚?）對(duì)余四邊形的定義即可得出結(jié)果；（2）由圓周角定理得出∠BAM+∠BCN＝90°，即∠BAD+∠BCD＝90°，即可得出結(jié)論；（3）對(duì)余四邊形的定義得出∠ADC＝30°，將△BCD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BAF，連接FD，則△BCD≌△BAF，∠FBD＝60°，得出BF＝BD，AF＝CD，∠BDC＝∠BFA，則△BFD是等邊三角形，得出BF＝BD＝DF，易證∠BFA+∠ADB＝30°，由∠FBD+∠BFA+∠ADB+∠AFD+∠ADF＝180°，得出∠AFD+∠ADF＝90°，則∠FAD＝90°，由勾股定理即可得出結(jié)果．【解析】（1）解：∵四邊形ABCD是對(duì)余四邊形，∴∠A+∠C＝90°或∠A+∠C＝360°﹣90°＝270°，故答案為：90°或270°；（2）證明：∵M(jìn)N是⊙O的直徑，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，∴∠BAM+∠BCN＝90°，即∠BAD+∠BCD＝90°，∴四邊形ABCD是對(duì)余四邊形；（3）解：線段AD，CD和BD之間數(shù)量關(guān)系為：AD2+CD2＝BD2，理由如下：∵對(duì)余四邊形ABCD中，∠ABC＝60°，∴∠ADC＝30°，∵AB＝BC，∴將△BCD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BAF，連接FD，如圖3所示：∴△BCD≌△BAF，∠FBD＝60°∴BF＝BD，AF＝CD，∠BDC＝∠BFA，∴△BFD是等邊三角形，∴BF＝BD＝DF，∵∠ADC＝30°，∴∠ADB+∠BDC＝30°，∴∠BFA+∠ADB＝30°，∵∠FBD+∠BFA+∠ADB+∠AFD+∠ADF＝180°，∴60°+30°+∠AFD+∠ADF＝180°，∴∠AFD+∠ADF＝90°，∴∠FAD＝90°，∴AD2+AF2＝DF2，∴AD2+CD2＝BD2．【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】（2020廣東佛山模擬）閱讀材料我們經(jīng)常通過認(rèn)識(shí)一個(gè)事物的局部或其特殊類型，來逐步認(rèn)識(shí)這個(gè)事物；比如我們通過學(xué)習(xí)兩類特殊的四邊形，即平行四邊形和梯形（繼續(xù)學(xué)習(xí)它們的特殊類型如矩形、等腰梯形等）來逐步認(rèn)識(shí)四邊形；我們對(duì)課本里特殊四邊形的學(xué)習(xí)，一般先學(xué)習(xí)圖形的定義，再探索發(fā)現(xiàn)其性質(zhì)和判定方法，然后通過解決簡單的問題鞏固所學(xué)知識(shí)；請(qǐng)解決以下問題：如圖，我們把滿足AB=AD、CB=CD且AB≠BC的四邊形ABCD叫做“箏形”；（1）寫出箏形的兩個(gè)性質(zhì)（定義除外）；（2）寫出箏形的兩個(gè)判定方法（定義除外），并選出一個(gè)進(jìn)行證明．【答案】見解析?！窘馕觥勘绢}主要考查了根據(jù)題意及圖示判斷箏形的定義及性質(zhì)，然后根據(jù)題目要求依次進(jìn)行解答，難度適中．（1）性質(zhì)1：只有一組對(duì)角相等，性質(zhì)2：只有一條對(duì)角線平分對(duì)角；（2）判定方法1：只有一條對(duì)角線平分對(duì)角的四邊形是箏形，判定方法2：兩條對(duì)角線互相垂直且只有一條被平分的四邊形是箏形，證明方法1：∵∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA，AC=AC，∴△ABC≌△ADC，∴AB=AD，CB=CD，①易知AC⊥BD，又∵∠ABD≠∠CBD，∴∠BAC≠∠CBA，AB≠BC，②由①②知四邊形ABCD是箏形．一、選擇題1.（2019?湖南岳陽?）對(duì)于一個(gè)函數(shù)，自變量x取a時(shí)，函數(shù)值y也等于a，我們稱a為這個(gè)函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)．如果二次函數(shù)y＝x2+2x+c有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)x1.x2，且x1＜1＜x2，則c的取值范圍是（）A．c＜﹣3 B．c＜﹣2 C．c＜ D．c＜1【答案】B．【解析】本題主要考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是理解并掌握不動(dòng)點(diǎn)的概念，并據(jù)此得出關(guān)于c的不等式．由題意知二次函數(shù)y＝x2+2x+c有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)x1.x2是方程x2+2x+c＝x的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且x1＜1＜x2，整理，得：x2+x+c＝0，則．解得c＜﹣2。二、填空題2.（2020山東棗莊模擬）定義：a是不為1的有理數(shù)，我們把SKIPIF1<0稱為a的差倒數(shù)．如：2的差倒數(shù)是SKIPIF1<0，－1的差倒數(shù)是SKIPIF1<0．已知a1＝－SKIPIF1<0，a2是a1的差倒數(shù)，a3是a2的差倒數(shù)，a4是a3的差倒數(shù)，…，依此類推，a2009＝．【答案】3/4【解析】這是概念的“新定義”型問題。理解差倒數(shù)的概念，要根據(jù)定義去做．通過計(jì)算，尋找差倒數(shù)出現(xiàn)的規(guī)律，依據(jù)規(guī)律解答即可．根據(jù)差倒數(shù)定義可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．顯然每三個(gè)循環(huán)一次，又2009÷3＝669余2，故a2009和a2的值相等．【點(diǎn)撥】此類題型要嚴(yán)格根據(jù)定義做，這也是近幾年出現(xiàn)的新類型題之一，同時(shí)注意分析循環(huán)的規(guī)律．3.（2020畢節(jié)地區(qū)）對(duì)于兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)a、b，定義一種新的運(yùn)算如下，SKIPIF1<0，如：SKIPIF1<0，那么6*（5*4）=．【答案】1【解析】：本題需先根據(jù)已知條件求出5*4的值，再求出6*（5*4）的值即可求出結(jié)果．∵SKIPIF1<0，∴5*4=SKIPIF1<0=3，∴6*（5*4）=6*3，=SKIPIF1<0，=1．【點(diǎn)撥】本題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，在解題時(shí)要先明確新的運(yùn)算表示的含義是本題的關(guān)鍵．4.（2020重慶江津區(qū)）我們定義SKIPIF1<0，例如QUOTESKIPIF1<0=2×5﹣3×4=10﹣12=﹣2，若x，y均為整數(shù)，且滿足1＜QUOTESKIPIF1<0＜3，則x+y的值是．【答案】3或者-3【解析】先根據(jù)題意列出不等式，根據(jù)x的取值范圍及x為整數(shù)求出x的值，再把x的值代入求出y的值即可．由題意得，1＜1×4﹣xy＜3，即1＜4﹣xy＜3，∴SKIPIF1<0，∵x、y均為整數(shù)，∴xy為整數(shù)，∴xy=2，∴x=±1時(shí)，y=±2；x=±2時(shí)，y=±1；∴x+y=2+1=3或x+y=﹣2﹣1=﹣3．【點(diǎn)撥】此題比較簡單，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出不等式，根據(jù)x，y均為整數(shù)求出x、y的值即可．5．（2021浙江臺(tái)州模擬）定義一種新運(yùn)算：a※b＝SKIPIF1<0，則2※3﹣4※3的值______．【答案】8【解析】本題主要考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握新定義規(guī)定的運(yùn)算法則及有理數(shù)的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．2※3﹣4※3＝3×3﹣（4﹣3）＝9﹣1＝86．（2021湖北隨州模擬）對(duì)于SKIPIF1<0定義一種新運(yùn)算“☆”，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是常數(shù)，等式右邊是通常的加法和乘法運(yùn)算．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為____．【答案】-11【解析】根據(jù)題中的新定義得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；7．（2021山東樂陵模擬）對(duì)于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0定義一種新運(yùn)算“*”：SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0、SKIPIF1<0為常數(shù)，等式右邊是通常的加法和乘法的運(yùn)算．已知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0_______．【答案】24【解析】根據(jù)題中的新定義得：SKIPIF1<0，①﹣②得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，把SKIPIF1<0代入①得：SKIPIF1<0，則方程組的解為SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．8.（2019?湖北十堰）對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，定義運(yùn)算“◎”如下：a◎b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．若（m+2）◎（m﹣3）＝24，則m＝．【答案】﹣3或4．【解答】解：根據(jù)題意得[（m+2）+（m﹣3）]2﹣[（m+2）﹣（m﹣3）]2＝24，（2m﹣1）2﹣49＝0，（2m﹣1+7）（2m﹣1﹣7）＝0，2m﹣1+7＝0或2m﹣1﹣7＝0，所以m1＝﹣3，m2＝4．故答案為﹣3或4．9.定義一種新運(yùn)算：x*y=，如2*1==2，則（4*2）*（﹣1）=．【答案】0．【解析】本題考查了有理數(shù)混合運(yùn)算：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級(jí)運(yùn)算，應(yīng)按從左到右的順序進(jìn)行計(jì)算；如果有括號(hào)，要先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算。是創(chuàng)新題。先根據(jù)新定義計(jì)算出4*2=2，然后再根據(jù)新定義計(jì)算2*（﹣1）即可．4*2==2，2*（﹣1）==0．故（4*2）*（﹣1）=0．10．（2019湖南常德）規(guī)定：如果一個(gè)四邊形有一組對(duì)邊平行，一組鄰邊相等，那么稱此四邊形為廣義菱形．根據(jù)規(guī)定判斷下面四個(gè)結(jié)論：①正方形和菱形都是廣義菱形；②平行四邊形是廣義菱形；③對(duì)角線互相垂直，且兩組鄰邊分別相等的四邊形是廣義菱形；④若M、N的坐標(biāo)分別為（0，1），（0，﹣1），P是二次函數(shù)y＝x2的圖象上在第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，PQ垂直直線y＝﹣1于點(diǎn)Q，則四邊形PMNQ是廣義菱形．其中正確的是．（填序號(hào)）【答案】①④【解析】①根據(jù)廣義菱形定義，正方形和菱形都有一組對(duì)邊平行，一組鄰邊相等，①正確；②平行四邊形有一組對(duì)邊平行，沒有一組鄰邊相等，②錯(cuò)誤；③由給出條件無法得到一組對(duì)邊平行，③錯(cuò)誤；④設(shè)點(diǎn)P（m，m2），則Q（m，﹣1），∴MP＝＝，PQ＝+1，∵點(diǎn)P在第一象限，∴m＞0，∴MP＝+1，∴MP＝PQ，又∵M(jìn)N∥PQ，∴四邊形PMNQ是廣義菱形．④正確。11．閱讀材料：設(shè)＝（x1，y1），＝（x2，y2），如果∥，則x1?y2＝x2?y1，根據(jù)該材料填空，已知＝（4，3），＝（8，m），且∥，則m＝．【答案】6【解析】本題考查新定義，點(diǎn)的坐標(biāo)；理解閱讀材料的內(nèi)容，轉(zhuǎn)化為所學(xué)知識(shí)求解是關(guān)鍵．根據(jù)材料可以得到等式4m＝3×8，即可求m；∵＝（4，3），＝（8，m），且∥，∴4m＝3×8，∴m＝6三、解答題12．（2021河北石家莊模擬）定義新運(yùn)算：對(duì)于任意實(shí)數(shù)，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，等式右邊是通常的加法、減法及乘法運(yùn)算，比如：SKIPIF1<0（1）求SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；（2）若SKIPIF1<0的值小于10，請(qǐng)判斷方程：SKIPIF1<0的根的情況．【答案】（1）1或-5；（2）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根【解析】本題是對(duì)定義新運(yùn)算的考查，準(zhǔn)確根據(jù)題意列出算式和掌握一元二次方程的解法及根的判別式是解決本題的關(guān)鍵.（1）x⊕（﹣4）＝6SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；∴x的值為1或-5.（2）3⊕a＜10，3（3﹣a）+1＜1010﹣3a＜10a＞0，∵SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.13．（2020?遂寧）閱讀以下材料，并解決相應(yīng)問題：小明在課外學(xué)習(xí)時(shí)遇到這樣一個(gè)問題：定義：如果二次函數(shù)y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1、b1、c1是常數(shù)）與y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2、b2、c2是常數(shù)）滿足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，則這兩個(gè)函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．求函數(shù)y＝2x2﹣3x+1的旋轉(zhuǎn)函數(shù)，小明是這樣思考的，由函數(shù)y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根據(jù)a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能確定這個(gè)函數(shù)的旋轉(zhuǎn)函數(shù)．請(qǐng)思考小明的方法解決下面問題：（1）寫出函數(shù)y＝x2﹣4x+3的旋轉(zhuǎn)函數(shù)．（2）若函數(shù)y＝5x2+（m﹣1）x+n與y＝﹣5x2﹣nx﹣3互為旋轉(zhuǎn)函數(shù)，求（m+n）2020的值．（3）已知函數(shù)y＝2（x﹣1）（x+3）的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A、B、C關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別是A1、B1、C1，試求證：經(jīng)過點(diǎn)A1、B1、C1的二次函數(shù)與y＝2（x﹣1）（x+3）互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．【答案】見解析?！痉治觥浚?）由二次函數(shù)的解析式可得出a1，b1，c1的值，結(jié)合“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”的定義可求出a2，b2，c2的值，此問得解；（2）由函數(shù)y＝5x2+（m﹣1）x+n與y＝﹣5x2﹣nx﹣3互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，可求出m，n的值，將其代入（m+n）2020即可求出結(jié)論；（3）利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)，結(jié)合對(duì)稱的性質(zhì)可求出點(diǎn)A1，B1，C1的坐標(biāo)，由點(diǎn)A1，B1，C1的坐標(biāo)，利用交點(diǎn)式可求出過點(diǎn)A1，B1，C1的二次函數(shù)解析式，由兩函數(shù)的解析式可找出a1，b1，c1，a2，b2，c2的值，再由a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0可證出經(jīng)過點(diǎn)A1，B1，C1的二次函數(shù)與函數(shù)y＝2（x﹣1）（x+3）互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．【解析】（1）由y＝x2﹣4x+3函數(shù)可知，a1＝1，b1＝﹣4，c1＝3，∵a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，∴a2＝﹣1，b2＝﹣4，c2＝﹣3，∴函數(shù)y＝x2﹣4x+3的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”為y＝﹣x2﹣4x﹣3；（2）∵y＝5x2+（m﹣1）x+n與y＝﹣5x2﹣nx﹣3互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，∴m?1=?nn?3=0解得：m=?2n=3∴（m+n）2020＝（﹣2+3）2020＝1．（3）證明：當(dāng)x＝0時(shí)，y＝2（x﹣1）（x+3））＝﹣6，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣6）．當(dāng)y＝0時(shí)，2（x﹣1）（x+3）＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣3，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣3，0）．∵點(diǎn)A，B，C關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別是A1，B1，C1，∴A1（﹣1，0），B1（3，0），C1（0，6）．設(shè)過點(diǎn)A1，B1，C1的二次函數(shù)解析式為y＝a（x+1）（x﹣3），將C1（0，6）代入y＝a（x+1）（x﹣3），得：6＝﹣3a，解得：a＝﹣2，過點(diǎn)A1，B1，C1的二次函數(shù)解析式為y＝﹣2（x+1）（x﹣3），即y＝﹣2x2+4x+6．∵y＝2（x﹣1）（x+3）＝2x2+4x﹣6，∴a1＝2，b1＝4，c1＝﹣6，a2＝﹣2，b2＝4，c2＝6，∴a1+a2＝2+（﹣2）＝0，b1＝b2＝4，c1+c2＝6+（﹣6）＝0，∴經(jīng)過點(diǎn)A1，B1，C1的二次函數(shù)與函數(shù)y＝2（x﹣1）（x+3）互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．14.（2020年浙江寧波）定義：三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線和與另一個(gè)內(nèi)角相鄰的外角平分線相交所成的銳角稱為該三角形第三個(gè)內(nèi)角的遙望角．（1）如圖1，∠E是△ABC中∠A的遙望角，若∠A＝α，請(qǐng)用含α的代數(shù)式表示∠E．（2）如圖2，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，四邊形ABCD的外角平分線DF交⊙O于點(diǎn)F，連結(jié)BF并延長交CD的延長線于點(diǎn)E．求證：∠BEC是△ABC中∠BAC的遙望角．（3）如圖3，在（2）的條件下，連結(jié)AE，AF，若AC是⊙O的直徑．①求∠AED的度數(shù)；②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面積．【答案】（1）∠E＝SKIPIF1<0α；（2）見解析；（3）①∠AED＝45°；②SKIPIF1<0【解析】（1）由角平分線的定義可得出結(jié)論；（2）由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出∠FDC+∠FBC=180°，得出∠FDE=∠FBC，證得∠ABF=∠FBC，證出∠ACD=∠DCT，則CE是△ABC的外角平分線，可得出結(jié)論；（3）①連接CF，由條件得出∠BFC=∠BAC，則∠BFC=2∠BEC，得出∠BEC=∠FAD，證明△FDE≌△FDA（AAS），由全等三角形的性質(zhì)得出DE=DA，則∠AED=∠DAE，得出∠ADC=90°，則可求出答案；②過點(diǎn)A作AG⊥BE于點(diǎn)G，過點(diǎn)F作FM⊥CE于點(diǎn)M，證得△EGA∽△ADC，得出SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0，設(shè)AD=4x，AC=5x，則有（4x）2+52=（5x）2，解得x=SKIPIF1<0，求出ED，CE的長，求出DM，由等腰直角三角形的性質(zhì)求出FM，根據(jù)三角形的面積公式可得出答案．解：（1）∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝SKIPIF1<0（∠ACD﹣∠ABC）＝SKIPIF1<0α，（2）如圖1，延長BC到點(diǎn)T，∵四邊形FBCD內(nèi)接于⊙O，∴∠FDC+∠FBC＝180°，又∵∠FDE+∠FDC＝180°，∴∠FDE＝∠FBC，∵DF平分∠ADE，∴∠ADF＝∠FDE，∵∠ADF＝∠ABF，∴∠ABF＝∠FBC，∴BE是∠ABC的平分線，∵SKIPIF1<0，∴∠ACD＝∠BFD，∵∠BFD+∠BCD＝180°，∠DCT+∠BCD＝180°，∴∠DCT＝∠BFD，∴∠ACD＝∠DCT，∴CE是△ABC的外角平分線，∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遙望角．（3）①如圖2，連接CF，∵∠BEC是△ABC中∠BAC的遙望角，∴∠BAC＝2∠BEC，∵∠BFC＝∠BAC，∴∠BFC＝2∠BEC，∵∠BFC＝∠BEC+∠FCE，∴∠BEC＝∠FCE，∵∠FCE＝∠FAD，∴∠BEC＝∠FAD，又∵∠FDE＝∠FDA，F(xiàn)D＝FD，∴△FDE≌△FDA（AAS），∴DE＝DA，[來源:學(xué)?？?。網(wǎng)Z。X。X。K]∴∠AED＝∠DAE，∵AC是⊙O的直徑，∴∠ADC＝90°，∴∠AED+∠DAE＝90°，[來源:Zxxk.Com]∴∠AED＝∠DAE＝45°，②如圖3，過點(diǎn)A作AG⊥BE于點(diǎn)G，過點(diǎn)F作FM⊥CE于點(diǎn)M，[來源:Z#xx#k.Com]∵AC是⊙O的直徑，∴∠ABC＝90°，∵BE平分∠ABC，∴∠FAC＝∠EBC＝SKIPIF1<0∠ABC＝45°，[來源:Z|xx|k.Com]∵∠AED＝45°，∴∠AED＝∠FAC，∵∠FED＝∠FAD，∴∠AED﹣∠FED＝∠FAC﹣∠FAD，∴∠AEG＝∠CAD，∵∠EGA＝∠ADC＝90°，∴△EGA∽△ADC，∴SKIPIF1<0，∵在Rt△ABG中，AG＝SKIPIF1<0，Rt△ADE中，AE＝SKIPIF1<0AD，∴SKIPIF1<0，在Rt△ADC中，AD2+DC2＝AC2，∴設(shè)AD＝4x，AC＝5x，則有（4x）2+52＝（5x）2，∴x＝SKIPIF1<0，[來源:學(xué)_科_網(wǎng)]∴ED＝AD＝SKIPIF1<0，∴CE＝CD+DE＝SKIPIF1<0，∵∠BEC＝∠FCE，∴FC＝FE，∵FM⊥CE，∴EM＝SKIPIF1<0CE＝SKIPIF1<0，∴DM＝DE﹣EM＝SKIPIF1<0，∵∠FDM＝45°，∴FM＝DM＝SKIPIF1<0，∴S△DEF＝SKIPIF1<0DE?FM＝SKIPIF1<0．【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查了角平分線的定義，圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．（2020?連云港）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，把與x軸交點(diǎn)相同的二次函數(shù)圖象稱為“共根拋物線”．如圖，拋物線L1：y=12x2?32x﹣2的頂點(diǎn)為D，交x軸于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C．拋物線L2與L1是“共根拋物線（1）若拋物線L2經(jīng)過點(diǎn)（2，﹣12），求L2對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）當(dāng)BP﹣CP的值最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）設(shè)點(diǎn)Q是拋物線L1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且位于其對(duì)稱軸的右側(cè)．若△DPQ與△ABC相似，求其“共根拋物線”L2的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】見解析?！痉治觥浚?）由題意設(shè)拋物線L2的解析式為y＝a（x+1）（x﹣4），利用待定系數(shù)法求出a即可解決問題．（2）由題意BP＝AP，如圖1中，當(dāng)A，C，P共線時(shí)，BP﹣PC的值最大，此時(shí)點(diǎn)P為直線AC與直線x=3（3）由題意，頂點(diǎn)D（32，?258），∠PDQ不可能是直角，第一種情形：當(dāng)∠DPQ＝90°時(shí)，①如圖3﹣1中，當(dāng)△QDP∽△ABC時(shí)．②如圖3﹣2中，當(dāng)△DQP∽△ABC時(shí)．第二種情形：當(dāng)∠DQP＝90°．①如圖3﹣3中，當(dāng)△PDQ∽△ABC時(shí)．②當(dāng)△DPQ【解析】（1）當(dāng)y＝0時(shí)，12x2?32x﹣2＝0，解得x∴A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2），由題意設(shè)拋物線L2的解析式為y＝a（x+1）（x﹣4），把（2，﹣12）代入y＝a（x+1）（x﹣4），﹣12＝﹣6a，解得a＝2，∴拋物線的解析式為y＝2（x+1）（x﹣4）＝2x2﹣6x﹣8．（2）∵拋物線L2與L1是“共根拋物線”，A（﹣1，0），B（4，0），∴拋物線L1，L2的對(duì)稱軸是直線x=3∴點(diǎn)P在直線x=3∴BP＝AP，如圖1中，當(dāng)A，C，P共線時(shí)，BP﹣PC的值最大，此時(shí)點(diǎn)P為直線AC與直線x=3∵直線AC的解析式為y＝﹣2x﹣2，∴P（32，﹣（3）由題意，AB＝5，CB＝25，CA=5∴AB2＝BC2+AC2，∴∠ACB＝90°，CB＝2CA，∵y=12x2?32x﹣2=12（∴頂點(diǎn)D（32，?由題意，∠PDQ不可能是直角，第一種情形：當(dāng)∠DPQ＝90°時(shí)，①如圖3﹣1中，當(dāng)△QDP∽△ABC時(shí)，QPDP設(shè)Q（x，12x2?32x﹣2），則P（32，12x∴DP=12x2?32x﹣2﹣（?258）=12x2?∵PD＝2QP，∴2x﹣3=12x2?32x+98∴P（32，39②如圖3﹣2中，當(dāng)△DQP∽△ABC時(shí)，同法可得QO＝2PD，x?32=x2﹣3解得x=52或∴P（32，?第二種情形：當(dāng)∠DQP＝90°．①如圖3﹣3中，當(dāng)△PDQ∽△ABC時(shí)，PQDQ過點(diǎn)Q作QM⊥PD于M．則△QDM∽△PDQ，∴QMMD=PQDQ=12，由圖3﹣1可知，M（32，∴MD＝8，MQ＝4，∴DQ＝45，由DQDM=PD∵D（32，?∴P（32，55②當(dāng)△DPQ∽△ABC時(shí)，過點(diǎn)Q作QM⊥PD于M．同法可得M（32，?218），Q（5∴DM=12，QM＝1，QD由QDDM=PDDQ∴P（32，?16.（2019重慶）在數(shù)的學(xué)習(xí)過程中，我們總會(huì)對(duì)其中一些具有某種特性的數(shù)進(jìn)行研究，如學(xué)習(xí)自然數(shù)時(shí)，我們研究了偶數(shù)、奇數(shù)、合數(shù)、質(zhì)數(shù)等.現(xiàn)在我們來研究一種特殊的自然數(shù)——“純數(shù)”.定義：對(duì)于自然數(shù)n，在通過列豎式進(jìn)行n+(n+1)+(n+2)的運(yùn)算時(shí)各位都不產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象，則稱這個(gè)自然數(shù)n為“純數(shù)”.例如：32是“純數(shù)”，因?yàn)?2+33+34在列豎式計(jì)算時(shí)各位都不產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象；23不是“純數(shù)”，因?yàn)?3+24+25在列豎式計(jì)算時(shí)個(gè)位產(chǎn)生了進(jìn)位.（1）請(qǐng)直接寫出1949到2019之間的“純數(shù)”；（2）求出不大于100的“純數(shù)”的個(gè)數(shù)，并說明理由.【答案】見解析。【解析】（1）顯然1949至1999都不是“純數(shù)”因?yàn)樵谕ㄟ^列豎式進(jìn)行n+(n+1)+(n+2)的運(yùn)算時(shí)要產(chǎn)生進(jìn)位.在2000至2019之間的數(shù)，只有個(gè)位不超過2時(shí)，才符合“純數(shù)”的定義.所以所求“純數(shù)”為2000，2001，2002，2010，2011，2012.（2）不大于100的“純數(shù)”的個(gè)數(shù)有13個(gè)，理由如下：因?yàn)閭€(gè)位不超過2，二位不超過3時(shí)，才符合“純數(shù)”的定義.所以不大于100的“純數(shù)”有：0，1，2，10，11，12，20，21，22，30，31，32，100.共13個(gè).17．（2019湖北咸寧）定義：有一組鄰邊相等且對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫做等補(bǔ)四邊形．理解：（1）如圖1，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，∠ABC的平分線交⊙O于點(diǎn)D，連接AD，CD．求證：四邊形ABCD是等補(bǔ)四邊形；探究：（2）如圖2，在等補(bǔ)四邊形ABCD中，AB＝AD，連接AC，AC是否平分∠BCD？請(qǐng)說明理由．運(yùn)用：（3）如圖3，在等補(bǔ)四邊形ABCD中，AB＝AD，其外角∠EAD的平分線交CD的延長線于點(diǎn)F，CD＝10，AF＝5，求DF的長．【答案】見解析?！窘馕觥浚?）由圓內(nèi)接四邊形互補(bǔ)可知∠A+∠C＝180°，∠ABC+∠ADC＝180°，再證AD＝CD，即可根據(jù)等補(bǔ)四邊形的定義得出結(jié)論；（2）過點(diǎn)A分別作AE⊥BC于點(diǎn)E，AF垂直CD的延長線于點(diǎn)F，證△ABE≌△ADF，得到AE＝AF，根據(jù)角平分線的判定可得出結(jié)論；（3）連接AC，先證∠EAD＝∠BCD，推出∠FCA＝∠FAD，再證△ACF∽△DAF，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等可求出DF的長．解：（1）證明：∵四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形，∴∠A+∠C＝180°，∠ABC+∠ADC＝180°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴，∴AD＝CD，∴四邊形ABCD是等補(bǔ)四邊形；（2）AD平分∠BCD，理由如下：如圖2，過點(diǎn)A分別作AE⊥BC于點(diǎn)E，AF垂直CD的延長線于點(diǎn)F，則∠AEB＝∠AFD＝90°，∵四邊形ABCD是等補(bǔ)四邊形，∴∠B+∠ADC＝180°，又∠ADC+∠ADF＝180°，∴∠B＝∠ADF，∵AB＝AD，∴△ABE≌△ADF（AAS），∴AE＝AF，∴AC是∠BCF的平分線，即AC平分∠BCD；（3）如圖3，連接AC，∵四邊形ABCD是等補(bǔ)四邊形，∴∠BAD+∠BCD＝180°，又∠BAD+∠EAD＝180°，∴∠EAD＝∠BCD，∵AF平分∠EAD，∴∠FAD＝∠EAD，由（2）知，AC平分∠BCD，∴∠FCA＝∠BCD，∴∠FCA＝∠FAD，又∠AFC＝∠DFA，∴△ACF∽△DAF，∴，即，∴DF＝5﹣5．18.如圖1，⊙O的半徑為r(r>0)，若點(diǎn)P′在射線OP上，滿足OP′?OP=r2，則稱點(diǎn)P′是點(diǎn)P關(guān)于⊙O的“反演點(diǎn)”，如圖2，⊙O的半徑為4，點(diǎn)B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=8，若點(diǎn)A′、B′分別是點(diǎn)A，B關(guān)于⊙O的反演點(diǎn)，求A′B′的長.【答案】見解析?！窘馕觥啃露x；等邊三角形的判定和性質(zhì)；勾股定理.∵⊙O的半徑為4，點(diǎn)A′、B′分別是點(diǎn)A，B關(guān)于⊙O的反演點(diǎn)，點(diǎn)B在⊙O上，OA=8，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0.∴點(diǎn)B的反演點(diǎn)B′與點(diǎn)B重合.如答圖，設(shè)OA交⊙O于點(diǎn)M，連接B′M，∵OM=OB′，∠BOA=60°，∴△OB′M是等邊三角形.∵SKIPIF1<0，∴B′M⊥OM.∴在SKIPIF1<0中，由勾股定理得SKIPIF1<0.19．（2019江蘇常熟）已知平面圖形S，點(diǎn)P、Q是S上任意兩點(diǎn)，我們把線段PQ的長度的最大值稱為平面圖形S的“寬距”．例如，正方形的寬距等于它的對(duì)角線的長度．（1）寫出下列圖形的寬距：①半徑為1的圓：；②如圖1，上方是半徑為1的半圓，下方是正方形的三條邊的“窗戶形“：；（2）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（﹣1，0）、B（1，0），C是坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)，連接AB、BC、CA所形成的圖形為S，記S的寬距為d．①若d＝2，用直尺和圓規(guī)畫出點(diǎn)C所在的區(qū)域并求它的面積（所在區(qū)域用陰影表示）；②若點(diǎn)C在⊙M上運(yùn)動(dòng)，⊙M的半徑為1，圓心M在過點(diǎn)（0，2）且與y軸垂直的直線上．對(duì)于⊙M上任意點(diǎn)C，都有5≤d≤8，直接寫出圓心M的橫坐標(biāo)x的取值范圍．【答案】見解析?！窘馕觥浚?）①半徑為1的圓的寬距離為1，故答案為1．②如圖1，正方形ABCD的邊長為2，設(shè)半圓的圓心為O，點(diǎn)P是⊙O上一點(diǎn)，連接OP，PC，OC．在Rt△ODC中，OC＝＝＝∴OP+OC≥PC，∴PC≤1+，∴這個(gè)“窗戶形“的寬距為1+．故答案為1+．（2）①如圖2﹣1中，點(diǎn)C所在的區(qū)域是圖中正方形AEBF，面積為2．②如圖2﹣2中，當(dāng)點(diǎn)M在y軸的右側(cè)時(shí)，連接AM，作MT⊥x軸于T．∵AC≤AM+CM，又∵5≤d≤8，∴當(dāng)d＝5時(shí)．AM＝4，∴AT＝＝2，此時(shí)M（2﹣1，2），當(dāng)d＝8時(shí)．AM＝7，∴AT＝＝2，此時(shí)M（2﹣1，2），∴滿足條件的點(diǎn)M的橫坐標(biāo)的范圍為2﹣1≤x≤2﹣1．當(dāng)點(diǎn)M在y軸的左側(cè)時(shí)，滿足條件的點(diǎn)M的橫坐標(biāo)的范圍為﹣2+1≤x﹣2+1．20．（2020湖北隨州模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，我們定義直線y＝ax－a為拋物線y＝ax2＋bx＋c(a、b、c為常數(shù)，a≠0)的“夢(mèng)想直線”；有一個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上，另一個(gè)頂點(diǎn)在y軸上的三角形為其“夢(mèng)想三角形”．已知拋物線SKIPIF1<0與其“夢(mèng)想直線”交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C．（1）填空：該拋物線的“夢(mèng)想直線”的解析式為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為；（2）如圖，點(diǎn)M為線段CB上一動(dòng)點(diǎn)，將△ACM以AM所在直線為對(duì)稱軸翻折，點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)為N，若△AMN為該拋物線的“夢(mèng)想三角形”，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；（3）當(dāng)點(diǎn)E在拋物線的對(duì)稱軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，在該拋物線的“夢(mèng)想直線”上，是否存在點(diǎn)F，使得以點(diǎn)A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】見解析。【解析】（1）SKIPIF1<0，(－2，2EQ\R(,3))，(1，0)．（2）∵拋物線與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，∴C(－3，0)．過點(diǎn)A作AG⊥y軸，垂足為點(diǎn)G．當(dāng)點(diǎn)N在y軸上時(shí)，△AMN為夢(mèng)想三角形．設(shè)N(0，n)，∵A(－2，2EQ\R(,3)),C(－3,0)，∴AC＝EQ\R(,13)，∴AN＝AC＝EQ\R(,13)，在Rt△AGN中，AG2＋GN2＝AN2，又AG＝2，GN＝|n－2EQ\R(,3)|，∴4＋(n－2EQ\R(,3))2＝13，解得n＝2EQ\R(,3)－3或n＝2EQ\R(,3)＋3，設(shè)M(m，0),當(dāng)n＝2EQ\R(,3)－3時(shí)，在Rt△MNO中，(2EQ\R(,3)－3)2＋m2＝(m＋3)2，解得：m＝2－2EQ\R(,3)；當(dāng)n＝2EQ\R(,3)＋3時(shí)，在Rt△MNO中，(2EQ\R(,3)＋3)2＋m2＝(m＋3)2，解得：m＝2＋2EQ\R(,3)；又－3＜m≤1，∴m＝2＋2EQ\R(,3)不合題意，舍去．∴m＝2－2EQ\R(,3)，此時(shí)n＝2EQ\R(,3)－3，∴N(0，2EQ\R(,3)－3)．當(dāng)點(diǎn)M在y軸上時(shí)，△AMN為夢(mèng)想三角形