不定積分 (公式大全)

第5章不定積分

5.1原函數(shù)與不定積分的概念一、原函數(shù)與不定積分通過(guò)對(duì)求導(dǎo)和微分的學(xué)習(xí)，我們可以從一個(gè)函數(shù)y＝f(x)出發(fā)，去求它的導(dǎo)數(shù)f'(x)那么，我們能不能從一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f’(x)出發(fā)，反過(guò)來(lái)去求它是哪一個(gè)函數(shù)(原函數(shù))的導(dǎo)數(shù)呢?[定義]已知f(x)是定義在某區(qū)間上的一個(gè)函數(shù)，如果存在函數(shù)F(x)，使得在該區(qū)間上的任何一點(diǎn)x處都有F'(x)＝f(x)，那么稱(chēng)函數(shù)F(x)為函數(shù)f(x)在該區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)。2021/5/91例1求下列函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)：⑴f(x)＝2x⑵f(x)＝cosx解：⑴∵(x2)'＝2x∴x2是函數(shù)2x的一個(gè)原函數(shù)⑵∵(sinx)'＝cosx∴sinx是函數(shù)cosx的一個(gè)原函數(shù)這里為什么要強(qiáng)調(diào)是一個(gè)原函數(shù)呢?因?yàn)橐粋€(gè)函數(shù)的原函數(shù)不是唯一的。例如在上面的⑴中，還有(x2＋1)'＝2x，

(x2－1)'＝2x

所以x2、x2＋1、x2－1、x2＋C(C為任意常數(shù))都是函數(shù)f(x)＝2x的原函數(shù)。2021/5/92[定理5.1]

設(shè)F(x)是函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù)，C是一個(gè)任意常數(shù)，那么，⑴F(x)＋C也是f(x)

在該區(qū)間I上的原函數(shù)⑵f(x)該在區(qū)間I上的全體原函數(shù)可以表示為F(x)＋C證明：⑴∵[F(X)＋C]'＝F'(x)＋(C)'＝f(x)∴F(x)＋C也是f(x)的原函數(shù)⑵略2021/5/93

這說(shuō)明函數(shù)f(x)如果有一個(gè)原函數(shù)F(x)，那么它就有無(wú)窮多個(gè)原函數(shù)，它們都可以表示為F(x)＋C的形式。[定義5.2]

函數(shù)f(x)的全體原函數(shù)叫做函數(shù)f(x)的不定積分，記作∫f(x)dx，其中∫叫做積分號(hào)，f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量。求函數(shù)f(x)的不定積分就是求它的全體原函數(shù)，因此，∫f(x)dx＝F(x)＋C

其中C是任意常數(shù)，叫做積分常數(shù)。2021/5/94例2求下列不定積分⑴∫x5dx⑵∫sinxdx解：⑴∵是x5的一個(gè)原函數(shù)∴⑵∵－cosx是sinx的一個(gè)原函數(shù)∴2021/5/95二、不定積分的幾何意義

設(shè)F(x)是函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則曲線y＝F(x)稱(chēng)為f(x)的一條積分曲線，曲線y＝F(x)＋C表示把曲線y＝F(x)上下平移所得到的曲線族。因此，不定積分的幾何意義是指由f(x)的全體積分曲線組成的積分曲線族。例4求斜率為2x且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0)的曲線。解：設(shè)所求曲線為y＝f(x)，則f’(x)＝2x，故y＝x2＋C，∵曲線過(guò)點(diǎn)(1,0)∴以x＝1、y＝0代入得0＝12＋C，解得C＝－1，因此，所求曲線為y＝x2－1。2021/5/96三、基本積分公式由于積分運(yùn)算是求導(dǎo)運(yùn)算的逆運(yùn)算，所以由基本求導(dǎo)公式反推，可得基本積分公式⑴∫dx＝x＋C⑵∫xαdx＝(α≠-1)⑶

⑷⑸∫exdx＝ex＋C⑹∫sinxdx＝－cosx＋C⑺∫cosxdx＝sinx＋C⑻∫sec2xdx＝tanx＋C⑼∫csc2xdx＝－cotx＋C⑽⑾2021/5/97說(shuō)明：冪函數(shù)的積分結(jié)果可以這樣求，先將被積函數(shù)的指數(shù)加1，再把指數(shù)的倒數(shù)放在前面做系數(shù)。[注意]

不能認(rèn)為arcsinx＝－arccosx，他們之間的關(guān)系是arcsinx＝π／2－arccosx2021/5/98四、不定積分的性質(zhì)⑴[∫f(x)dx]'＝f(x)

該性質(zhì)表明，如果函數(shù)f(x)先求不定積分再求導(dǎo)，所得結(jié)果仍為f(x)⑵∫F'(x)dx＝F(x)＋C

該性質(zhì)表明，如果函數(shù)F(x)先求導(dǎo)再求不定積分，所得結(jié)果與F(x)相差一個(gè)常數(shù)C⑶∫kf(x)dx＝k∫f(x)dx(k為常數(shù))

該性質(zhì)表明，被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以提到積分號(hào)的前面⑷∫[f(x)±g(x)]dx＝∫f(x)dx±∫g(x)dx

該性質(zhì)表明，兩個(gè)函數(shù)的和或差的不定積分等于這兩個(gè)函數(shù)的不定積分的和或差2021/5/99五、基本積分公式的應(yīng)用例7求∫(9x2＋8x)dx解：∫(9x2＋8x)dx＝∫9x2dx＋∫8xdx

＝3∫3x2dx＋4∫2xdx＝3x3＋4x2＋C例11求∫3xexdx2021/5/9105.2不定積分的計(jì)算一、直接積分法對(duì)被積函數(shù)進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變形后直接用不定積分的性質(zhì)和基本積分公式即可求出不定積分的方法稱(chēng)為直接積分法。運(yùn)用直接積分法可以求出一些簡(jiǎn)單函數(shù)的不定積分。2021/5/911

2021/5/912一、第一換元法(湊微分法)

如果被積函數(shù)的自變量與積分變量不相同，就不能用直接積分法。例如求∫cos2xdx，被積函數(shù)的自變量是2x，積分變量是x。這時(shí)，我們可以設(shè)被積函數(shù)的自變量為u，如果能從被積式中分離出一個(gè)因子u’(x)來(lái)，那么根據(jù)∫f(u)u'(x)dx＝∫f(u)du＝F(u)＋C就可以求出不定積分。這種積分方法叫做湊微分法。2021/5/913[講解例題]例2求∫2sin2xdx解：設(shè)u＝2x，則du＝2dx∫2sin2xdx＝∫sin2x·2dx＝∫sinudu

＝－cosu＋C＝－cos2x＋C注意：最后結(jié)果中不能有u，一定要還原成x。解：設(shè)u＝x2＋1，則du＝2xdx2021/5/914

解：設(shè)u＝x2，則du＝2xdx

設(shè)u＝cosx，則du＝-sinxdx2021/5/915

當(dāng)計(jì)算熟練后，換元的過(guò)程可以省去不寫(xiě)。例求∫sin3xcosxdx

解：∫sin3xcosxdx＝∫sin3xd(sinx)＝sin4x＋C2021/5/916二、第二換元積分法例如，求，把其中最難處理的部分換元，令則原式＝，再反解x＝u2＋1，得dx＝2udu，代入這就是第二換元積分法。2021/5/917

(1)如果被積函數(shù)含有，可以用x＝asint換元。

(2)如果被積函數(shù)含有，可以用x＝atant換元。2021/5/918

(3)如果被積函數(shù)含有，可以用x＝asect換元。2021/5/919以下結(jié)果可以作為公式使用：⑿∫tanxdx＝ln|secx|＋C⒀∫cotdx＝－ln|cscx|＋C⒁∫secxdx＝ln|secx＋tanx|＋C⒂∫cscxdx＝－ln|cscx＋cotx|＋C⒃⒄⒅2021/5/9205.3分部積分法一、分部積分公式考察函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則：

[u(x)·v(x)]'＝u'(x)·v(x)＋u(x)·v'(x)兩邊積分得

u(x)·v(x)＝∫u'(x)v(x)dx＋∫u(x)v'(x)dx于是有∫u(x)·v'(x)dx＝u(x)·v(x)－∫u'(x)·v(x)dx或表示成∫u(x)dv(x)＝u(x)·v(x)－∫v(x)du(x)這一公式稱(chēng)為分部積分公式。2021/5/921二、講解例題例1求∫xexdx解:令u(x)＝x，v'(x)＝ex

則原式為∫u(x)·v'(x)dx的形式∵(ex)'＝ex∴v(x)＝ex，由分部積分公式有∫xexdx＝x·ex－∫exdx＝xex－ex＋C例2求∫xcos2xdx解：令u(x)＝x，v'(x)＝cos2x，則v(x)＝sin2x

于是∫xcos2xdx＝xsin2x－∫sin2xdx

＝xsin2x＋cos2x＋C2021/5/922

有時(shí)，用分部積分法求不定積分需要連續(xù)使用幾次分部積分公式才可以求出結(jié)果。例5：求∫x2e-2xdx解：令u(x)＝x2，v'(x)＝e-2x，則v(x)＝于是2021/5/923由此可見(jiàn)：作一次分部積分后，被積函數(shù)中冪函數(shù)的次數(shù)可以降低一次。如果所得到的積分式還需要用分部積分法解，那么，可以再用分部積分公式做下去。為了簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程，下面介紹:三、分部積分法的列表解法例如：求∫x2sinxdxx2sinx

求導(dǎo)↓+↓積分

2x--cosx∫x2sinxdx＝-x2cosx-∫2x(-cosx)dx2021/5/924

[分部積分法的列表解法]例如：求∫x2sinxdxx2sinx求導(dǎo)↓↓積分2x-cosx∫x2sinxdx＝-x2cosx＋∫2xcosxdx＝-x2cosx＋2xsinx-∫2sinxdx求導(dǎo)↓

２↓積分-sinx＝-x2cosx＋2xsinx＋2cosx＋C求導(dǎo)↓

０↓積分+cosx

＋－

－＋＋2021/5/925例4：求∫xlnxdxxlnx

求導(dǎo)↓↓積分

1?這說(shuō)明把lnx放在右邊用分部積分法解不下去。把lnx放在左邊用分部積分法解：

lnxx

求導(dǎo)↓+↓積分

-2021/5/926[一般原則]對(duì)數(shù)函數(shù)、反三角函數(shù)、冪函數(shù)應(yīng)放在左邊，指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)應(yīng)放在右邊。有些單獨(dú)一個(gè)函數(shù)的不定積分也要用分部積分法解。例3：求∫lnxdxlnx1

求導(dǎo)↓+↓積分

-x=xlnx－∫dx=xlnx－x＋C2021/5/927例6求∫arcsinxdxarcsinx

1

求導(dǎo)↓+↓積分

-x例71

求導(dǎo)↓↓積分

x2021/5/928例8求∫exsin3xdx解：∫exsin3xdx＝exsin3x－3∫excos3xdx

＝exsin3x－3excos3x－9∫exsin3xdx移項(xiàng)得∫exsin3xdx＝ex(si3nx－3cos3x)＋C5.4有理函數(shù)積分法一、有理函數(shù)的定義有理函數(shù)是指分子、分母都是多項(xiàng)式的分式函數(shù)，形如2021/5/929二、真分式的部分分式分解設(shè)分子的次數(shù)為n，分母的次數(shù)為m。當(dāng)n＜m時(shí)，該分式稱(chēng)為真分式；當(dāng)n≥m時(shí)，該分式稱(chēng)為假分式。假分式可以寫(xiě)成多項(xiàng)式與真分式的和。這里主要講解真分式的部分分式分解。例 分解成部分分式解：因?yàn)榉帜负?x－1)