2023版高三一輪總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)新教材新高考第八章直線和圓、圓錐曲線教案

第八章直線和圓、圓錐曲線

全國(guó)卷兩年考情圖解高考命題規(guī)律把握

1.考查形式

本章在高考中一般考查2道小題或者1道

考點(diǎn)

解答題，分值占22分.

122(2)121(2)

圓錐曲線綜合問題

111019II2(X2)2.考查內(nèi)容

直線與圓錐曲線的

1121

位置關(guān)系

(1)對(duì)直線方程、圓及圓錐曲線的概念和性

113

拋物線ni4114113

121(1)質(zhì)的考查一般以選擇題或填空題為主，重

雙曲線U13

15在考查學(xué)生的雙基.

橢圓122(1)1120(1)

圓與方程nn⑵對(duì)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的考查，

直線與方程

20202021年份常以定點(diǎn)問題、最值問題及探索性問題為

載體，重在考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、方程思想

及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

備二直線的方程

［考試要求］

1.在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素.

2.理解直線的傾斜角和斜率的概念，經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過程，

掌握過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式.

3.根據(jù)確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線方程的幾種形式(點(diǎn)斜式、

兩點(diǎn)式及一般式).

［走進(jìn)教材-夯實(shí)基礎(chǔ)］回顧知識(shí)?激活技能

€＞梳理?必備知識(shí)

1.直線的方向向量

(1)設(shè)A,B是直線上的兩點(diǎn)，則Q就是這條直線的方向向量.

(2)若直線/的斜率為上,則直線/的一個(gè)方向向量為

2.直線的傾斜角

(1)定義：當(dāng)直線/與X軸相交時(shí)，以X軸作為基準(zhǔn)，X軸正向與直線/向上

的方向之間所成的角a叫做直線/的傾斜角.

(2)范圍：直線的傾斜角a的取值范圍為0°Wa<180°.

3.直線的斜率

(1)定義：把一條直線的傾斜角a的正切值叫做這條直線的斜率.斜率常用

小寫字母k表示，即仁tana(a#90°).

(2)過兩點(diǎn)的直線的斜率公式

V9-VI

如果直線經(jīng)過兩點(diǎn)Pl(xi,yi),P2(X2,y2)(Xl#X2),其斜率攵-

4.直線方程的五種形式

名稱方程適用范圍

點(diǎn)斜式?一袂)=依一而不含直線X=X()

斜截式y(tǒng)=Ax+b不含垂直于X軸的直線

y-yix-xj

兩點(diǎn)式券―yi-12-xi不含直線x=xi和直線y=yi

(xiW%2,yiW”)

截距式工+'=]不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線

a-b---

Ax+8y+C=0(A2+

一般式平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用

中工0)

提醒：“截距”是直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)值，它可正、可負(fù)，也可以是零,

而“距離”是一個(gè)非負(fù)數(shù).

［常用結(jié)論］

1.直線的斜率Z和傾斜角a之間的函數(shù)關(guān)系

如圖，當(dāng)aW0,當(dāng)時(shí)，斜率附0,+8)；當(dāng)a苦時(shí)，斜率不存在;當(dāng)

a喏，兀)時(shí)，斜率左￡(一8,0).

2.特殊直線的方程

(1)直線過點(diǎn)Pi(xi,yi),垂直于x軸的方程為岳4；

⑵直線過點(diǎn)Pi(xi,yi),垂直于y軸的方程為

(3)y軸的方程為x=0；

(4)x軸的方程為y=0.

?激活?基本技能

一'易錯(cuò)易誤辨析(正確的打“J”，錯(cuò)誤的打“X”)

⑴直線的斜率為tana,則其傾斜角為a.()

(2)直線的傾斜角越大，其斜率就越大.()

⑶經(jīng)過定點(diǎn)A(0,加的直線都可以用方程y=^+b表示.()

(4)若直線的一個(gè)方向向量為(x,y),則該直線的斜率為1()

［答案］(1)X(2)X(3)X(4)X

二'教材習(xí)題衍生

1.過A(4,y),BQ,—3)兩點(diǎn)的直線的一個(gè)方向向量為(—1,-1),則y

=()>-----------/

A.—坐B.當(dāng)

C.-1D.1

C［法一：由直線上的兩點(diǎn)A(4,y),BQ,-3),得靠=(一2,—3—y),

又直線AB的一個(gè)方向向量為(—1,—1),因此(-2)X(―1)—(―3—y)X(—1)

=0,解得了=一1,故選C.

法二：由直線的方向向量為(-1,一1)得，直線的斜率為王~=1,所以)；1)

=1,解得y=-l.故選C.］

2.如果AC<0,且BC<0,那么直線Ax+5)，+C=0不經(jīng)過()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

C［由已知得直線Ax+3y+C=0在x軸上的截距一亨>0,在y軸上的截距

一*>0,故直線經(jīng)過第一、二、四象限，不經(jīng)過第三象限.]

3.已知A(3,5),8(4,7),C(-l,x)三點(diǎn)共線，則x=.

-3[因?yàn)锳,B,。三點(diǎn)共線，

7-5x—5

所以k>AB=kAC,所以4?=]?,所以x=-3.]

4.過點(diǎn)尸(2,3)且在兩軸上截距相等的直線方程為.

3x-2y=0或x+y—5=0[當(dāng)縱、橫截距為0時(shí)，直線方程為3%—2》=0;

當(dāng)截距不為0時(shí)，設(shè)直線方程為工+2=1,則2+3=1,解得”=5,直線方

程為x+y-5=0.]

[細(xì)研考點(diǎn)?突破題型]重難解惑■直擊高考

□考點(diǎn)一直線的傾斜角與斜率、師生共研

[典例1](1)(2021.長(zhǎng)沙一中模擬)如圖，在矩形ABC。中，BC=yf3AB,直

線AC的斜率為坐，則直線BC的斜率為()

C.D.2小

(2)直線/過點(diǎn)P(1,0),且與以A(2,l),以0,小)為端點(diǎn)的線段有公共點(diǎn)，則

直線I斜率的取值范圍為.

(1)A(2)(—8,一5]U[L+8)[(1)由題意，在RtABCD中，ZBCD

=，，BC=yl3AB=\[3CD,

.\tanZCBD=2,>4/C8￡)=*,???直線BC的傾斜角為故依c=targ=S.

故選A.

V3］U［1,4-oo）.］

畬反思領(lǐng)悟斜率取值范圍的兩種求法

數(shù)形結(jié)作出直線在平面直角坐標(biāo)系中可能的位置，借助圖形，結(jié)合正

合法切函數(shù)的單調(diào)性確定

函數(shù)圖

根據(jù)正切函數(shù)圖象，由傾斜角范圍求斜率范圍，反之亦可

象法

提醒：求傾斜角時(shí)要注意斜率是否存在，必要時(shí)分0,方）與住，兀）兩種情況

討論.

［跟進(jìn)訓(xùn)練］

1.（1）（多選）如圖,直線h/2,/3的斜率分別為左,左2,人,傾斜角分別為

Q1,。2,13,則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.k\<k3<ki

B?k3<ki<k\

C.a3<a2<a]

D.ai<a3<ai

⑵若直線/的斜率則直線/的傾斜角夕的范圍是.

兀37c、

（1）AC（2）［0,W_|U［丁，。KD如題圖，直線/i,/2,/3的斜率分別為心,

兀

氏2,23,傾斜角分別為a\,?2,。3,則攵2>%3>0,%<0,即A1V&3VA2,故2>12>13>0,

且ai為鈍角，即a3Voe2Vai,故選AC.

3兀

（2）當(dāng)一iwzvo時(shí)，彳wevjt,

7T

當(dāng)owzwi時(shí)，

兀3兀)

因此。的取值范圍是o,au彳，可.】

□考點(diǎn)二直線方程的求法《題組通關(guān)

1.經(jīng)過兩條直線/i：x+y=2,I2：2x—y=l的交點(diǎn)，且直線的一個(gè)方向向

量。=(一3,2)的直線方程為.

x+)'=2,

2x+3y—5=0[聯(lián)立彳解得x=l,y=l,

[2x-y=\,

.?.直線過點(diǎn)(1,1).

?.?直線的方向向量0=(—3,2),

2

直線的斜率k=-y

2

則直線的方程為y—1=-1(尤一1),即2x+3y—5=0.]

2.過點(diǎn)(2,1)且在x軸上截距與在y軸上截距之和為6的直線方程為.

x+y—3=0或x+2y—4=0[由題意可設(shè)直線方程為三+：=1.

則21

--解得。=。=3,或。=4,b=2.

Q+-人

故所求直線方程為x+y—3=0或x+2y—4=0.]

3.已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(—3,0),8(2,1),。(一2,3),求：

(1)BC邊所在直線的方程；

(2)3。邊上中線AO所在直線的方程；

(3)BC邊的垂直平分線DE的方程.

v—1

[解](1)因?yàn)橹本€經(jīng)過8(2,1)和。(一2,3)兩點(diǎn)，得8C的方程為二y=

x-2

--~~即x+2y—4=0.

-2—2

2—21+3

(2)設(shè)BC邊的中點(diǎn)。(尤，y),則尤=5-=°，y=U-=2.

8C邊的中線A。過A(—3,0),0(0,2)兩點(diǎn)，所在直線方程為士+]=1,即

2x—3y+6=0.

(3)由(1)知，直線的斜率依=一］,則直線的垂直平分線OE的斜率

女2=2.由(2)知，點(diǎn)。的坐標(biāo)為(0,2).

所求直線方程為y-2=2(x-0),即2x~y+2=0.

威反思領(lǐng)信求直線方程的兩種方法

;根據(jù)已知條件，選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程形式,

國(guó)育一：直接寫出直線方程，選擇時(shí)，應(yīng)注意各種形

!式的方程的適用范圍，必要時(shí)要分類討論

即設(shè)定含有參數(shù)的直線方程，由條件列出

待定

方程(組)，再求出參數(shù)，最后將其代入直線

系數(shù)法

方程

考點(diǎn)三直線方程的綜合應(yīng)用'師生共研

［典例2］已知直線/：自一y+l+2G=0(kGR).

(1)證明：直線/過定點(diǎn)；

(2)若直線不經(jīng)過第四象限，求Z的取值范圍；

(3)若直線/交x軸負(fù)半軸于A,交y軸正半軸于3,△A08的面積為S(。為

坐標(biāo)原點(diǎn))，求S的最小值并求此時(shí)直線/的方程.

［解］(1)證明：法一：直線/的方程可化為

^+2)+(1->')=0,

x+2=0,x=-2,

令'解得<

ll-y=0,J=L

，無(wú)論k取何值，直線/總經(jīng)過定點(diǎn)(一2,1).

法二：方程自一)，+1+2女=0可化為y—l=Z(x+2),顯然直線/恒過定點(diǎn)(一

2,1).

1+2%

(2)由方程知，當(dāng)ZW0時(shí)，直線在x軸上的截距為一一7-,在y軸上的截距

K

1+2”

-1W—2,

為1+2Z,要使直線不經(jīng)過第四象限，則必須有Jk解得Z>0；

」+2心1,

當(dāng)斤=0時(shí)，直線為y=l,符合題意,

故攵的取值范圍是［0,+8).

1+2A

(3)由題意可知ZrWO,再由/的方程，得A[——Oj,8(0,1+2攵).

1+2攵

依題意得<一k'解得Q>0.

、1+2左>0,

'：S=^\OA\\OB\

1(1+2妗既4線+4)

2'-F~

>|x(2X2+4)=4,

“=”成立的條件是攵>0且4%=4，

K

即T,

，Smin=4,此時(shí)直線I的方程為x-2y+4=0.

畬反思領(lǐng)信處理直線方程綜合應(yīng)用的兩大策略

(1)求解與直線方程有關(guān)的最值問題，先求出斜率或設(shè)出直線方程，建立目

標(biāo)函數(shù)，再利用基本不等式求解最值.

(2)含有參數(shù)的直線方程可看作直線系方程，這時(shí)要能夠整理成過定點(diǎn)(或平

行)的直線系，即能夠看出“動(dòng)中有定”.

一[跟進(jìn)而維r

2.(1)已知直線/過點(diǎn)M(2,l),且與光軸、y軸的正半軸分別相交于A,B兩

點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則當(dāng)面為?而由取得最小值時(shí)，直線/的方程為.

(2)已知直線/i：ax—2y=2a—4,〃：2x+fl2y=2a2+4,當(dāng)0VaV2時(shí)，直線

1\,6與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)四邊形，當(dāng)四邊形的面積最小時(shí)，實(shí)數(shù)。=.

(l)x+y—3=0(2)|[(1)設(shè)A(a,0),B(0,b),則a>0,b>0,

直線/的方程為%+卡=1,所以(+[=L

\MA\-\MB\=-MA-MB=-{a-2,一1>(一2,h-l)=2(a-2)+b~l=2a+b

-5

=(2"+竭++54+骨4,

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3時(shí)取等號(hào)，此時(shí)直線/的方程為x+y—3=0.

(2)由題意知直線/i,/2恒過定點(diǎn)尸(2,2),直線/1在y軸上的截距為2一凡直

線上在x軸上的截距為/+2,

所以四邊形的面積S=^X2X(2—。)+；*2*(層+2)

2?z,(1?,15

=6!2—?+4=16Z—2I+不

當(dāng)a=g時(shí)，四邊形的面積最小，故實(shí)數(shù)a的值為去］

缸恚兩條直線的位置關(guān)系

［考試要求］

1.能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直.

2.能用解方程組的方法求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo).

3.探索并掌握平面上兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)求兩條平

行直線間的距離.

［走進(jìn)教材?夯實(shí)基礎(chǔ)］回顧知識(shí)?激活技能

◎梳理?必備知識(shí)

1.兩條直線的平行與垂直

(1)兩條直線平行

若八〃/2(斜率均存在)，則Zi與h的傾斜角ai與a2相等，由ai=?2,可得tan

ai=tana2,即依=女2,因此，若h〃b,則==攵2.

(2)兩條直線垂直

設(shè)兩條直線Zi,/2的斜率分別為心，依，則直線/2的方向向量分別是。=

(1,k\),b=(l,%2),于是山=001X1+匕匕=0,即%々2=—1,

也就是說(shuō)，

2.兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)

已知兩條直線li：Aix+3y+G=0,/2：A2x+Biy+C2=0相交，則交點(diǎn)P

Aix+Biy+G=0,

的坐標(biāo)是方程組＜的解.

.Aix+Bay+C2=0

3.三種距離公式

(1)平面上的兩點(diǎn)P1(X1,y。，P2(X2,戶)間的距離公式|P1P2|=

X2)2+(yi—丫2)2.

特別地，原點(diǎn)0(0,0)與任一點(diǎn)P(x,v)的距離IOPI=\/點(diǎn)+y2.

|Axo+3yo+C

⑵點(diǎn)P(xo,yo)到直線/：Ax+By+C=0的距離d=

|Ci-C2I

⑶兩條平行線4c+8)，+G=0與-+B)，+C2=0間的距離d=

、/雇+爐.

［常用結(jié)論］

1.兩直線平行的充要條件

直線/i：AIX+BI^+CI=0與直線/2：4比+82,+。2=0平行的充要條件是

2.兩直線垂直的充要條件

直線Zi：Aix+Biy+Ci=0與直線，2：A2x+&y+C2=0垂直的充要條件是A.1.4?

?十為82=0.

3.對(duì)稱問題

(1)點(diǎn)(X，y)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為關(guān)

于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為仁松二dx?

(2)點(diǎn)(X，y)關(guān)于丁=尤的對(duì)稱點(diǎn)為底，冷，關(guān)于y=x+b的對(duì)稱點(diǎn)為叱也d

土垃，關(guān)于>=一》的對(duì)稱點(diǎn)為仁上?^)，關(guān)于y=—x+b的對(duì)稱點(diǎn)為(fc匚f

(3)點(diǎn)(x,y)關(guān)于直線x=a的對(duì)稱點(diǎn)為Qg;二&關(guān)于直線y=b的對(duì)稱點(diǎn)

為此2壇二4

e激活?基本技能

一、易錯(cuò)易誤辨析(正確的打“J”，錯(cuò)誤的打“X”)

(1)當(dāng)直線/1和A斜率都存在時(shí)，一定有ki=k2Oh//b.()

⑵如果兩條直線/i與/2垂直，那么它們的斜率之積一定等于一1.()

⑶若兩直線的方程組成的方程組有唯一解，則兩直線相交.()

(4)直線外一點(diǎn)與直線上一點(diǎn)的距離的最小值就是點(diǎn)到直線的距離.()

［答案］(1)X(2)X⑶J(4)V

二'教材習(xí)題衍生

1.已知點(diǎn)m，2)m>0)到直線/：x-y+3=o的距離為1,則a等于()

A./B.2-^2

C.啦-1D.也+1

C［由題意得'二苗?=i,即|“+1|=啦，

又a>0,；?a='\［i-1.］

2.已知P（—2,加），2（777,4）,且直線PQ垂直于直線x+y+l=O,則m=

m-4

1［由題意知千茄=1,所以丁4=-2一初,所以片L］

3.若三條直線y=2x,x+y=3,mx+2y+5=0相交于同一點(diǎn)，則，〃的值為

=

卜y+2一xf，得1x—\,

-9曲

J=2.

所以點(diǎn)（1⑵滿足方程，nr+2y+5=0,

即機(jī)XI+2X2+5=0,所以加=-9.］

4.已知直線3x+4y—3=0與直線6x+，盯+14=0平行，則它們之間的距離

是.

343

2［由兩直線平行可知d=mW一瓦，即加=8.

.?.兩直線方程分另I為3x+4y—3=0和3光+4y+7=0,

|7+3|

則它們之間的距離d==2.]

小+16

［細(xì)研考點(diǎn)?突破題型］重難解惑,直擊高考

考點(diǎn)一兩條直線位置關(guān)系的判斷及應(yīng)用《題組逋關(guān)

1.若直線?。ā?1次+>—1=0和直線人：3x+ay+2=0垂直，則實(shí)數(shù)a

的值為（）

13

--

22

A.1B.

C3

-D.-

44

3

D［由已知得3（。-1）+“=0,解得

2.（2021.杭州模擬）設(shè)aGR,則％=1”是“直線八：一+2/-1=0與直線

b：x+（a+l）y+4=0平行”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

A［當(dāng)a=l時(shí)，顯然h//l2,

若?〃〃,則a(a+l)-2Xl=0,

所以a=\或a=~2.

所以a=l是直線/i與直線/2平行的充分不必要條件.]

3.已知三條直線Zi：lx—3y+l=0,b：4x+3y+5=0,h：mx—y—1=0

不能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值集合為()

f4241f4221

C-I-?313fD-I-?3/

D?三條直線不能構(gòu)成一個(gè)三角形，

2

二①當(dāng)/i〃/3時(shí)，m=2；

4

②當(dāng)/2〃/3時(shí)，加=一§;

③當(dāng)12,/3交于一點(diǎn)時(shí)，也不能構(gòu)成一個(gè)三角形，

f2x—3y+l=0,(n2

由彳..得交點(diǎn)為|—1,—7,代入〃ix—y—1=0,得《?=一弓.

.4x+3y+5=0,VJJJ

故選D.]

畬反思領(lǐng)悟

解決兩直線平行與垂直的參數(shù)問題要“前思后想”

后誨」玉麻金曲潺鹿嘉豆區(qū)看法而3話述「奧王/

防廠要分類討論：

售在解題后要檢驗(yàn)答案的正確性，看是否出現(xiàn)：

區(qū)半增解或漏解:

考點(diǎn)二兩條直線的交點(diǎn)與距離問題(師生共研

[典例1](1)(2020.全國(guó)III卷)點(diǎn)(0,—1)到直線y=Z(x+l)距離的最大值為

A.1B.也

C.小D.2

(2)直線I過點(diǎn)P(—1,2)且到點(diǎn)A(2,3)和點(diǎn)3(—4,5)的距離相等，則直線1的方

程為.

(3)已知兩直線a\x+b\y-1=0和aix+biy-1=0的交點(diǎn)為P(2,3),則過兩點(diǎn)

。1),。2(。2,歷)(。1#。2)的直線方程為

(1)B(2)x+3y—5=0或x=-l(3)2x+3y-l=0

[(1)法一：由點(diǎn)到直線的距離公式知點(diǎn)(0,-1)到直線)，=A(x+l)的距離d=

體0+(~~1>(-1)+川|%+1|/22+2R-FT/2k-

——+1+1v3+1vi/+1?.當(dāng)Z=0時(shí),d=\;

當(dāng)左WO時(shí)，d=y1+要使。最大，需%>o且%+(最小,

...當(dāng)&=1時(shí)，dmax=啦，故選B.

法二：記點(diǎn)A(0,-1),直線y=A(x+l)恒過點(diǎn)8(—1,0),當(dāng)AB垂直于直線

y=Z(x+l)時(shí)，點(diǎn)A(0,—1)到直線y=-x+l)的距離最大，且最大值為依8|=6,

故選B.

(2)當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)直線/的方程為y—2=-x+l),即依一y+左

+2=0.

|2左-3+&+2||一必一5+%+2]

由題意知-

N-+1、如+1

即|3/一1|=|一3左一3|,：.k=-y直線I的方程為y-2=-/x+l),即x

+3丫-5=0.當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，直線/的方程為》=-1,也符合題意.

2。1+3bl=1,

(3);PQ,3)在已知的兩條直線上，：.],

.2。2+3匕2=1.

.?.點(diǎn)bl),。2(。2,㈤是直線2x+3y=l上的兩個(gè)點(diǎn)，故過Q,Q兩

點(diǎn)的直線方程為2x+3y=1.]

畬反思領(lǐng)悟1.求過兩直線交點(diǎn)的直線方程的方法

求過兩直線交點(diǎn)的直線方程，先解方程組求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合其

他條件寫出直線方程，也可借助直線系方程，利用待定系數(shù)法求出直線方程，這

樣能簡(jiǎn)化解題過程.

2.點(diǎn)到直線'兩平行線間的距離公式的使用條件

(1)求點(diǎn)到直線的距離時(shí)，應(yīng)先化直線方程為一般式.

(2)求兩平行線之間的距離時(shí)，應(yīng)先將方程化為一般式且x,y的系數(shù)對(duì)應(yīng)相

等.

［跟進(jìn)訓(xùn)練］

1.(1)(多選)已知直線/i：2x+3y—l=0和/2：4x+6>—9=0,若直線/到直

線6的距離與到直線12的距離之比為1:2,則直線I的方程為()

A.2x+3y—8=0B.4x+6y+5=0

C.6x+9y-10=0D.12x+18y—13=0

(2)求經(jīng)過直線/i：3x+2y—l=0和京5x+2y+l=0的交點(diǎn)，且垂直于直

線Z3：3x—5y+6=0的直線I的方程為.

(1)BD(2)5x+3y-l=0[(1)設(shè)直線/:4x+6y+m=0,—2且加工一9,

制+2||—+9|

直線/到直線和/2的距離分別為d\,di,由題知：d\=

[16+36

因?yàn)椋タ此?|m+2||加+9|13

,即2|m+2|=|??z+9|,解得m=5或

^/16+36-^/16+36機(jī)=一予

即直線1為4x+6y+5=0或12x+18y—13=0.

,3x+2y-l=0,

(2)先解方程組，

.5x+2y+l=0,

得h,/2的交點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,2),

35

再由/3的斜率:求出/的斜率為一宗

于是由直線的點(diǎn)斜式方程求出/:

廠2=一|。+1),即5*+3廠1=0.］

□考點(diǎn)三對(duì)稱問題!多維探究

考向1中心對(duì)稱問題

［典例2—1］過點(diǎn)P(0,l)作直線/,使它被直線人2%+廠8=0和亂x-3y

+10=0截得的線段被點(diǎn)P平分，則直線/的方程為.

尤+—一4=0［設(shè)/i與/的交點(diǎn)為A(a,8—2a),則由題意知，點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P

的對(duì)稱點(diǎn)8(—a,2a—6)在/2上，代入/2的方程得一a—3(2a—6)+10=0,解得a

=4,即點(diǎn)A(4,0)在直線/上，所以直線/的方程為x+4y-4=0.］

考向2軸對(duì)稱問題

［典例2—2］(1)已知直線y=2x是△ABC中角C的平分線所在的直線，若

點(diǎn)43的坐標(biāo)分別是(-4,2),(3,1),則點(diǎn)C的坐標(biāo)為()

A.(—2,4)B.(—2,—4)

C.(2,4)D.(2,-4)

(2)已知入射光線經(jīng)過點(diǎn)M(—3,4),被直線/：x—y+3=0反射，反射光線經(jīng)

過點(diǎn)N(2,6),則反射光線所在直線的方程為.

(1)C(2)6%—)，-6=0[⑴設(shè)A(—4,2)關(guān)于直線)，=2x的對(duì)稱點(diǎn)為Ay),

X2=-l

x+4

則5

[y=+=22X—4+x

-2~

x=4

解得｛''(4,-2),由題意知，A，在直線BC上，所在直

lv=-2,

-2-1f3x+y-10=0,

線方程為y~l=——(A—3),即3x+y-10=0.聯(lián)立J解得

4—3[y=2x,

/2,則C(2,4).

U=4,

⑵設(shè)點(diǎn)M(—3,4)關(guān)于直線/:x—y+3=0的對(duì)稱點(diǎn)為b),則反射光線

所在直線過點(diǎn)AT,

'b—4

a-(-3)-1=-1,

所以《解得a=l,b=Q.

—3+ab+4,

-+3=0,

.2

即”(1,0).

又反射光線經(jīng)過點(diǎn)M2,6),

所以所求直線的方程為用=尹=,

o—02~1

即6x—y—6=0.]

令反思領(lǐng)悟?qū)ΨQ問題的求解方法

(1)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)：點(diǎn)P(x,。關(guān)于點(diǎn)。(a,b)的對(duì)稱點(diǎn)為(2a—x,2b一天.

(2)線關(guān)于點(diǎn)：直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問題來(lái)解決.

(3)點(diǎn)關(guān)于線：點(diǎn)A(a,Z?)關(guān)于直線Ar+By+C=0(8W0)的對(duì)稱點(diǎn)〃),

(4)線關(guān)于線：直線關(guān)于直線的對(duì)稱可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問題來(lái)解決.

［跟進(jìn)訓(xùn)練］

2.(1)如圖，已知A(4,0),B(0,4),從點(diǎn)P(2,0)射出的光線經(jīng)直線AB反射

后再射到直線OB上，最后經(jīng)直線。8反射后又回到P點(diǎn)，則光線所經(jīng)過的路程

是()

C.25D.2小

(2)若將一張坐標(biāo)紙折疊一次，使得點(diǎn)(0,2)與點(diǎn)(4,0)重合，點(diǎn)(7,3)與點(diǎn)(加，〃)

重合，則m+n=.

34

(1)C(2)y［⑴直線A3的方程為x+y=4,點(diǎn)尸(2,0)關(guān)ir

于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)為0(4,2),關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為。(一2,0),

則光線經(jīng)過的路程為|CD|=762S=2，T6.

(2)由題意可知紙的折痕應(yīng)是點(diǎn)(0,2)與點(diǎn)(4,0)連線的中垂線，即直線y=2x—

,3+〃7+m

3,

3,它也是點(diǎn)(7,3)與點(diǎn)(〃?，〃)連線的中垂線，于是〈.

/?—3j_

jn—12，

3

mf

~5故"?+〃=?.]

解得，

31

n=5

園I的方程

［考試要求］

1.回顧確定圓的幾何要素，在平面直角坐標(biāo)系中，探索并掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程

與一般方程.

2.能根據(jù)圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題與實(shí)際問題.

［走進(jìn)教材?夯實(shí)基礎(chǔ)］回顧知識(shí)?激活技能

€>梳理?必備知識(shí)

1.圓的定義及方程

定義平面內(nèi)與定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合(軌跡)

標(biāo)準(zhǔn)方程(X-4)2+()，一〃)2=戶(r>0)圓心3，b),半徑r

》2+丫2+6+&+尸=0(02+，半徑當(dāng)

圓心(苫'一號(hào)

一般方程￡'2-4F>0)

\ID2+E2-4F

提醒：當(dāng)D2+E2-4F=0時(shí)，方程x2+y2+Dx+Ey+F=O表示一個(gè)點(diǎn)

孝，-f);當(dāng)U+^—MVO時(shí)，方程f+V+Dx+Ey+mO沒有意義，不

表示任何圖形.

2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

點(diǎn)M(xo,yo)與圓(x—a>+(y—加2=，的位置關(guān)系：

⑴若M(xo,yo)在圓外，則(xo—匿+(優(yōu)—8)2〉戶.

(2)若M(xo，yo)在圓上，則Cro—at+(y()—/?>=戶.

(3)若M(xo,yo)在圓內(nèi)，則(xo—。產(chǎn)+(y()—V)2v*

［常用結(jié)論］

1.圓的三個(gè)性質(zhì)

(1)圓心在迂如息且垂直于切線的直線上；

(2)圓心在任一弦的中垂線上;

(3)兩圓相切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓心三點(diǎn)共線.

2.以A(xi,yi),8(x2,>2)為直徑端點(diǎn)的圓的方程為在二見幺至二⑼士在二上也

◎激活?基本技能

一、易錯(cuò)易誤辨析(正確的打"J"，錯(cuò)誤的打"X")

(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑.()

(2)方程。+02+3+/2=戶。金1<)表示圓心為(q,b),半徑為/的一個(gè)圓.

()

(3)方程9+9+麗吠-2y=0不一定表示圓.()

(4)若點(diǎn)M(xo,yo)在圓x2+y2+Dx+Ey+F=0外，則需+品+￡>xo+￡yo+F

>0.()

[答案](1)V(2)X(3)x(4)V

二'教材習(xí)題衍生

1.圓f+y2-4無(wú)+6y=0的圓心坐標(biāo)和半徑分別是()

A.(2,3),3B.(—2,3),小

C.(12,—3),13D.(2,13),

D[圓的方程可化為(X—2)2+(y+3)2=13,所以圓心坐標(biāo)是(2,-3),半徑

r=y[l3.]

2.已知點(diǎn)A(l,-1),則以線段AB為直徑的圓的方程是

A.x2+y2=2B./+9=也

C.^+/=1D.X2+/=4

A[法一：A3的中點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0),

\AB\=^/[1-(-1)]2+(-1-1)2=2^2,所以圓的方程為x2+y2=2.

法二：(應(yīng)用常用結(jié)論)以AB為直徑的圓的方程為。一1)?(x+D+0+DS

—1)=0,即x2+y2=2.]

3.過點(diǎn)A(l,—1),8(—1,1),且圓心在直線x+y—2=0上的圓的方程是()

A.(x-3)2+(y+l)2=4B.(x+3)2+(y-1)2=4

C.(X—1)2+(y—1)2=4D.(x+1)2+0+1)2=4

C[設(shè)圓心C的坐標(biāo)為伍，b),半徑為r.因?yàn)閳A心。在直線尤+y—2=0上，

所以人=2—4又|C4|2=|CB|2,所以(q-iy+Q-a+i)2=(a+i)2+(2-a-i)2,所

以a=l,8=1.所以r=2.所以方程為(x-l)2+(y-1)2=4.]

4.在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過三點(diǎn)(0,0),(1,1),(2,0)的圓的方程為.

x2+y2-2x=0［設(shè)圓的方程為/+產(chǎn)+6+或+/=0.；圓經(jīng)過點(diǎn)(0,0),

(1,1),(2,0),

fF=0,CD=-2,

.?.42+D+E+F=0,解得<E=0,

14+20+尸=0,IF=0.

二圓的方程為x2+y2~2x=Q.］

［細(xì)研考點(diǎn)?突破題型］重難解惑直擊高考

□考點(diǎn)一圓的方程4題組通關(guān)

1.若一圓的圓心坐標(biāo)為(2,-3),一條直徑的端點(diǎn)分別在x軸和y軸上，則

此圓的方程是()

A.。一2)2+。+3)2=13

B.(x+2)2+(y—3尸13

C.2)2+0+3)2=52

D.(%+2)2+。一3尸52

A［直徑兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(4,0),(0,-6),可得直徑長(zhǎng)為2/，則半徑

長(zhǎng)為小，所以所求圓的方程是(x—2)2+。+3)2=13」

2.若不同的四點(diǎn)A(5,0),5(-1,0),。(一3,3),D(a,3)共圓,則a的值為

7［設(shè)圓的方程為x1+y2+Dx+Ey+F=^D2+E1-4F>0),分別代入A,B,

C三點(diǎn)坐標(biāo)，得

A—4,

25+5￡>+F=0,

25

l-D+F=0,解得JE=-y,

9+9~3D+3E+F=0,

.F=~5.

所以A,B,C三點(diǎn)確定的圓的方程為

25

j?+y2-4JC—5=0.

因?yàn)镺(a,3)也在此圓上，所以4+9—4。-25—5=0.

所以a=7或a=一3(舍去).即a的值為7.］

3.已知圓C過點(diǎn)A(6,0),仇1,5),且圓心在直線/：2x—7y+8=0上，則圓

。的方程為________.恒益

5—0

(x—3>+(y—2)2=13［法一：(幾何法)心8=/與=-1,

57

則A8的垂直平分線方程為y—2=x-

即x—y—1=0,

x~y—1=0,x=3,

聯(lián)立方程＜解得

2x-7j+8=0,J=2,

r=^(6-3)2+(0-2)2=V13,

故圓。的方程為(x—3)2+6,-2)2=13.

法二：(待定系數(shù)法)設(shè)所求圓的方程為(x—4+(y—A-=戶.由題意可得

(6一.)2+(0—8)2=，，p?=3,

(1—a)2+(5—Z?)2=r2,解得｛/?=2,

2a—7匕+8=0,〔戶=13,

故所求圓C的方程為(x—3)2+(y—2)2=13.]

4.已知“GR,方程//+(“+2?2+4九+8)，+5a=0表示圓，則圓心坐標(biāo)是

，半徑是.

(—2,—4)5[由已知方程表示圓，則屋=a+2,

解得a=2或a=-1.

當(dāng)a=2時(shí)，方程不滿足表示圓的條件，故舍去.

當(dāng)a=-1時(shí)，原方程為f+V+dx+gy—5=0,

化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(X+2)2+()，+4)2=25,

表示以(一2,—4)為圓心，半徑為5的圓.]

畬反思領(lǐng)悟求圓的方程的兩種方法

r-^-n源燧面防元布荏康；宜愛廉山面芯正恭府

0,半徑，進(jìn)而寫出方程:

了著巨算秦徉苕面芯7二商“福舉蒞二希

關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出明6,r的值；:

待定②選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出:

系數(shù)法關(guān)于O,E,尸的方程組，進(jìn)而求出O.E,尸的:

值

□考點(diǎn)二與圓有關(guān)的最值問題4多維探究

考向1斜率型、截距型、距離型最值問題

［典例1-1］已知實(shí)數(shù)無(wú)，y滿足方程^+/-4%+1=0.

⑴求拗最大值和最小值；

(2)求y—x的最大值和最小值；

(3)求_?十9的最大值和最小值.

［解］原方程可化為(x—2)2+y2=3,表示以(2,0)為圓心，木為半徑的圓.

(1戶的幾何意義是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，

光

所以設(shè)"=攵，即

當(dāng)直線y=Qc與圓相切時(shí)，斜率攵取最大值或最小值，此時(shí)考黑與=小，解

邛-十1

得k=±\f^(如圖①).

所以:的最大值為小，最小值為一小.

圖①