一元二次方程應(yīng)用題(整理)

一元二次方程典型應(yīng)用題

新世紀(jì)教育數(shù)學(xué)孫老師將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，數(shù)學(xué)建模能力的過程2021/5/91復(fù)習(xí)問題，提出新知1.列方程解應(yīng)用題的基本步驟怎樣？（1）審題：透徹理解題意，明確哪些是已知數(shù)，哪些是未知數(shù)，以及它們之間的關(guān)系。審一步列一步！

（2）設(shè)未知數(shù)：根據(jù)題意，可直接設(shè)未知數(shù)（求誰設(shè)誰），也可間接設(shè)未知數(shù)，未知數(shù)必須寫明單位，語言敘述要完整。（3）列代數(shù)式和方程：根據(jù)題中給出的條件，用含有所設(shè)未知數(shù)的代數(shù)式表示其他未知數(shù)，利用等量關(guān)系，列出方程或方程組，一般列方程的個(gè)數(shù)與所設(shè)未知數(shù)的個(gè)數(shù)相同。（4）解方程或方程組應(yīng)注意解題技巧，準(zhǔn)確地求出方程或方程組的解。（5）檢驗(yàn)答案：解應(yīng)用題要檢驗(yàn)有無增根，又要檢驗(yàn)是否符合題意以及實(shí)際生活中的常識(shí)，最后做出符合題目要求的答案。.2021/5/92注意：（1）在這些步驟中，審題是解題的基礎(chǔ)，列方程是解題的中心，發(fā)現(xiàn)等量關(guān)系是列方程的關(guān)鍵！。

(2)在列方程時(shí)，要注意列出的方程必須滿足以下兩個(gè)條件：

a,方程兩邊表示同類量數(shù)值相等

b,方程兩邊的同類量的單位一樣

2021/5/93一元二次方程常見應(yīng)用題有哪些型？（1）銷售增長率（2）銷售定價(jià)問題（3）儲(chǔ)蓄利率問題（4）幾何問題（5）數(shù)字與方程（6）年齡問題(7)趣味問題(8)情景對話

2021/5/94解一元二次方程有哪些方法？直接開平方法配方法公式法因式分解法還記得嗎？2021/5/95銷售增長率問題恒利商廈九月份的銷售額為200萬元，十月份的銷售額下降了20%，商廈從十一月份起加強(qiáng)管理，改善經(jīng)營，使銷售額穩(wěn)步上升，十二月份的銷售額達(dá)到了193.6萬元，求這兩個(gè)月的平均增長率.2021/5/96分析：本題設(shè)這兩個(gè)月的平均增長率是x，十月份的銷售額為200（1-20%）萬元，十一月份的銷售額為200（1-20%）（1+x）萬元，十二月份在十一月份的基礎(chǔ)上增加x，變?yōu)?00（1-20%）（1+x）（1+x）即200（1-20%）（

萬元，進(jìn)而可列出方程，求出答案．解答：解：設(shè)這兩個(gè)月的平均增長率是x，

十一月份的銷售額達(dá)到200（1-20%）+200（1-20%）x=200（1-20%）（1+x），

十二月份的銷售額達(dá)到200（1-20%）（1+x）+200（1-20%）（1+x）x=200（1-20%）（1+x）（1+x）=200（1-20%）（1+x）2，

∴200（1-20%）（1+x）2=193.6，

即（1+x）2=1.21，

所以1+x=±1.1，

所以x=-1±1.1，

即x1=0.1，x2=-2.1（舍去）．

答：這兩個(gè)月的平均增長率是10%．點(diǎn)評：此類題目旨在考查增長率，要注意增長的基礎(chǔ)，另外還要注意解的合理性，從而確定取舍．2021/5/97銷售定價(jià)問題家樂福超市如果將進(jìn)貨價(jià)為40元的商品按50元銷售，就能賣出500個(gè)，但如果這種商品每漲價(jià)1元，其銷售量就減少10個(gè)，如果你是超市的經(jīng)理，為了賺得8000元的利潤，你認(rèn)為售價(jià)應(yīng)定為多少（售價(jià)不能超過進(jìn)價(jià)的160%）?這時(shí)應(yīng)進(jìn)貨多少個(gè)？

解答這種商品銷售問題時(shí)，需要明確：總利潤=單利潤×售出商品的總量．解：設(shè)此商品的單價(jià)為(50+x)元，則每個(gè)商品的利潤是[(50+x)-40]元，銷售數(shù)量為(500-l0x)個(gè)。由題意，得[(50+x)-40](500-l0x)=8000,整理得x2-40x-300=0．解得x1=10,x2=30∵商品售價(jià)不能超過進(jìn)價(jià)的160%，∴取x=10.這時(shí)應(yīng)進(jìn)貨500-l0x=400（個(gè)）．故售價(jià)定為60元，這時(shí)應(yīng)進(jìn)貨400個(gè)．2021/5/98銷售定價(jià)問題某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，盡快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價(jià)一元，商場平均每天可多售出2件，若商場平均每天要盈利1200元，每件襯衫應(yīng)定價(jià)多少元？2021/5/99分析：設(shè)每件襯衫應(yīng)降價(jià)x元，則每件盈利40-x元，每天可以售出20+2x，所以此時(shí)商場平均每天要盈利（40-x）（20+2x）元，根據(jù)商場平均每天要盈利=1200元，為等量關(guān)系列出方程求解即可．

解：設(shè)每件襯衫應(yīng)降價(jià)x元，則每件盈利40-x元，每天可以售出20+2x，

由題意，得（40-x）（20+2x）=1200，

即：（x-10）（x-20）=0，

解，得x1=10，x2=20，

為了擴(kuò)大銷售量，增加盈利，盡快減少庫存，所以x的值應(yīng)為20，

所以，若商場平均每天要盈利12O0元，每件襯衫應(yīng)降價(jià)20元點(diǎn)評：本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵在于理解清楚題意找出等量關(guān)系列出方程求解2021/5/910儲(chǔ)蓄利率問題王紅梅同學(xué)將1000元壓歲錢第一次按一年定期利率存入“少兒銀行”，到期后將本金和利息取出，并將其中的500元捐給“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，這時(shí)存款的年利率已下調(diào)到第一次存款時(shí)年利率的90%，這樣到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款時(shí)的年利率.（假設(shè)不計(jì)利息稅）2021/5/911解設(shè)第一次存款時(shí)的年利率為x.則根據(jù)題意，得[1000(1+x)－500](1+0.9x)＝530.整理，得90

+145x－3＝0.解這個(gè)方程，得x1≈0.0204＝2.04%，x2≈－1.63.由于存款利率不能為負(fù)數(shù)，所以將x2≈－1.63舍去.答第一次存款的年利率約是2.04%.2021/5/912幾何問題將一塊長18米，寬15米的矩形荒地修建成一個(gè)花園（陰影部分）所占的面積為原來荒地面積的三分之二.（精確到0.1m）（1）設(shè)計(jì)方案1（如圖2）花園中修兩條互相垂直且寬度相等的小路.（2）設(shè)計(jì)方案2（如圖3）花園中每個(gè)角的扇形都相同.以上兩種方案是否都能符合條件?若能，請計(jì)算出圖2中的小路的寬和圖3中扇形的半徑；若不能符合條件，請說明理由.圖3圖22021/5/913分析：（1）設(shè)出小路的寬度為x米，表示出兩條小路的面積，而小路的面積為原來荒地面積的三分之一，列出方程解答即可；

（2）設(shè)出扇形的半徑為y米，則四個(gè)扇形的面積和恰好等于一個(gè)圓的面積，而四個(gè)扇形的面積和為原來荒地面積的三分之一，列出方程解答即可．解答：解：（1）設(shè)小路的寬度為x米，根據(jù)題意列方程得，

18x+15x-x2=18×15×1/3，

解得x1=3，x2=30（不合題意，舍去）；

答：圖①中小路的寬為3米．

（2）設(shè)扇形的半徑為y米，根據(jù)題意列方程得，

πy2=18×15×1/3，

解得y1≈5.4，y2≈-5.4（不合題意，舍去）；

答：扇形的半徑約為5.4米．點(diǎn)評：此題主要考查長方形和扇形面積的計(jì)算方法，解答時(shí)注意題目中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系2021/5/914幾何動(dòng)態(tài)問題如圖4所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿邊AC向點(diǎn)C以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)沿CB邊向點(diǎn)B以2cm/s的速度移動(dòng).（1）如果P、Q同時(shí)出發(fā)，幾秒鐘后，可使△PCQ的面積為8平方厘米？（2）點(diǎn)P、Q在移動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻，使得△PCQ的面積等于△ABC的面積的一半.若存在，求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；若不存在，說明理由.圖42021/5/915分析：（1）設(shè)果P、Q同時(shí)出發(fā)，x秒鐘后，AP=xcm，PC=（6-x）cm，CQ=2xcm，此時(shí)△PCQ的面積為：12×2x（6-x），令該式=8，由此等量關(guān)系列出方程求出符合題意的值；

（2）△ABC的面積的一半等于12×12×AC×BC=12cm2，令12×2x（6-x）=12，判斷該方程是否有解，若有解則存在，否則不存在．解答：解：（1）設(shè)xs后，可使△PCQ的面積為8cm2．

由題意得，AP=xcm，PC=（6-x）cm，CQ=2xcm，

則1/2?(6-x)?2x=8．

整理，得x2-6x+8=0，解得x1=2，x2=4．

所以P、Q同時(shí)出發(fā)，2s或4s后可使△PCQ的面積為8cm2．

（2）由題意得：

S△ABC=1/2×AC?BC=1/2×6×8=24，

即：12×2x×（6-x）=1/2×24，

x2-6x+12=0，

△=62-4×12=-12＜0，該方程無解，

所以，不存在使得△PCQ的面積等于△ABC的面積的一半的時(shí)刻．點(diǎn)評：本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵在于找出等量關(guān)系列出方程求解．2021/5/916數(shù)字與方程1.一個(gè)兩位數(shù),它的十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字小3,而它的個(gè)位數(shù)字的平方恰好等于這個(gè)兩位數(shù).求這個(gè)兩位數(shù).2.有一個(gè)兩位數(shù),它的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的和是5.把這個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字互換后得到另一個(gè)兩位數(shù),兩個(gè)兩位數(shù)的積為736.求原來的兩位數(shù).設(shè)誰？2021/5/917年齡問題讀詩詞解題：（通過列方程式，算出周瑜去世時(shí)的年齡）.

大江東去浪淘盡，千古風(fēng)流數(shù)人物；而立之年督東吳，早逝英年兩位數(shù)；十位恰小個(gè)位三，個(gè)位平方與壽符；哪位學(xué)子算得快，多少年華屬周瑜？2021/5/918解：設(shè)十位是X，則個(gè)位數(shù)是(X+3)兩位數(shù)就表示成10X+(X+3)=11X+3所以用“各位平方與壽符”做等量，列方程11X+3=(X+3)^2X^2-5X+6=0(X-2)(X-3)=0X1=2或X2=3X1+3=5X2+3=6

可得兩組解，25或36，因?yàn)橐阎岸⒅甓綎|吳”（而立之年為30歲），所以一定比30大.，25就要舍去?？傻弥荑とナ赖哪挲g為36歲。2021/5/919路程問題1.在800米圓形跑道上有兩人練中長跑，甲每分鐘跑320米，乙每分鐘跑280米，⑴兩人同時(shí)同地反向起跑，幾分鐘后第一次相遇？⑵兩人同時(shí)同地同向起跑，幾分鐘后第一次相遇？2021/5/920工程問題在西部大開發(fā)中，基礎(chǔ)建設(shè)優(yōu)先發(fā)展，甲、乙兩隊(duì)共同承包了一段長6500米的高速公路工程，兩隊(duì)分別從兩端施工相向前進(jìn)，甲隊(duì)平均每天可完成480米，乙隊(duì)平均每天比甲隊(duì)多完成220米，乙隊(duì)比甲隊(duì)晚一天開工，乙隊(duì)開工幾天后兩隊(duì)完成全部任務(wù)？2021/5/921勞資調(diào)配問題2021/5/922趣味問題一個(gè)醉漢拿著一根竹竿進(jìn)城，橫著怎么也拿不進(jìn)去，量竹竿長比城門寬4米，旁邊一個(gè)醉漢嘲笑他，你沒看城門高嗎，豎著拿就可以進(jìn)去啦，結(jié)果豎著比城門高2米，二人沒辦法，只好請教聰明人，聰明人教他們二人沿著門的對角斜著拿，二人一試，不多不少剛好進(jìn)城，你知道竹竿有多長嗎？2021/5/923解：設(shè)竹竿的長度為X，那么X2=(X-4)2+(X-2)2=X2-8X+16+X2-4X+4=2X2-12X+20,平移過來，X2-12X+20=0(X-10)x（X-2）=0X取10或2，由于2不符合標(biāo)準(zhǔn)，故舍去，得X=10米答：竹竿長10米。2021/5/924情景對話春秋旅行社為吸引市民組團(tuán)去天水灣風(fēng)景區(qū)旅游，推出了如圖1對話中收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn).

某單位組織員工去天水灣風(fēng)景區(qū)旅游，共支付給春秋旅行社旅游費(fèi)用27000元.請問該單位這次共有多少員工去天水灣風(fēng)景區(qū)旅游？圖1如果人數(shù)超過25人，每增加1人，人均旅游費(fèi)用降低20元，但人均旅游費(fèi)用不得低于700元.如果人數(shù)不超過25人，人均旅游費(fèi)用為1000元.2021/5/925分析：設(shè)該單位這次共有x名員工去天水灣風(fēng)景區(qū)旅游．依題意列方程求解．解答：解：設(shè)該單位這次共有x名員工去天水灣風(fēng)景區(qū)旅