信號(hào)與系統(tǒng)拉普拉斯變換

第四章拉普拉斯變換

u1當(dāng)前第1頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：求解比較簡(jiǎn)單，特別是對(duì)系統(tǒng)的微分方程進(jìn)行變換時(shí)，初始條件被自動(dòng)計(jì)入，因此應(yīng)用更為普遍。缺點(diǎn)：物理概念不如傅氏變換那樣清楚。2當(dāng)前第2頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)本章內(nèi)容及學(xué)習(xí)方法

本章首先由傅氏變換引出拉氏變換，然后對(duì)拉氏正變換、拉氏反變換及拉氏變換的性質(zhì)進(jìn)行討論。本章重點(diǎn)在于，以拉氏變換為工具對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行復(fù)頻域分析。最后介紹系統(tǒng)函數(shù)以及H(s)零極點(diǎn)概念，并根據(jù)它們的分布研究系統(tǒng)特性，分析頻率響應(yīng)，還要簡(jiǎn)略介紹系統(tǒng)穩(wěn)定性問題。注意與傅氏變換的對(duì)比，便于理解與記憶。3當(dāng)前第3頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)一．從傅里葉變換到拉普拉斯變換則1．拉普拉斯正變換4當(dāng)前第4頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)2．拉氏逆變換5當(dāng)前第5頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)3．拉氏變換對(duì)6當(dāng)前第6頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)二．拉氏變換的收斂

收斂域：使F(s)存在的s的區(qū)域稱為收斂域。記為：ROC(regionofconvergence)實(shí)際上就是拉氏變換存在的條件；7當(dāng)前第7頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)u部分s平面收斂的情況：8當(dāng)前第8頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)u9當(dāng)前第9頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)10當(dāng)前第10頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)例4時(shí)限信號(hào)的拉氏變換(如門信號(hào))。整個(gè)s平面收斂的情況：這里只要不是無窮大，上式的分子就不等于無窮大，拉氏變換就存在。故其收斂域?yàn)檎麄€(gè)s平面。例5下列信號(hào)的拉氏變換：

，故在整個(gè)s平面都不收斂。整個(gè)s平面都不收斂的情況：11當(dāng)前第11頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)uuuuuu:12當(dāng)前第12頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)13當(dāng)前第13頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)一般求函數(shù)的單邊拉氏變換可以不加注其收斂范圍。14當(dāng)前第14頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)三．一些常用函數(shù)的拉氏變換1.階躍函數(shù)2.指數(shù)函數(shù)全s域平面收斂3.單位沖激信號(hào)15當(dāng)前第15頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)4．tnu(t)16當(dāng)前第16頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)5.復(fù)指數(shù)函數(shù)17當(dāng)前第17頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)4.3

拉氏變換的基本性質(zhì)u18當(dāng)前第18頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)uuuuuu19當(dāng)前第19頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)“周期信號(hào)”的拉氏變換第一周期的拉氏變換時(shí)移特性無窮級(jí)數(shù)求和20當(dāng)前第20頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)時(shí)移特性例題【例1】已知【例2】21當(dāng)前第21頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)用時(shí)移性質(zhì)求單邊信號(hào)抽樣后的拉氏變換22當(dāng)前第22頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)23當(dāng)前第23頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)復(fù)頻移特性舉例24當(dāng)前第24頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)25當(dāng)前第25頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)例：兩邊取拉氏變換：整理得：26當(dāng)前第26頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)電感元件的s域模型電感元件的s模型應(yīng)用原函數(shù)微分性質(zhì)設(shè)27當(dāng)前第27頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)28當(dāng)前第28頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)電容元件的s域模型電容元件的s模型29當(dāng)前第29頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)30當(dāng)前第30頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)31當(dāng)前第31頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)32當(dāng)前第32頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)初值定理33當(dāng)前第33頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)終值存在的條件:證明：根據(jù)初值定理證明時(shí)得到的公式終值定理34當(dāng)前第34頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)初值定理舉例

即單位階躍信號(hào)的初始值為1。例2例135當(dāng)前第35頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)4.4

拉普拉斯逆變換

由象函數(shù)求原函數(shù)的三種方法

部分分式法求拉氏逆變換

兩種特殊情況36當(dāng)前第36頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)F(s)的一般形式ai,bi為實(shí)數(shù)，m,n為正整數(shù)。分解零點(diǎn)極點(diǎn)37當(dāng)前第37頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)拉氏逆變換的過程38當(dāng)前第38頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)部分分式展開法(m<n)1.第一種情況：?jiǎn)坞A實(shí)數(shù)極點(diǎn)2.第二種情況：極點(diǎn)為共軛復(fù)數(shù)3.第三種情況：有重根存在39當(dāng)前第39頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)第一種情況：?jiǎn)坞A實(shí)數(shù)極點(diǎn)(1)找極點(diǎn)(2)展成部分分式(3)逆變換求系數(shù)40當(dāng)前第40頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)如何求系數(shù)k1,k2,k3``````？41當(dāng)前第41頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)第二種情況：極點(diǎn)為共軛復(fù)數(shù)共軛極點(diǎn)出現(xiàn)在42當(dāng)前第42頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)求f(t)43當(dāng)前第43頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)例題44當(dāng)前第44頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)F(s)具有共軛極點(diǎn)，不必用部分分式展開法求下示函數(shù)F(s)的逆變換f(t)：解：求得另一種方法45當(dāng)前第45頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)3.第三種情況：有重根存在如何求k2?46當(dāng)前第46頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)如何求k2?設(shè)法使部分分式只保留k2，其他分式為047當(dāng)前第47頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)逆變換48當(dāng)前第48頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)一般情況求k11，方法同第一種情況：求其他系數(shù)，要用下式49當(dāng)前第49頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)F(s)的兩種特殊情況非真分式——

化為真分式＋多項(xiàng)式50當(dāng)前第50頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)1.非真分式——真分式＋多項(xiàng)式作長(zhǎng)除法51當(dāng)前第51頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)2.含e-s的非有理式52當(dāng)前第52頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)2*.已知某LTI系統(tǒng)的微分方程為若輸入，，，求該系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)及全響應(yīng)。系統(tǒng)頻域分析課堂練習(xí)：1.已知某LTI系統(tǒng)的階躍響應(yīng)，若輸入，求該系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。53當(dāng)前第53頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)4.5

用拉氏變換法分析電路、s域元件模型主要內(nèi)容：

用拉氏變換法求解瞬態(tài)電路的步驟微分方程的拉氏變換利用元件的s域模型分析求解瞬態(tài)電路54當(dāng)前第54頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)一、用拉氏變換法求解瞬態(tài)電路的步驟列s域方程(可以從兩方面入手)

列時(shí)域微分方程，用微積分性質(zhì)求拉氏變換直接按電路的s域模型建立代數(shù)方程求解s域方程，得到時(shí)域解答55當(dāng)前第55頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)二、微分方程的拉氏變換

若采用0-系統(tǒng)，求拉氏變換時(shí)減去的是信號(hào)在0-時(shí)刻的值；若采用0+系統(tǒng)，求拉氏變換時(shí)減去的是信號(hào)在0+時(shí)刻的值。56當(dāng)前第56頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)例4-4電路在t=0時(shí)開關(guān)閉合，求輸出信號(hào)Vc(t)。兩邊取拉氏變換：列寫微分方程：解得：求拉氏反變換：RCESVc(t)++--i(t)57當(dāng)前第57頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)1358當(dāng)前第58頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)59當(dāng)前第59頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)60當(dāng)前第60頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)61當(dāng)前第61頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)結(jié)論：分析電路時(shí)，采用0-系統(tǒng)求解瞬態(tài)電路更為簡(jiǎn)便，只要知道起始狀態(tài)，就可以利用元件值和元件起始狀態(tài)，求出元件的s域模型。62當(dāng)前第62頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)三、利用元件的s域模型分析瞬態(tài)電路求響應(yīng)的步驟：畫0-等效電路，求起始狀態(tài)；電路元件的s域模型→電路的s域等效模型；采用KVL和KCL，列出s域方程(代數(shù)方程)；解s域方程，求出響應(yīng)的拉氏變換U(s)或I(s)；拉氏反變換求u(t)或i(t)。63當(dāng)前第63頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)元件的s域模型：64當(dāng)前第64頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)65當(dāng)前第65頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)

以上是電路定理的推廣，對(duì)于線性穩(wěn)態(tài)電路分析的各種方法都適用。66當(dāng)前第66頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)【例4-5-1】如圖所示，t<0開關(guān)S處于1的位置而且已經(jīng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)；當(dāng)t=0時(shí),S由1轉(zhuǎn)向2。＋－RCe(t)=-Ee(t)=E＋－ic(t)i(t)S2167當(dāng)前第67頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)5-2168當(dāng)前第68頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)69當(dāng)前第69頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)70當(dāng)前第70頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)71當(dāng)前第71頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)例4-5-272當(dāng)前第72頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)（4）求反變換73當(dāng)前第73頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)求采用0-系統(tǒng)采用0+系統(tǒng)兩種方法結(jié)果一致。使用0-系統(tǒng)使分析各過程簡(jiǎn)化。74當(dāng)前第74頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)(3)對(duì)微分方程兩邊取拉氏變換采用0-系統(tǒng)75當(dāng)前第75頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)采用0+系統(tǒng)(4)原方程取拉氏變換76當(dāng)前第76頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)4.6

系統(tǒng)函數(shù)77當(dāng)前第77頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)78當(dāng)前第78頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)79當(dāng)前第79頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)80當(dāng)前第80頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)81當(dāng)前第81頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)82當(dāng)前第82頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)83當(dāng)前第83頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)84當(dāng)前第84頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)85當(dāng)前第85頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)系統(tǒng)函數(shù)課堂練習(xí)：

某級(jí)聯(lián)系統(tǒng)如下圖所示，已知，

，，試求、、級(jí)聯(lián)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)及單位沖激響應(yīng)。86當(dāng)前第86頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)4.7由系統(tǒng)函數(shù)零、極點(diǎn)分布決定時(shí)域特性

沖激響應(yīng)h(t)與系統(tǒng)函數(shù)H(s)

從時(shí)域和變換域兩方面表征了同一系統(tǒng)的本性。

在s域分析中，借助系統(tǒng)函數(shù)在s平面零點(diǎn)與極點(diǎn)分布的研究，可以簡(jiǎn)明、直觀地給出系統(tǒng)響應(yīng)的許多規(guī)律。系統(tǒng)的時(shí)域、頻域特性集中地以其系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)分布表現(xiàn)出來。

主要優(yōu)點(diǎn)：1．可以預(yù)言系統(tǒng)的時(shí)域特性2．便于劃分系統(tǒng)的各個(gè)分量(自由/強(qiáng)迫，瞬態(tài)/穩(wěn)態(tài))3．可以用來說明系統(tǒng)的正弦穩(wěn)態(tài)特性87當(dāng)前第87頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)在s平面上，畫出H(s)的零極點(diǎn)圖：極點(diǎn)：用×表示，零點(diǎn)：用○表示1．系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)H(s)零、極點(diǎn)與h(t)波形特征的對(duì)應(yīng)88當(dāng)前第88頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)89當(dāng)前第89頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)90當(dāng)前第90頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)91當(dāng)前第91頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)92當(dāng)前第92頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)極點(diǎn)在左半平面見教材P223結(jié)論93當(dāng)前第93頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)94當(dāng)前第94頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)瞬態(tài)響應(yīng)是指激勵(lì)信號(hào)接入以后，完全響應(yīng)中瞬時(shí)出現(xiàn)的有關(guān)成分，隨著t增大，將消失。穩(wěn)態(tài)響應(yīng)＝完全響應(yīng)－瞬態(tài)響應(yīng)左半平面的極點(diǎn)產(chǎn)生的函數(shù)項(xiàng)和瞬態(tài)響應(yīng)對(duì)應(yīng)。22595當(dāng)前第95頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)例4-7-2，教材習(xí)題2-6(1)給定系統(tǒng)微分方程試分別求它們的完全響應(yīng)，并指出其零輸入響應(yīng)，零狀態(tài)響應(yīng)，自由響應(yīng)，強(qiáng)迫響應(yīng)各分量，暫態(tài)響應(yīng)分量和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分量。解：方程兩端取拉氏變換96當(dāng)前第96頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)零輸入響應(yīng)／零狀態(tài)響應(yīng)則

97當(dāng)前第97頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)／暫態(tài)響應(yīng)，自由響應(yīng)／強(qiáng)迫響應(yīng)極點(diǎn)位于虛軸暫態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)H(s)的極點(diǎn)E(s)的極點(diǎn)自由響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)極點(diǎn)位于s左半平面教材P22798當(dāng)前第98頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)4.8

由系統(tǒng)函數(shù)零、極點(diǎn)分布決定頻域特性99當(dāng)前第99頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)H(s)和頻響特性的關(guān)系頻響特性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)——幅頻特性——相頻特性（相移特性）虛軸上的拉氏變換就是傅氏變換100當(dāng)前第100頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)幾種常見的濾波器101當(dāng)前第101頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)102當(dāng)前第102頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)103當(dāng)前第103頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)104當(dāng)前第104頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)討論H(s)的幾點(diǎn)位于s平面實(shí)軸的情況一階系統(tǒng)只含有一類儲(chǔ)能元件。轉(zhuǎn)移函數(shù)僅一個(gè)極點(diǎn)且位于實(shí)軸，一般形式為或。二階系統(tǒng)只含有兩類儲(chǔ)能元件。轉(zhuǎn)移函數(shù)的兩個(gè)極點(diǎn)都位于實(shí)軸。重點(diǎn)討論105當(dāng)前第105頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)例4-8-1確定圖示系統(tǒng)的頻響特性。106當(dāng)前第106頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)頻響特性分析X高通濾波器的截止頻率點(diǎn)107當(dāng)前第107頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)例4-8-2研究右圖所示RC低通濾波網(wǎng)絡(luò)的頻響特性。寫出網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)移函數(shù)表達(dá)式:108當(dāng)前第108頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)頻響特性

109當(dāng)前第109頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)4.11

線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性一個(gè)穩(wěn)定系統(tǒng)對(duì)于有界激勵(lì)信號(hào)產(chǎn)生有界的響應(yīng)函數(shù)穩(wěn)定性是系統(tǒng)自身的性質(zhì)之一，系統(tǒng)是否穩(wěn)定與激勵(lì)情況無關(guān)系統(tǒng)沖激響應(yīng)和系統(tǒng)函數(shù)能表征系統(tǒng)的穩(wěn)定性110當(dāng)前第110頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)可忽略111當(dāng)前第111頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)112當(dāng)前第112頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)113當(dāng)前第113頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)114當(dāng)前第114頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)115當(dāng)前第115頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)116當(dāng)前第116頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)117當(dāng)前第117頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)極點(diǎn)均在左半開平面118當(dāng)前第118頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)119當(dāng)前第119頁\共有134頁\編于星期二\2點(diǎn)120