線性控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析

線性控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析2023/6/121第一頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期三[預(yù)備知識(shí)]：線性定常系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)1、自由運(yùn)動(dòng)：線性定常系統(tǒng)在沒有控制作用，即u＝0時(shí)，由初始狀態(tài)引起的運(yùn)動(dòng)稱自由運(yùn)動(dòng)。齊次狀態(tài)方程的解：2、強(qiáng)迫運(yùn)動(dòng)：線性定常系統(tǒng)在控制u作用下的運(yùn)動(dòng)，稱為強(qiáng)迫運(yùn)動(dòng)。非齊次狀態(tài)方程的解：2023/6/122第二頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期三第一節(jié)線性定常齊次狀態(tài)方程的解2023/6/123第三頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期三滿足初始狀態(tài)的解是：一、直接求解：1、標(biāo)量齊次微分方程：滿足初始狀態(tài)的解是：滿足初始狀態(tài)的解是：2、齊次狀態(tài)方程其中：定義為矩陣指數(shù)函數(shù)，和A一樣也是n×n階方陣[線性定常齊次狀態(tài)方程的求解方法]：直接求解，拉氏變化求解2023/6/124第四頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期三求解過程：仿標(biāo)量方程求解將式(4)代入式(1)，即可得到通解為：（5）式(3)左右兩邊t的同次冪的系數(shù)兩兩相等得：（4）(1)(2)代入狀態(tài)方程得：（3）設(shè)齊次狀態(tài)方程的解為當(dāng)時(shí)，由上式可得此處（1）式(1)左右求導(dǎo)得：（2）－－標(biāo)量齊次狀態(tài)方程2023/6/125第五頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期三二、拉氏變換求解：兩邊取拉氏變換得：整理得：齊次狀態(tài)方程：初始狀態(tài)為：與直接求解的結(jié)果(5)比較，由解的唯一性得：仿標(biāo)量系統(tǒng)得：拉氏反變換得：－－－（6）[本節(jié)小結(jié)]：2023/6/126第六頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期三第二節(jié)矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和計(jì)算方法2023/6/127第七頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期三一、矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：2、[證明]：矩陣指數(shù)函數(shù)定義中，令t＝0即可得證3、總是非奇異的，必有逆存在，且：[證明]：1、設(shè)A為n×n階矩陣，t1為t2兩個(gè)獨(dú)立自變量，則有：[證明]：根據(jù)定義證明2023/6/128第八頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期三5、對(duì)

有：4、對(duì)于n×n階方陣A和B：如果A和B可交換，即A×B=B×A，則如果A和B不可交換，即A×BB×A，則6、如果P是非奇異陣，即存在，則必有：[證明]：根據(jù)定義證和[注意]：[用途]：此性質(zhì)經(jīng)常用于計(jì)算2023/6/129第九頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期三7、如果A是n×n階對(duì)角陣，則也是n×n階對(duì)角陣：則有：如果：[證明]：根據(jù)定義證2023/6/1210第十頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期三8、如果是m×m階的約當(dāng)塊：則有：證明：略。根據(jù)定義證。2023/6/1211第十一頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期三其中是約當(dāng)塊其中是對(duì)應(yīng)約當(dāng)塊的矩陣指數(shù)函數(shù)。9、當(dāng)A是約當(dāng)矩陣時(shí)：則有：[例如]：2023/6/1212第十二頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期三二、矩陣指數(shù)函數(shù)的計(jì)算：直接求解法：根據(jù)定義拉氏變換求解：標(biāo)準(zhǔn)型法求解：對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)型和約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型－非奇異變換待定系數(shù)法：凱萊－哈密頓（簡稱C-H）定理求出的解不是解析形式，適合于計(jì)算機(jī)求解。1、根據(jù)矩陣指數(shù)函數(shù)的定義求解：對(duì)所有有限的t值來說，這個(gè)無窮級(jí)數(shù)都是收斂的2023/6/1213第十三頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期三2、用拉氏變換法求解：關(guān)鍵是必須首先求出（sI-A）的逆，再進(jìn)行拉氏反變換。3、標(biāo)準(zhǔn)型法求解：思路：根據(jù)矩陣指數(shù)函數(shù)性質(zhì)6：對(duì)A進(jìn)行非奇異線性變換，得到：聯(lián)立上兩式，得到：有二種標(biāo)準(zhǔn)形式：對(duì)角線矩陣、約當(dāng)矩陣2023/6/1214第十四頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期三其中：P為使A化為對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)型的非奇異變換矩陣。（1）當(dāng)A的特征值為兩兩相異時(shí)：對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)型對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)型法求矩陣指數(shù)函數(shù)的步驟：1）先求得A陣的特征值。2）求對(duì)應(yīng)于的特征向量，并得到P陣及P的逆陣。3）代入上式即可得到矩陣指數(shù)函數(shù)的值。2023/6/1215第十五頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期三（2）當(dāng)A具有n重特征根：約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型

其中：Q為使A化為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型的非奇異變換矩陣。約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型法求矩陣指數(shù)函數(shù)的步驟：此時(shí)的步驟和對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)型情況相同：求特征值、特征向量和變換陣Q。說明：對(duì)于所有重特征值，構(gòu)造約當(dāng)塊，并和非重特征值一起構(gòu)成約當(dāng)矩陣。根據(jù)矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)8和9，求得。2023/6/1216第十六頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期三4、待定系數(shù)法：將化為A的有限項(xiàng)多項(xiàng)式來求解：說明：在證明有關(guān)矩陣方程的定理或解決有關(guān)矩陣方程的問題時(shí)，凱萊-哈密爾頓定理是非常有用的。設(shè)n×n維矩陣A的特征方程為：（1）凱萊－哈密頓（以下簡稱C-H）定理：則矩陣A滿足其自身的特征方程，即：2023/6/1217第十七頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期三由定理知：A所有高于(n-1)次冪都可由A的0～(n-1)次冪線性表出。并令即可得到如下的結(jié)論：即：將此式代入的定義中：其中：

為t的標(biāo)量函數(shù)，可按A的特征值確定。（2）將化為A的有限項(xiàng)多項(xiàng)式來求解根據(jù)C-H定理，可將化為A的有限項(xiàng)表達(dá)式，即封閉形式：2023/6/1218第十八頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期三1）A的特征值兩兩相異時(shí)，注意求逆推導(dǎo)：利用了A可化為對(duì)角陣的矩陣指數(shù)函數(shù)求法。注意：推導(dǎo)時(shí)可看到：2023/6/1219第十九頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期三注意求逆2）A的特征值為(n重根）推導(dǎo)：此時(shí)只有一個(gè)方程：缺少n-1個(gè)獨(dú)立方程，對(duì)上式求導(dǎo)n-1次，得到其余n-1個(gè)方程說明：不管特征值互異、還是具有重根，只需要記住式(3)。特征值互異時(shí)，對(duì)于每個(gè)特征值，直接得到方程(3)；特征值為n重根時(shí)，則式(3)針對(duì)求導(dǎo)n-1次，補(bǔ)充缺少的n-1個(gè)方程。聯(lián)立求出系數(shù)。2023/6/1220第二十頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期三[例]：求以下矩陣A的矩陣指數(shù)函數(shù)[解]：1）用第一種方法－定義求解：(略）2）用第二種方法－拉氏變換法求解：2023/6/1221第二十一頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期三3）用第三種方法－標(biāo)準(zhǔn)型法求解：得：，具有互異特征根，用對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)型法。且A為友矩陣形式。先求特征值：2023/6/1222第二十二頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期三2023/6/1223第二十三頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期三4）用第四種方法－待定系數(shù)法求解.在第3種方法中已經(jīng)求得特征根，所以得：求得矩陣指數(shù)函數(shù)如下：2023/6/1224第二十四頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期三或者：由和

得到：從而求出系數(shù)2023/6/1225第二十五頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期三[例]：求以下矩陣A的矩陣指數(shù)函數(shù)分析：用C－H定理求解先求特征值：求得：當(dāng)時(shí)，有當(dāng)（二重根）時(shí)，有上式對(duì)求導(dǎo)1次，得到另一個(gè)方程：2023/6/1226第二十六頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期三得到方程組：寫成矩陣形式為：整理得：2023/6/1227第二十七頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期三可以求出：所以：可以求出矩陣指數(shù)函數(shù)。[本節(jié)小結(jié)]：矩陣指數(shù)函數(shù)的9個(gè)性質(zhì)，4種計(jì)算方法2023/6/1228第二十八頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期三第三節(jié)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣2023/6/1229第二十九頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期三一、線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣線性定常系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程：滿足初始狀態(tài)的解是：滿足初始狀態(tài)的解是：已知：線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣令：則有：2023/6/1230第三十頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期三說明1：狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣須滿足以下條件，否則不是狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣1）狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣初始條件：2）狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣滿足狀態(tài)方程本身：說明2：線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣就是矩陣指數(shù)函數(shù)本身說明3：狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的物理意義：從時(shí)間角度看，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣使?fàn)顟B(tài)向量隨著時(shí)間的推移不斷地作坐標(biāo)變換，不斷地在狀態(tài)空間中作轉(zhuǎn)移，故稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣2023/6/1231第三十一頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期三二、狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)1、對(duì)于線性定常系統(tǒng)：說明：此性質(zhì)的含義是，從t0到t0的轉(zhuǎn)移，相當(dāng)于不轉(zhuǎn)移，轉(zhuǎn)移后的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣仍是它自己。不變性2、對(duì)于線性定常系統(tǒng)：3、對(duì)于線性定常系統(tǒng)：傳遞性說明：此性質(zhì)表明，從t0到t2的轉(zhuǎn)移可以分為兩步：先從t0轉(zhuǎn)移到t1，再從t1轉(zhuǎn)移到t2。2023/6/1232第三十二頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期三4、對(duì)于線性定常系統(tǒng)：可逆性說明：此性質(zhì)表明，狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程在時(shí)間上可以逆轉(zhuǎn)。說明：由性質(zhì)1、3證明5、對(duì)于線性定常系統(tǒng)：分解性說明：由去證明。6、對(duì)于線性定常系統(tǒng)：2023/6/1233第三十三頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期三三、與狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣相關(guān)的問題1、已知齊次狀態(tài)方程的解，求狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣：方法是利用直接求解。2、利用矩陣指數(shù)函數(shù)的求解方法求狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。由可得3、已知狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，求系統(tǒng)矩陣A陣說明：利用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣性質(zhì)2求4、已知某時(shí)刻系統(tǒng)狀態(tài)，求其它時(shí)刻的狀態(tài)。[本節(jié)小結(jié)]：2023/6/1234第三十四頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期三[例]已知某二階系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程為：，其解為：試求狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。[解]：設(shè)，則：則有：所以：2023/6/1235第三十五頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期三第四節(jié)線性定常非齊次狀態(tài)方程的解2023/6/1236第三十六頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期三若線性定常系統(tǒng)的非奇次狀態(tài)方程的解存在，則解形式如下：一、直接求解法初始狀態(tài)引起的響應(yīng)，零輸入響應(yīng)輸入引起的響應(yīng),零狀態(tài)響應(yīng)說明：與線性定常系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的解不同，齊次狀態(tài)方程的解僅由初始狀態(tài)引起的響應(yīng)組成。2023/6/1237第三十七頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期三[證]：1）先把狀態(tài)方程寫成3）對(duì)上式在區(qū)間內(nèi)進(jìn)行積分，得:直接求解法的關(guān)鍵：求狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣或矩陣指數(shù)函數(shù)2）兩邊左乘，再利用的性質(zhì)2023/6/1238第三十八頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期三對(duì)非齊次狀態(tài)方程兩邊進(jìn)行拉