線代向量的內(nèi)積長度及正交性

線代課件向量的內(nèi)積長度及正交性第一頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三1.定義1內(nèi)積一、內(nèi)積的定義及性質(zhì)說明1.維向量的內(nèi)積是3維向量數(shù)量積的推廣，但是沒有3維向量直觀的幾何意義．(Innerproduct)

第二頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三2.內(nèi)積的運算性質(zhì)第三頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三1.定義2

長度范數(shù)向量的長度具有下述性質(zhì)：二、向量的長度及性質(zhì)(norm)第四頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三單位向量2.第五頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三解夾角第六頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三1、正交的概念２、正交向量組的概念正交若一非零向量組中的向量兩兩正交，則稱該向量組為正交向量組．三、正交向量組的概念及求法(orthogonal)第七頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三證明３、

正交向量組的性質(zhì)定理1第八頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三4、

正交單位向量組每個向量都是單位向量的正交向量組.5、

向量空間的正交基第九頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三例1

已知三維向量空間中兩個向量正交，試求使構(gòu)成三維空間的一個正交基.第十頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三即解之得由上可知構(gòu)成三維空間的一個正交基.則有解第十一頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三6、

規(guī)范正交基例如定義(標(biāo)準(zhǔn))第十二頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三第十三頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三同理可知第十四頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三7、

求規(guī)范正交基的方法下面介紹施密特正交化方法（Gram-Schmidtorthogonalization’smethod）第十五頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三(2)單位化,取(1)正交化

,取，第十六頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三例２用施密特正交化方法，將向量組正交規(guī)范化.解

先正交化，取施密特正交化過程第十七頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三再單位化，得規(guī)范正交向量組如下第十八頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三例解第十九頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三把基礎(chǔ)解系正交化，即合所求．亦即取第二十頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三定義4四、正交矩陣與正交變換定理

A為正交矩陣的充要條件是

A的列向量都是單位向量且兩兩正交．例５

判別下列矩陣是否為正交陣．第二十一頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三解所以它不是正交矩陣．考察矩陣的第一列和第二列，由于例５

判別下列矩陣是否為正交陣．第二十二頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三所以它是正交矩陣．由于第二十三頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三正交矩陣的性質(zhì)：第二十四頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三定義

若

P

為正交陣，則線性變換

y=Px稱為正交變換．性質(zhì)

正交變換保持向量的長度不變．證明第二十五頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三1．將一組基規(guī)范正交化的方法：先用施密特正交化方法將基正交化，然后再將其單位化．五、小結(jié)2．為正交矩陣的充要條件是下列條件之一成立：第二十六頁，共二十八頁，編輯于2