矢量分析黑白底

矢量分析黑白底第一頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三本章內(nèi)容21.1矢量代數(shù)1.2

標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)與梯度1.3

矢量場(chǎng)的通量與散度，散度定理1.4

矢量場(chǎng)的環(huán)流和旋度，斯托克斯定理1.5亥姆霍茲定理1.6

常用正交曲線坐標(biāo)系第二頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三1.1矢量代數(shù)1.標(biāo)量和矢量矢量的大小或模：矢量的單位矢量：標(biāo)量：一個(gè)只用大小描述的物理量。矢量的代數(shù)表示：矢量：一個(gè)既有大小又有方向特性的物理量，常用黑體字母或帶箭頭的字母表示，本書中在符號(hào)上加短橫線

矢量的幾何表示：一個(gè)矢量可用一條有方向的線段來(lái)表示

矢量的幾何表示則直角坐標(biāo)系中x,y,z方向的單位矢量分別為：或第三頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三4矢量用坐標(biāo)分量表示或第四頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三5（1）矢量的加減法

兩矢量的加減在幾何上是以這兩矢量為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線,如圖所示。矢量的加減符合交換律和結(jié)合律2.矢量的代數(shù)運(yùn)算矢量的加法矢量的減法

在直角坐標(biāo)系中兩矢量的加法和減法：結(jié)合律交換律第五頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三6（2）標(biāo)量乘矢量（3）矢量的標(biāo)積（點(diǎn)積）——矢量的標(biāo)積符合交換律q矢量與的夾角它就是一個(gè)矢量模(A)與另一個(gè)矢量模在該矢量上的投影(Bcos?)的乘積。第六頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三7（4）矢量的矢量積（叉積）qsinABq矢量與的叉積用坐標(biāo)分量表示為寫成行列式形式為若，則若，則第七頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三8（5）矢量的三重積——

分配律——

分配律——

標(biāo)量三重積——

矢量三重積第八頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三9例：設(shè)的模為1，求a,b.解:故有兩組解,

第九頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三1.2曲面坐標(biāo)系10

三維空間任意一點(diǎn)的位置可通過三條相互正交曲線的交點(diǎn)來(lái)確定。

在電磁場(chǎng)與波理論中，三種常用的正交曲線坐標(biāo)系為：直角坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系和球面坐標(biāo)系。

三條正交曲線組成的確定三維空間任意點(diǎn)位置的體系，稱為正交曲線坐標(biāo)系；三條正交曲線稱為坐標(biāo)軸；描述坐標(biāo)軸的量稱為坐標(biāo)變量。第十頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三1、直角坐標(biāo)系

11位置矢量面元矢量線元矢量體積元坐標(biāo)變量坐標(biāo)單位矢量

點(diǎn)P(x0,y0,z0)0yy=（平面）

o

x

y

z0xx=（平面）0zz=（平面）P

直角坐標(biāo)系

x

yz直角坐標(biāo)系的長(zhǎng)度元、面積元、體積元

odzdydx第十一頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三2、圓柱面坐標(biāo)系12坐標(biāo)變量坐標(biāo)單位矢量位置矢量線元矢量體積元面元矢量第十二頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三133、球面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系坐標(biāo)變量坐標(biāo)單位矢量位置矢量線元矢量體積元面元矢量第十三頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三4、坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系

14直角坐標(biāo)與圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)與球坐標(biāo)系直角坐標(biāo)與球坐標(biāo)系oqrz單位圓

柱坐標(biāo)系與求坐標(biāo)系之間坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系qq

ofxy單位圓

直角坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系之間坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系

f第十四頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三1.3標(biāo)量場(chǎng)的梯度15如果物理量是標(biāo)量，稱該場(chǎng)為標(biāo)量場(chǎng)。例如：溫度場(chǎng)、電位場(chǎng)、高度場(chǎng)等。如果物理量是矢量，稱該場(chǎng)為矢量場(chǎng)。例如：流速場(chǎng)、重力場(chǎng)、電場(chǎng)、磁場(chǎng)等。如果場(chǎng)與時(shí)間無(wú)關(guān)，稱為靜態(tài)場(chǎng)，反之為時(shí)變場(chǎng)。時(shí)變標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)可分別表示為：

確定空間區(qū)域上的每一點(diǎn)都有確定物理量與之對(duì)應(yīng)，稱在該區(qū)域上定義了一個(gè)場(chǎng)。從數(shù)學(xué)上看，場(chǎng)是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)：標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)靜態(tài)標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)可分別表示為：第十五頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三16標(biāo)量場(chǎng)的等值面

標(biāo)量場(chǎng)的等值線(面)等值面:標(biāo)量場(chǎng)取得同一數(shù)值的點(diǎn)在空間形成的曲面。等值面方程：常數(shù)C取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；標(biāo)量場(chǎng)的等值面充滿場(chǎng)所在的整個(gè)空間；標(biāo)量場(chǎng)的等值面互不相交。

等值面的特點(diǎn)：意義:形象直觀地描述了物理量在空間的分布狀態(tài)。第十六頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三172.方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)：

對(duì)于一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)除了了解標(biāo)量場(chǎng)u的總體分布情況，還要討論其等值面隨空間的變化。

等值面沿某一給定方向l0的變化率，稱為該標(biāo)量場(chǎng)沿l0方向的方向?qū)?shù)。例：溫度場(chǎng)10C20C30C0CL1100米80米L2200米L3第十七頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三18甲：（每米的溫度變化為）（0C--30C）/100m=-3/10C/m乙：（每米的溫度變化為）（0C--30C）/200m=-3/20C/m?。海棵椎臏囟茸兓癁椋?C--30C）/80m=-3/8C/m同一個(gè)溫度場(chǎng)中，其等溫面沿不同方向的變化率不同：

L1的方向?qū)?shù)為-3/10L2的方向?qū)?shù)為-3/20L3的方向?qū)?shù)為-3/8第十八頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三19M0為標(biāo)量場(chǎng)u(M)中的一點(diǎn)，那么為標(biāo)量場(chǎng)u(M)在點(diǎn)M0處沿l方向的方向?qū)?shù)，記作，即M0MNnl一般情況：第十九頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三20方向?qū)?shù)計(jì)算公式意義：方向性導(dǎo)數(shù)表示場(chǎng)沿某方向的空間變化率。

——

u(M)沿方向增加；

——

u(M)沿方向減?。?/p>

——

u(M)沿方向無(wú)變化。

特點(diǎn)：方向性導(dǎo)數(shù)既與點(diǎn)M0有關(guān)，也與方向有關(guān)。問題：在什么方向上變化率最大、其最大的變化率為多少？——

的方向余弦。

式中：

第二十頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三213、標(biāo)量場(chǎng)的梯度（或）大小：該點(diǎn)的最大方向性導(dǎo)數(shù)。即沿過該點(diǎn)等值面的法線方向的方向性導(dǎo)數(shù)。方向：過M0點(diǎn)等值面的法線方向。規(guī)定沿等值面增加的方向?yàn)檎ň€。上例中：梯度：3/8（-L3）第二十一頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三224、梯度與方向性導(dǎo)數(shù)的關(guān)系enelM0MNuu+u標(biāo)量場(chǎng)沿l方向的方向?qū)?shù)等于梯度沿該方向的投影，即梯度與該方向的單位矢量的點(diǎn)乘。第二十二頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三235、梯度的計(jì)算（直角坐標(biāo)系中）直角坐標(biāo)系中，由方向性導(dǎo)數(shù)與梯度的關(guān)系可得標(biāo)量場(chǎng)u沿三個(gè)坐標(biāo)軸的方向性導(dǎo)數(shù)：XYZ其中：是哈密頓算子，又稱為矢性微分算符，具有矢量和微分的雙重性質(zhì)。第二十三頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三246、梯度的性質(zhì)：梯度的線積分與路徑無(wú)關(guān)（）

該積分與路徑無(wú)關(guān)的條件是被積函數(shù)可以表示為某一函數(shù)的全微分。梯度的表達(dá)式：直角面坐標(biāo)系

第二十四頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三25

例1.2.1

設(shè)一標(biāo)量函數(shù)(x,y,z)=x2＋y2－z描述了空間標(biāo)量場(chǎng)。試求：

(1)該函數(shù)在點(diǎn)P(1,1,1)處的梯度，以及表示該梯度方向的單位矢量；

(2)求該函數(shù)沿單位矢量el=

excos60＋eycos45

＋ezcos60方向的方向?qū)?shù)，并以點(diǎn)P(1,1,1)處的方向?qū)?shù)值與該點(diǎn)的梯度值作以比較，得出相應(yīng)結(jié)論。

解

(1)由梯度計(jì)算公式，可求得P點(diǎn)的梯度為第二十五頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三26表征其方向的單位矢量

(2)由方向?qū)?shù)與梯度之間的關(guān)系式可知，沿el方向的方向?qū)?shù)為對(duì)于給定的P點(diǎn)，上述方向?qū)?shù)在該點(diǎn)取值為第二十六頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三27而該點(diǎn)的梯度值為

顯然，梯度描述了P點(diǎn)處標(biāo)量函數(shù)的最大變化率，即最大的方向?qū)?shù)，故恒成立。第二十七頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三1.4矢量場(chǎng)的通量與散度281、矢量場(chǎng)

概念：設(shè)空間某一區(qū)域存在一矢量函數(shù)，它的大小及方向隨空間位置變化（可能還是時(shí)間函數(shù)）。則稱為該區(qū)域存在一矢量場(chǎng)：例：速度場(chǎng)，電場(chǎng)，磁場(chǎng)2、矢量線

意義：形象直觀地描述了矢量場(chǎng)的空間分布狀態(tài)。概念：矢量線是這樣的曲線，其上每一點(diǎn)的切線方向代表了該點(diǎn)矢量場(chǎng)的方向。該點(diǎn)附近曲線的疏密和該點(diǎn)矢量的大小成正比。矢量線oM

第二十八頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三293、矢量場(chǎng)的通量

問題：如何定量描述矢量場(chǎng)的大小？引入通量的概念。

在討論矢量場(chǎng)通量之前，介紹有向面積元規(guī)定該面積元的正法線方向?yàn)橛邢蛎娣e元：對(duì)于封閉曲面，約定其外法線為正法線方向Sn面積元矢量通量的概念:與面積元的標(biāo)量積定義為矢量穿過面積元矢量的通量。第二十九頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三30

問題：矢量場(chǎng)穿過一有限大面積的通量：

其中：——面積元矢量；——面積元的法向單位矢量；——穿過面積元的通量；

如果曲面S是閉合的，則規(guī)定曲面法矢由閉合曲面內(nèi)指向外，矢量場(chǎng)對(duì)閉合曲面的通量是：第三十頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三31通過閉合曲面有凈的矢量線穿出有凈的矢量線進(jìn)入進(jìn)入與穿出閉合曲面的矢量線相等矢量場(chǎng)通過閉合曲面通量的三種可能結(jié)果

閉合曲面的通量從宏觀上建立了矢量場(chǎng)通過閉合曲面的通量與曲面內(nèi)產(chǎn)生矢量場(chǎng)的源的關(guān)系。通量的物理意義第三十一頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三324、矢量場(chǎng)的散度

為了定量研究場(chǎng)與源之間的關(guān)系，需建立場(chǎng)空間任意點(diǎn)（小體積元）的通量源與矢量場(chǎng)（小體積元曲面的通量）的關(guān)系。設(shè)想有一包圍P點(diǎn)的閉合曲面，逐漸縮小到P點(diǎn)附件，則閉合曲面所包圍的體積V逐漸減小，且矢量場(chǎng)穿過閉合曲面的通量也逐漸減少。但是在一般情況下，兩者之一有一極值。該極值與閉合曲面的形狀無(wú)關(guān)。定義：矢量場(chǎng)的散度等于該極值散度：第三十二頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三33意義：矢量場(chǎng)穿過包圍單位體積的閉合曲面的通量，又稱通量密度。

散度是矢量通過包含該點(diǎn)的任意閉合小曲面的通量與曲面元體積之比的極限。第三十三頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三345、散度定理（高斯定理）體積的剖分VS1S2en2en1S由散度定義：該式只對(duì)微小體積V->0成立。對(duì)于有限大體積V，分為許多小體積V1、V2……每一小體積有：+）…….左=右第三十四頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三35左：V為整個(gè)有限體積。右：面積之和

(1)V內(nèi)兩個(gè)相鄰小體積的分界面

(2)V的外表面得：高斯定理。

從散度的定義出發(fā)，可以得到矢量場(chǎng)在空間任意閉合曲面的通量等于該閉合曲面所包含體積中矢量場(chǎng)的散度的體積分，即

散度定理是閉合曲面積分與體積分之間的一個(gè)變換關(guān)系，在電磁理論中有著廣泛的應(yīng)用。第三十五頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三36直角坐標(biāo)系下散度表達(dá)式的推導(dǎo)

由此可知，穿出前、后兩側(cè)面的凈通量值為oxy在直角坐標(biāo)系中計(jì)算?·FzzDxDyDP

不失一般性，令包圍P點(diǎn)的微體積V為一直平行六面體，如圖所示。則直角坐標(biāo)系散度的表達(dá)式：第三十六頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三37根據(jù)定義，則得到直角坐標(biāo)系中的散度表達(dá)式為

同理，分析穿出另兩組側(cè)面的凈通量，并合成之，即得由點(diǎn)P穿出該六面體的凈通量為第三十七頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三38例：已知點(diǎn)電荷q所產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度，求其在任何一點(diǎn)M處的散度。解：可見，除點(diǎn)電荷q所在位置(r=0)外，電場(chǎng)的散度處處為0。第三十八頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三1.5矢量場(chǎng)的環(huán)流和旋度39矢量場(chǎng)的環(huán)流與旋渦源

例如：流速場(chǎng)

不是所有的矢量場(chǎng)都由通量源激發(fā)。存在另一類不同于通量源的矢量源，它所激發(fā)的矢量場(chǎng)的力線是閉合的，它對(duì)于任何閉合曲面的通量為零。但在場(chǎng)所定義的空間中閉合路徑的積分不為零。第三十九頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三40如果矢量場(chǎng)的任意閉合回路的環(huán)流恒為零，稱該矢量場(chǎng)為無(wú)旋場(chǎng)，又稱為保守場(chǎng)。如果矢量場(chǎng)對(duì)于任何閉合曲線的環(huán)流不為零，稱該矢量場(chǎng)為有旋矢量場(chǎng)，能夠激發(fā)有旋矢量場(chǎng)的源稱為旋渦源。電流是磁場(chǎng)的旋渦源。環(huán)流的概念

矢量場(chǎng)對(duì)于閉合曲線C的環(huán)流定義為該矢量對(duì)閉合曲線C的線積分，即第四十頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三41

過點(diǎn)M作一微小曲面S，它的邊界曲線記為C，曲面的法線方向n與曲線的繞向成右手螺旋法則。當(dāng)S0時(shí)，極限稱為矢量場(chǎng)在點(diǎn)M處沿方向n的環(huán)流面密度。

矢量場(chǎng)的環(huán)流給出了矢量場(chǎng)與積分回路所圍曲面內(nèi)旋渦源的宏觀聯(lián)系。為了給出空間任意點(diǎn)矢量場(chǎng)與旋渦源的關(guān)系，引入矢量場(chǎng)的旋度。

特點(diǎn)：其值與點(diǎn)M處的方向n有關(guān)。2、矢量場(chǎng)的旋度（）

（1）環(huán)流面密度第四十一頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三42而

推導(dǎo)

的示意圖如圖所示。oyDz

DyCMzx1234計(jì)算的示意圖

直角坐標(biāo)系中、、的表達(dá)式第四十二頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三43于是

同理可得故得概念：矢量場(chǎng)在M點(diǎn)處的旋度為一矢量，其數(shù)值為M點(diǎn)的環(huán)流面密度最大值，其方向?yàn)槿〉铆h(huán)量密度最大值時(shí)面積元的法線方向，即物理意義：旋渦源密度矢量。性質(zhì)：（2）矢量場(chǎng)的旋度第四十三頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三旋度的計(jì)算公式:直角坐標(biāo)系第四十四頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三45旋度的有關(guān)公式：矢量場(chǎng)的旋度的散度恒為零標(biāo)量場(chǎng)的梯度的旋度恒為零第四十五頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三463、Stokes定理Stokes定理是閉合曲線積分與曲面積分之間的一個(gè)變換關(guān)系式，也在電磁理論中有廣泛的應(yīng)用。曲面的剖分方向相反大小相等結(jié)果抵消

從旋度的定義出發(fā)，可以得到矢量場(chǎng)沿任意閉合曲線的環(huán)流等于矢量場(chǎng)的旋度在該閉合曲線所圍的曲面的通量，即第四十六頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三474、散度和旋度的區(qū)別

第四十七頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三481、矢量場(chǎng)的源散度源：是標(biāo)量，產(chǎn)生的矢量場(chǎng)在包圍源的封閉面上的通量等于（或正比于）該封閉面內(nèi)所包圍的源的總和，源在一給定點(diǎn)的（體）密度等于（或正比于）矢量場(chǎng)在該點(diǎn)的散度；

旋度源：是矢量，產(chǎn)生的矢量場(chǎng)具有渦旋性質(zhì)，穿過一曲面的旋度源等于（或正比于）沿此曲面邊界的閉合回路的環(huán)量，在給定點(diǎn)上，這種源的（面）密度等于（或正比于）矢量場(chǎng)在該點(diǎn)的旋度。1.6無(wú)旋場(chǎng)與無(wú)散場(chǎng)第四十八頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三492、矢量場(chǎng)按源的分類（1）無(wú)旋場(chǎng)性質(zhì)：，線積分與路徑無(wú)關(guān)，是保守場(chǎng)。僅有散度源而無(wú)旋度源的矢量場(chǎng)，無(wú)旋場(chǎng)可以用標(biāo)量場(chǎng)的梯度表示為例如：靜電場(chǎng)第四十九頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三50（2）無(wú)散場(chǎng)僅有旋度源而無(wú)散度源的矢量場(chǎng)，即性質(zhì)：無(wú)散場(chǎng)可以表示為另一個(gè)矢量場(chǎng)的旋度例如，恒定磁場(chǎng)第五十頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三51（3）無(wú)旋、無(wú)散場(chǎng)（源在所討論的區(qū)域之外）（4）有散、有旋場(chǎng)這樣的場(chǎng)可分解為兩部分：無(wú)旋場(chǎng)部分和無(wú)散場(chǎng)部分無(wú)旋場(chǎng)部分無(wú)散場(chǎng)部分第五十一頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三1.7拉普拉斯運(yùn)算與格林定理

1、拉普拉斯運(yùn)算

標(biāo)量拉普拉斯運(yùn)算概念：——拉普拉斯算符直角坐標(biāo)系計(jì)算公式：第五十二頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三53

矢量拉普拉斯運(yùn)算概念：即注意：對(duì)于非直角分量，直角坐標(biāo)系中：如：第五十三頁(yè)，共五十八頁(yè)，編輯于2023年，星期三542.格林定理

設(shè)任意兩個(gè)標(biāo)量場(chǎng)

及，若在區(qū)域V中具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，那么，可以證明該兩個(gè)標(biāo)量場(chǎng)

及

滿足下列等式。

根據(jù)方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系，上式又可寫成式中S

為包圍V的閉合曲面，為標(biāo)量場(chǎng)

在S表面的外法線en

方向