直線的方程兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式

直線的方程兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式第一頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三名稱方程適用范圍斜截式不能表示垂直于x軸的直線點(diǎn)斜式不能表示垂直于x軸的直線兩點(diǎn)式不能表示垂直于坐標(biāo)軸的直線截距式不能表示垂直于坐標(biāo)軸及過原點(diǎn)的直線一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)能表示平面上任何直線y＝kx＋by－y1＝k(x－x1)提示：截距和距離的區(qū)別：截距可為一切實(shí)數(shù)，縱截距是直線與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，橫截距是直線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；距離是一個(gè)非負(fù)數(shù)．第二頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式若點(diǎn)P1，P2的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)且線段P1P2的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，則x＝

且y＝

.

直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組

的.2．解3．第三頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三距離公式(1)兩點(diǎn)間的距離公式：已知點(diǎn)A(x1，y1)、B(x2，y2)，|AB|＝

；(2)點(diǎn)到直線的距離公式：已知點(diǎn)P(x0，y0)，直線l：Ax＋By＋C＝0，則d＝

；(3)兩平行線間的距離公式：已知直線l1：Ax＋By＋C1＝0，直

線l2：Ax＋By＋C2＝0，則d＝

.4．第四頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三【思考】

在應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離公式與兩條平行線間的距離公式時(shí)應(yīng)注意什么問題？答案：(1)求點(diǎn)到直線的距離時(shí)，直線方程要化為一般式；(2)求兩條平行線間的距離時(shí)，必須將兩直線方程化為系數(shù)相同的一般形式后，才能套用公式計(jì)算．第五頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三1．過點(diǎn)(1，－1)和(0，－3)的直線在y軸上的截距為(

) A． B. C．3 D．－3 解析：由斜率公式求得k＝2，∴直線方程為：y＋3＝2x 令x＝0，∴y＝－3. 答案：D第六頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三若三條直線2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋ky＋k＋＝0相交于一點(diǎn)，則k等于(

)解析：由

得(－1，－2)，代入x＋ky＋k＋得k＝－答案：B2．第七頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三已知點(diǎn)A(1,2)、B(3,1)，則線段AB的垂直平分線的方程為(

)A．4x＋2y＝5 B．4x－2y＝5C．x＋2y＝5 D．x－2y＝5解析：kAB＝

則線段AB的垂直平分線的斜率k＝2，又線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為

則線段AB的垂直平分線方程為y－＝2(x－2)，即4x－2y＝5.答案：B3．第八頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三已知點(diǎn)(a,2)(a＜0)到直線l：x－y＋1＝0的距離為2，則a等于________．解析：由點(diǎn)到直線的距離公式得：∴|a－1|＝2，又a＜0，∴a＝1－2答案：1－24．第九頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三確定一條直線需要兩個(gè)獨(dú)立條件，故求直線方程時(shí)就應(yīng)圍繞如何根據(jù)已知條件確定或找出能確定直線方程的兩個(gè)條件，從而達(dá)到求出直線方程的目的．一般地，已知直線過一點(diǎn)，一般考慮點(diǎn)斜式或斜截式；已知直線過兩點(diǎn)，一般考慮兩點(diǎn)式；已知直線與兩坐標(biāo)軸相交得到的三角形的相關(guān)條件，一般考慮截距式；若已知一條非具體的直線，一般考慮一般式．第十頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三求經(jīng)過點(diǎn)P(3,2)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程．思維點(diǎn)撥：選擇截距式和斜截式均可．解：解法一：設(shè)直線l在x，y軸上的截距均為a，若a＝0，即l過點(diǎn)(0,0)和(3,2)，∴l(xiāng)的方程為y＝即2x－3y＝0.若a≠0，則設(shè)l的方程為∵l過點(diǎn)P(3,2)，∴∴a＝5，∴l(xiāng)的方程為x＋y－5＝0，綜上可知，直線l的方程為2x－3y＝0或x＋y－5＝0.【例1】第十一頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三解法二：由題意，所求直線的斜率存在且k≠0，設(shè)直線方程為y－2＝k

(x－3)，令y＝0，得x＝3－，令x＝0，得y＝2－3k，由已知3－＝2－3k，解得k＝－1或k＝∴直線l的方程為：y－2＝－(x－3)或y－2＝(x－3)．即x＋y－5＝0或2x－3y＝0.第十二頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三求經(jīng)過點(diǎn)A(1,2)，并且在兩個(gè)坐標(biāo)軸上的截距的絕對值相等的直線方程．解：當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，截距相等且均為零截距，∴直線方程為y＝2x.當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，可設(shè)方程為：＝1，將(1,2)代入可求得a＝3或a＝－1，∴直線方程為x＋y＝3或x－y＝－1.故所求直線方程為2x－y＝0或x＋y－3＝0或x－y＋1＝0.拓展1：第十三頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三求直線的方程，要善于根據(jù)條件，合理選用直線方程的形式，用待定系數(shù)法確定其中的參數(shù)，待定系數(shù)法求直線方程的步驟：①設(shè)出所求直線方程；②由條件建立所求參數(shù)的方程(組)；③解這個(gè)方程(組)求出參數(shù)；④把參數(shù)的值代入所設(shè)的方程．第十四頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三直線l經(jīng)過點(diǎn)P(3,2)且與x，y軸的正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)，△OAB的面積為12，求直線l的方程．思維點(diǎn)撥：題中△OAB的面積與截距有關(guān)，自然聯(lián)想到直線方程的截距式．【例2】解：解法一：設(shè)直線l的方程為＝1(a>0，b>0)，∴A(a,0)，B(0，b)，∴∴所求直線l的方程為

＝1，即2x＋3y－12＝0.第十五頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三解法二：設(shè)直線l的方程為y－2＝k

(x－3)，令y＝0，得直線l在x軸的正半軸上的截距a＝3－令x＝0，得直線l在y軸的正半軸上的截距b＝2－3k，∴ (2－3k)＝24，解得k＝－∴所求直線l的方程為y－2＝－(x－3)，即2x＋3y－12＝0.第十六頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三一條直線l過點(diǎn)P(1,4)，且分別交x軸，y軸的正半軸于A、B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，求△AOB的面積最小時(shí)直線l的方程．解：設(shè)直線l：＝1(a，b>0)．因?yàn)辄c(diǎn)P(1,4)在l上，所以

＝1.由1＝所以S△AOB＝ab≥8.當(dāng)

即a＝2，b＝8時(shí)取等號(hào)，且此時(shí)△AOB的面積最小．故4x＋y－8＝0為所求直線l的方程.變式2：第十七頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離公式和兩平行線的距離公式處理問題時(shí)，直線方程應(yīng)化為一般式，特別是兩平行線距離公式中x、y系數(shù)必須相等．過點(diǎn)P(－1,2)引一直線，使它與兩點(diǎn)A(2,3)，B(－4,5)的距離相等，求這條直線方程．【例3】第十八頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三解：解法一：設(shè)直線l的方程為y－2＝k

(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.由題意知即|3k－1|＝|－3k－3|，∴k＝－

∴直線l的方程為y－2＝－

即x＋3y－5＝0.當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線方程為x＝－1，也適合題意．故所求直線方程為x＋3y－5＝0或x＝－1.解法二：當(dāng)AB∥l時(shí)，有k＝kAB＝－直線l的方程為y－2＝－

即x＋3y－5＝0.當(dāng)l過AB中點(diǎn)時(shí)，AB中點(diǎn)為(－1,4)．∴直線AB方程為x＝－1，故所求直線l的方程為x＋3y－5＝0，或x＝－1.第十九頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三在對稱問題中，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱是最基本也是最重要的對稱，處理這種問題關(guān)鍵是抓住垂直與平分兩個(gè)幾何條件，轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系列方程求解；也可以先求出過點(diǎn)A與l垂直的直線方程，再求中點(diǎn)坐標(biāo)，處理線關(guān)于線的對稱可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對稱問題來解決；直線關(guān)于點(diǎn)的對稱都可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱來處理，結(jié)合“代入法”求軌跡方程的思想方法解題也是這類問題的一個(gè)通法．第二十頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三求直線l1：y＝2x＋3關(guān)于直線l：y＝x＋1對稱的直線l2的方程．思維點(diǎn)撥：轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對稱，利用方程組求解．解：解法一：由

知直線l1與l的交點(diǎn)坐標(biāo)為(－2，－1)，∴設(shè)直線l2的方程為y＋1＝k

(x＋2)，即kx－y＋2k－1＝0.在直線l上任取一點(diǎn)(1,2)，由題設(shè)知點(diǎn)(1,2)到直線l1、l2的距離相等，由點(diǎn)到直線的距離公式得解得k＝(k＝2舍去)，∴直線l2的方程為x－2y＝0.【例4】第二十一頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三解法二：設(shè)所求直線上一點(diǎn)P(x，y)，則在直線l1上必存在一點(diǎn)P1(x0，y0)與點(diǎn)P關(guān)于直線l對稱．由題設(shè)：直線PP1與直線l垂直，且線段PP1的中點(diǎn)P2在直線l上．代入直線l1：y＝2x＋3，得x＋1＝2×(y－1)＋3，整理得x－2y＝0.所以所求直線方程為x－2y＝0.第二十二頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三【方法規(guī)律】1．直線一定有傾斜角，但不一定都存在斜率；因此在求直線方程時(shí)，一 定要判斷所求直線是否存在斜率，若斜率存在時(shí)再選擇適當(dāng)?shù)姆匠绦问?求直線方程．2．求直線方程中一種重要的方法就是先設(shè)直線方程，再求直線方程中的 系數(shù)，這種方法叫待定系數(shù)法．3．重視軌跡法求直線方程的方法，即在所求直線上設(shè)一任意點(diǎn)P(x，y)， 再找出x，y的一次關(guān)系式，例如求直線關(guān)于點(diǎn)對稱的直線方程、求直線關(guān) 于直線對稱的直線方程就可用軌跡法來求.第二十三頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三【高考真題】(2009·全國Ⅰ卷)若直線m被兩平行線l1：x－y＋1＝0與l2：x－y＋3＝0所截得的線段的長為2則m的傾斜角可以是①15°

②30°

③45°

④60°

⑤75°其中正確答案的序號(hào)是

．(寫出所有正確答案的序號(hào))第二十四頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三【規(guī)范解答】解析：兩平行線間的距離為d＝

如圖所示，可知直線m與l1、l2的夾角為30°，l1、l2的傾斜角為45°，所以直線m的傾斜角等于30°＋45°＝75°或45°－30°＝15°.故填①⑤.答案：①⑤點(diǎn)評：最常出現(xiàn)的錯(cuò)誤就是漏解．第二十五頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三【探究與研究】本題的目的是考查考生利用直線的斜率、直線的傾斜角、兩條平行線間的距離等基礎(chǔ)知識(shí)靈活解決問題的能力及數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用．第二十六頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期三該類問題的一般解決方法是通過數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為兩直線的夾角問題．如圖所示，設(shè)直線m被