直線與平面垂直的判定典型

直線與平面垂直的判定典型課件第一頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三生活中有很多直線與平面垂直的實(shí)例，你能舉出幾個嗎？實(shí)例引入旗桿與底面垂直第二頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三思考.陽光下直立于地面的旗桿及它在地面的影子有何位置關(guān)系.ABα1.旗桿所在的直線始終與影子所在的直線垂直.C1B1C2.直線AB垂直于平面內(nèi)的任意一條直線．第三頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三如果直線l與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們說直線l與平面互相垂直，記作．平面的垂線直線l的垂面垂足定義直線與平面垂直第四頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三線面垂直的定義常這樣使用簡記：線面垂直，則線線垂直l^a第五頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的一條直線，那么這條直線是否與這個平面垂直？不一定兩條呢？無數(shù)條呢？第六頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三問題直線與平面垂直除定義外，如何判斷一條直線與平面垂直呢？第七頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三準(zhǔn)備一塊三角形紙片,過△ABC的頂點(diǎn)A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌上（BD、DC與桌面接觸）.ABCD思考

(1)折痕AD與桌面垂直嗎？(2)如何翻折才能保證折痕AD與桌面所在平面垂直？第八頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三BDCABD,CD都在桌面內(nèi)，AD⊥CD,AD⊥BD,BD∩CD=D，直線AD所在的直線與桌面垂直mnP第九頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三判定定理:一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直．作用：判定直線與平面垂直直線與平面垂直判定定理簡記為：線線垂直線面垂直第十頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三例1求證：如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面.已知：a//b，a求證:bab證明：設(shè)m是內(nèi)的任意一條直線m可作定理使用第十一頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三如圖，直四棱柱（側(cè)棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱）中，底面四邊形滿足什么條件時，？底面四邊形對角線相互垂直．探究隨堂練習(xí)第十二頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三線面垂直判定定理的應(yīng)用

例1：已知：如圖1，空間四邊形ABCD中，AB＝AC，DB＝DC，取BC中點(diǎn)E，連接AE、DE，求證：BC⊥平面AED.圖1

證明：∵AB＝AC，DB＝DC，E為BC中點(diǎn)， ∴AE⊥BC，DE⊥BC.

又∵AE∩DE=E，∴BC⊥平面AED.第十三頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三PABCO2.如圖，圓O所在一平面為，AB是圓O的直徑，C在圓周上,且PAAC,PAAB,求證：（1）PABC（2）BC平面PAC第十四頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三證明：∵PA⊥⊙O所在平面，BC?⊙O所在平面，∴PA⊥BC，∵AB為⊙O直徑，∴AC⊥BC，又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，又AE?平面PAC，∴BC⊥AE，∵AE⊥PC,PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC.

例3：如圖6，已知PA⊥⊙O所在平面，AB為⊙O直徑，C是圓周上任一點(diǎn)，過A作AE⊥PC于E，求證：AE⊥平面PBC.

圖6第十五頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三VABC.DVA=VC，AB=BC,ABCV-求證:VB⊥AC.中，在三棱錐1.如圖，提示：找AC中點(diǎn)D,連接VD,BD第十六頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三2.已知：正方體中，AC是面對角線，BD′是與AC異面的體對角線.求證：AC⊥BD′ABDCA′B′CD′′第十七頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三∵正方體ABCD-A′B′C′D′∴DD′⊥正方形ABCD∴DD′⊥AC證明：連接BDABDCA′B′C′D′∵AC、BD為對角線∴AC⊥BD∵DD′∩BD=D∴AC⊥平面D′DB且BD′?面D′DB∴AC⊥BD′

第十八頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三OPAα斜線斜足線面所成角（銳角∠PAO）射影關(guān)鍵：過斜線上一點(diǎn)作平面的垂線線面所成的角第十九頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三斜線和平面所成的角1、直線和平面垂直<＝>直線和平面所成的角是直角直線和平面平行或在平面內(nèi)<＝>直線和平面所成的角是0°2、直線與平面所成的角θ的取值范圍是：___________第二十頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三1.如圖：正方體ABCD-A1B1C1D1中，求:A1C1與面BB1D1D所成的角。A1D1C1B1ADCB45o第二十一頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三2、在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求直線A1B和平面A1B1CD所成的角O第二十二頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三第二十三頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三求直線和平面所成的角，當(dāng)直線和平面斜交時，常有以下步驟：①作——作出或找到斜線與射影所成的角；②證——論證所作或找到的角為所求的角；③算——常用解三角形的方法求角；④結(jié)論——說明斜線和平面所成的角值．第二十四頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三圖5

1.如圖5，在長方體ABCD－A1B1C1D1

中，AB＝BC＝2，AA1＝1，則AC1

與平面A1B1C1D1

所成角的正弦值為(

)第二十五頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三A2.若斜線段AB是它在平面α內(nèi)的射影長的2倍，則AB與α所成的角為()A．60°B．45°C．30°D．120°答案：D

解析：如圖22，連接A1C1

，則∠AC1A1

為AC1

與平面A1B1C1D1

所成角．圖22第二十六頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三(1)若兩直線a與b異面，則過a且與b垂直的平面（）A．有且只有一個B．可能存在也可能不存在C．有無數(shù)多個D．—定不存在

(2)正方形ABCD，P是正方形平面外的一點(diǎn)，且PA⊥平面ABCD，則在△PAB、△PBC、△PCD、△PAD、△PAC及△PBD中，為直角三角形有______個B課堂練習(xí)5第二十七頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三1．直線與平面垂直的概念（1）利用定義；（2）利用判定定理．3．?dāng)?shù)學(xué)思想方法：轉(zhuǎn)化的思想空間問題平面問題知識小結(jié)2．直線與平面垂直的判定線線垂直線面垂直垂直與平面內(nèi)任意一條直線（3）如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于同一個平面4．直線與平面所成的角.第二十八頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三P為△ABC所在平面外一點(diǎn)，O為P在平面ABC上的射影(2)若PA＝PB＝PC，則O是△ABC的_____；(3)若PA⊥BC，PB⊥AC，則O是△ABC的_____；(4)若P到△ABC三邊的距離相等，且O在△ABC內(nèi)部，則O是△ABC的______；(5)若PA、PB、PC兩兩互相垂直，則O是△ABC的_____．外心垂心內(nèi)心垂心中第二十九頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三

解析：(2)如圖23，∵PO⊥平面ABC， ∴PA、PB、PC在平面ABC上的射影分別是OA、OB、OC.又∵PA＝PB＝PC，∴OA＝OB＝OC.∴O是△ABC的外心．圖23圖24(3)如圖24，∵PO⊥平面ABC，∴PA在平面ABC上的射影是OA.∵BC⊥PA，∴BC⊥OA.同理可證AC⊥OB，∴O是△ABC的垂心．第三十頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三(4)如圖25，圖25P到△ABC三邊的距離分別是PD、PE、PF，則PD＝PE＝PF.∵PO⊥平面ABC，∴PD、PE、PF在平面ABC上的射影分別是OD、OE、OF.∴OD＝OE＝OF，且OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC.∴O是△ABC的內(nèi)心．第三十一頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三∵PO⊥平面ABC，∴OA是PA在平面ABC上的射影．又∵PA⊥PB，PA