線性代數(shù)第十五講

線性代數(shù)第十五講第一頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三定理2：向量組能由向量組線性表示既可理解為矩陣的秩,也可理解成向量組的秩.定理3第二頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三定理3:若向量組B能由向量組A線性表示，則RBRA.根據(jù)定理3,有故rs。等價(jià)的向量組的秩相等。推論問：反之是否成立？例2第三頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三例3：結(jié)論例相關(guān)第四頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三例4解第五頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三第六頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三故結(jié)論：矩陣的初等行（列）變換不改變矩陣的列（行）向量組之間的線性關(guān)系。第七頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三１．最大線性無關(guān)向量組的概念：最大性、線性無關(guān)性．２．矩陣的秩與向量組的秩的關(guān)系：矩陣的秩＝矩陣列向量組的秩＝矩陣行向量組的秩３．關(guān)于向量組秩的一些結(jié)論：一個(gè)定理、三個(gè)推論．４．求向量組的秩以及最大無關(guān)組的方法：將向量組中的向量作為列向量構(gòu)成一個(gè)矩陣，然后進(jìn)行初等行變換．四、小結(jié)第八頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三思考題判斷正確與否：第九頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三第四節(jié)線性方程組的解的結(jié)構(gòu)齊次線性方程組解的性質(zhì)基礎(chǔ)解系及其求法非齊次線性方程組解的性質(zhì)例題詳解小結(jié)第十頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三兩個(gè)重要定理：(1)n元齊次線性方程組Ax=0有非零解R(A)<n;(2)n元非齊次線性方程組Ax=b有解R(A)=R(A,b)當(dāng)R(A)=R(B)=n時(shí)，方程組有唯一解；當(dāng)R(A)=R(B)=r<n時(shí)，方程組有無限多個(gè)解。１．解向量的概念設(shè)有齊次線性方程組一、齊次線性方程組解的性質(zhì)矩陣方程第十一頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三稱為方程組(1)的解向量,它也就是向量方程(2)的解．第十二頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三２．齊次線性方程組解的性質(zhì)證明性質(zhì)1：性質(zhì)2：證明證畢.第十三頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三１．基礎(chǔ)解系的定義二、基礎(chǔ)解系及其求法齊次線性方程組的解集的最大無關(guān)組稱為該齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系。第十四頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三２．齊次線性方程組基礎(chǔ)解系的求法第十五頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三上式記作：第十六頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三說明定理7：第十七頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三現(xiàn)對(duì)取下列組數(shù)：依次得合起來便得基礎(chǔ)解系：第十八頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三幾何意義解：第十九頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三第二十頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三第二十一頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三例1

求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系與通解.解對(duì)系數(shù)矩陣A作初等行變換,變?yōu)樾凶詈喰尉仃?有第二十二頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三第二十三頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三例2證明故第二十四頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三證明例3證明：第二十五頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三例4證明).()(ARAART=

因此第二十六頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三練習(xí)

求解線性方程組故原方程組的通解為基礎(chǔ)解系為第二十七頁，共三十頁，編輯于2023年，星期三練習(xí)：設(shè)有齊次線性方程組Ax=0與Bx=0，其中A,B均為mn矩陣，現(xiàn)有4個(gè)命題：若Ax=0的解均是Bx=0的解，則R(A)R(B);若R(A)R(B)，則Ax=0的解均是Bx=0的解；若Ax=0與Bx=0同解，則R(A)=R(B)；若R(A)=R(B)，則Ax=0與Bx=0同解以上命題中正確的是[](A)a,b(B)a,c(C)b,d(D)c,d第二十八頁，共三十