廣東省云浮市云硫第一中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析

廣東省云浮市云硫第一中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知在三棱錐P﹣ABC中，PA=PB=BC=1，AB=，AB⊥BC，平面PAB⊥平面ABC，若三棱錐的頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則該球的表面積是（）A．π B．3π C． D．2π參考答案：B【考點(diǎn)】球的體積和表面積．【分析】求出P到平面ABC的距離為，AC為截面圓的直徑，AC=，由勾股定理可得R2=（）2+d2=（）2+（﹣d）2，求出R，即可求出球的表面積．【解答】解：由題意，AC為截面圓的直徑，AC=，設(shè)球心到平面ABC的距離為d，球的半徑為R，∵PA=PB=1，AB=，∴PA⊥PB，∵平面PAB⊥平面ABC，∴P到平面ABC的距離為．由勾股定理可得R2=（）2+d2=（）2+（﹣d）2，∴d=0，R2=，∴球的表面積為4πR2=3π．故選：B．2.正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，對(duì)角線(xiàn)BD1=8，BD1與側(cè)面BC1所成的角為30°，則平面BC1D1和平面ABB1A1所成的角正弦值為

A．

B．

C．

D．參考答案：B3.已知函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率為3，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的值為A．

B．

C．

D．參考答案：C4.的三個(gè)內(nèi)角對(duì)應(yīng)的邊分別，且成等差數(shù)列，則角等于（

）A.

B.

C.

D.

參考答案：B5.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（

）A．52

B．78

C．104

D．208參考答案：C

考點(diǎn)：等差數(shù)列性質(zhì)【思路點(diǎn)睛】等差、等比數(shù)列的性質(zhì)是兩種數(shù)列基本規(guī)律的深刻體現(xiàn)，是解決等差、等比數(shù)列問(wèn)題既快捷又方便的工具，應(yīng)有意識(shí)地去應(yīng)用.但在應(yīng)用性質(zhì)時(shí)要注意性質(zhì)的前提條件，有時(shí)需要進(jìn)行適當(dāng)變形.在解決等差、等比數(shù)列的運(yùn)算問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常采用“巧用性質(zhì)、整體考慮、減少運(yùn)算量”的方法.6.已知數(shù)列{an}是公比為2的等比數(shù)列，且滿(mǎn)足，則a4的值為（） A．2 B．4 C．8 D．16參考答案：C【考點(diǎn)】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式． 【專(zhuān)題】等差數(shù)列與等比數(shù)列． 【分析】由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式先求出首項(xiàng)，由此能求出a4的值． 【解答】解：∵數(shù)列{an}是公比為2的等比數(shù)列，且滿(mǎn)足， ∴=0，解得a1=1， ∴a4=1×23=8． 故選：C． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列中第4項(xiàng)的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用． 7.已知函數(shù)，的零點(diǎn)分別為，則，的大小關(guān)系是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A8.下列命題為真命題的是A、命題“若x＞y，則x＞”的逆命題B、命題“若x＞1，則”的否命題C、命題“若x=1，則”的否命題D、命題“若x(x﹣1)＞0，則x＞1”的逆否命題參考答案：A略9.設(shè)復(fù)數(shù)=1+i，則=（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【分析】把已知等式變形，然后利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)求得z，則可求．【解答】解：∵=1+i，∴，則．故選：A．10.已知記，要得到函數(shù)

的圖象，只需將函數(shù)的圖象（

）

A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度

C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)a，b，c∈{1，2，3，4，5，6}，若以a，b，c為三條邊的長(zhǎng)可以構(gòu)成一個(gè)等腰（含等邊）三角形，則這樣的三角形有個(gè)．參考答案：27【考點(diǎn)】D3：計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用．【分析】先考慮等邊三角形情況，則a=b=c=1，2，3，4，5，6，此時(shí)n有6個(gè)，再考慮等腰三角形情況，若a，b是腰，則a=b，列舉出所有的情況，注意去掉不能構(gòu)成三角形的結(jié)果，求和得到結(jié)果．【解答】解：由題意知以a、b、c為三條邊的長(zhǎng)可以構(gòu)成一個(gè)等腰（含等邊）三角形，先考慮等邊三角形情況則a=b=c=1，2，3，4，5，6，此時(shí)n有6個(gè)再考慮等腰三角形情況，若a，b是腰，則a=b當(dāng)a=b=1時(shí)，c＜a+b=2，則c=1，與等邊三角形情況重復(fù)；當(dāng)a=b=2時(shí)，c＜4，則c=1，3（c=2的情況等邊三角形已經(jīng)討論了），此時(shí)n有2個(gè)；當(dāng)a=b=3時(shí)，c＜6，則c=1，2，4，5，此時(shí)n有4個(gè)；當(dāng)a=b=4時(shí)，c＜8，則c=1，2，3，5，6，有5個(gè)；當(dāng)a=b=5時(shí)，c＜10，有c=1，2，3，4，6，有5個(gè)；當(dāng)a=b=6時(shí)，c＜12，有c=1，2，3，4，5，有5個(gè)；由加法原理知n有2+4+5+5+5+6=27個(gè)，故答案為27．12.（幾何證明選講選做題）如圖所示，圓Ｏ的直徑為６，Ｃ為圓周上一點(diǎn)。ＢＣ＝３，過(guò)Ｃ作圓的切線(xiàn)ｌ，過(guò)Ａ作ｌ的垂線(xiàn)ＡＤ，垂足為Ｄ，則∠ＤＡＣ＝______；線(xiàn)段AE的長(zhǎng)為_(kāi)______。參考答案：答案：；3。解析：由RtACB的各邊的長(zhǎng)度關(guān)系知∠CAB=30,而弦切角∠BC=∠CAB=30。那么在RtADC中∠ACD=60，故∠DAC=30。注意到OC⊥，從而有EAOC為菱形，故AE=3。13.已知關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)根分別為，且，則的取值范圍是

參考答案：

14.設(shè)等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，公比為，前項(xiàng)和為．若對(duì)，有，則的取值范圍是

。參考答案：略15.已知?jiǎng)狱c(diǎn)在橢圓＋＝1上，若A點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,0)，，且，則的最小值為_(kāi)_______。參考答案：16.正三棱錐的一個(gè)側(cè)面的面積與底面面積之比為2：3，則這個(gè)三棱錐的側(cè)面和底面所成二面角的度數(shù)為

。參考答案：17.已知是定義在上的奇函數(shù)。當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集用區(qū)間表示為

▲

參考答案：因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以易知時(shí)，解不等式得到的解集用區(qū)間表示為三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知f（x）=mx﹣lnx（0＜x≤e），g（x）=，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，m∈R．（1）當(dāng)m=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）求證：當(dāng)m=1時(shí)，f（x）＞g（x）+1﹣；（3）是否存在實(shí)數(shù)m，使f（x）的最小值是2？若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【專(zhuān)題】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（1）將m=1代入求出f（x）的解析式，求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）令h（x）=g（x）+1﹣=+1﹣，求出h（x）的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出h（x）的最大值，從而證出結(jié)論；（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)m，求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，求出函數(shù)f（x）的最小值，進(jìn)而求出m的值．【解答】解：（1）∵f（x）=x﹣lnx，∴f′（x）=1﹣=，（0＜x≤e），由f′（x）＞0得1＜x＜e，由f′（x）＜0，得：0＜x＜1，∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，），單調(diào)遞增區(qū)間為（1，e），∴f（x）的極小值為f（1）=1；（2）由（1）知f（x）的極小值為1，也就是f（x）在（0，e]上的最小值為1，令h（x）=g（x）+1﹣=+1﹣，h′（x）=，當(dāng)0＜x＜e時(shí)，h′（x）＞0，所以h（x）在（0，e]上單調(diào)遞增，∴h（x）max=h（e）=+1﹣=1，∵h(yuǎn)（x）max=h（e）=1與f（x）min=f（1）=1不同時(shí)取到，∴f（x）＞h（x），即f（x）＞g（x）+1﹣；（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)m，使f（x）=mx﹣lnx（x∈（0，e]）有最小值2，f′（x）=m﹣=，①當(dāng)m≤0時(shí)，f（x）在（0，e]上單調(diào)遞減，f（x）min=f（e）=me﹣1=2，解得m=＞0，舍去；②當(dāng)0＜＜e時(shí)，因?yàn)閒（x）在（0，）上單調(diào)遞減，在（，e]上單調(diào)遞增，所以f（x）min=f（）=1+lnm=2，解得m=e，滿(mǎn)足條件；③當(dāng)≥e時(shí)，因?yàn)閒（x）在（0，e]上單調(diào)遞減，所以f（x）min=f（e）=me﹣1=2，解得m=，不滿(mǎn)足≥e，舍去，綜上，存在實(shí)數(shù)m=e，使得當(dāng)x∈（0，e]時(shí)f（x）有最小值2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，不等式的證明，考查轉(zhuǎn)化思想，分類(lèi)討論思想，是一道中檔題．19.（本小題滿(mǎn)分10分）選修4-1:幾何證明選講如圖，過(guò)圓O外一點(diǎn)P分別作圓O的切線(xiàn)PA和割線(xiàn)PBC，其中A為切點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作PC的平行線(xiàn)交圓O于點(diǎn)D，BD的延長(zhǎng)線(xiàn)交直線(xiàn)PA于點(diǎn)Q．（1）求證：AB2=PB?AD；（2）若PA=2AQ，AD=，QD=2．求PC的長(zhǎng)．

參考答案：（1）見(jiàn)解析（2）【知識(shí)點(diǎn)】與圓有關(guān)的比例線(xiàn)段．N1解析：（1）證明：∵PO是圓O的切線(xiàn)，AD∥PB，∴∠PAB=∠BDA，∠APB=∠QAD=∠DBA，∴△PAB∽△BDA．∴，∴AB2=PB?AD；（2）解：∵AD∥PB，PA=2AQ，∴=∵AD=，QD=2，∴PB=3，QB=6．∵PO是圓O的切線(xiàn)，PA=2AQ，∴PB?PC=PA2=4QA2=QD?QB，∴PC==．【思路點(diǎn)撥】（1）證明△PAB∽△BDA，可得AB2=PB?AD；（2）利用PO是圓O的切線(xiàn)，PA=2AQ，可得PB?PC=PA2=4QA2=QD?QB，結(jié)合AD=，QD=2，求PC的長(zhǎng)．20.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為．（1）求直線(xiàn)l的普通方程及曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C交于A，B兩點(diǎn)，求線(xiàn)段AB的中點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離．參考答案：（1），；（2）．（1）將代入，整理得，所以直線(xiàn)的普通方程為．由得，將，代入，得，即曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為．（2）設(shè)，的參數(shù)分別為，．將直線(xiàn)的參數(shù)方程代入曲線(xiàn)的角坐標(biāo)方程得，化簡(jiǎn)得，由韋達(dá)定理得，于是．設(shè)，則，即．所以點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為．21.（14分）如圖，在四棱錐E﹣ABCD中，平面EAB⊥平面ABCD，四邊形ABCD為矩形，EA⊥EB，點(diǎn)M，N分別是AE，CD的中點(diǎn)．求證：（1）直線(xiàn)MN∥平面EBC；（2）直線(xiàn)EA⊥平面EBC．參考答案：【考點(diǎn)】直線(xiàn)與平面平行的判定；直線(xiàn)與平面垂直的判定．【分析】（1）取BE中點(diǎn)F，連結(jié)CF，MF，證明四邊形MNCF是平行四邊形，所以MN∥CF，即可證明直線(xiàn)MN∥平面EBC；（2）證明BC⊥平面EAB，得到BC⊥EA，又EA⊥EB，BC∩EB=B，EB，BC?平面EBC，即可證明直線(xiàn)EA⊥平面EBC．【解答】證明：（1）取BE中點(diǎn)F，連結(jié)CF，MF，又M是AE的中點(diǎn)，所以MF=AB，又N是矩形ABCD邊CD的中點(diǎn)，所以NC=AB，所以MF平行且等于NC，所以四邊形MNCF是平行四邊形，…（4分）所以MN∥CF，又MN?平面EBC，CF?平面EBC，所以MN∥平面EBC．…（7分）（2）在矩形ABCD中，BC⊥AB，又平面EAB⊥平面ABCD，平面ABCD∩平面EAB=AB，BC?平面ABCD，所以BC⊥平面EAB，…（10分）又EA?平面EAB，所以BC⊥EA，又EA⊥EB，BC∩EB=B，EB，BC?平面EBC，所以EA⊥平面EBC．…（14分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查線(xiàn)面平行、線(xiàn)面垂直的證明，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．22.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為梯形，∠ABC=∠BAD=90°，AP=AD=AB=，BC=t，∠PAB=∠PAD=α．（Ⅰ）當(dāng)t=3時(shí)，試在棱PA上確定一個(gè)點(diǎn)E，使得PC∥平面BDE，并求出此時(shí)的值；（Ⅱ）當(dāng)α=60°時(shí)，若平面PAB⊥平面PCD，求此時(shí)棱BC的長(zhǎng)．參考答案：考點(diǎn)：向量語(yǔ)言表述面面的垂直、平行關(guān)系；直線(xiàn)與平面平行的性質(zhì)；平面與平面垂直的性質(zhì)．專(zhuān)題：綜合題；空間位置關(guān)系與距離．分析：（Ⅰ）在棱PA上取點(diǎn)E，使得=，連接AC，BD交于點(diǎn)F，證明EF∥PC，即可證明PC∥平面BDE；（Ⅱ）取BC上一點(diǎn)G使得BG=，連結(jié)DG，則ABGD為正方形．過(guò)P作PO⊥平面ABCD，垂足為O．連結(jié)OA，OB，OD，OG，以O(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面PAB的法向量=（﹣1，1，1）、同平面PCD的法向量=（1﹣，1，﹣1），由=0，解得BC的長(zhǎng)．解答： 解：（1）在棱PA上取點(diǎn)E，使得=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2連接AC，BD交于點(diǎn)F，因?yàn)锳D∥BC，所以=，所以=，所以，EF∥PC因?yàn)镻C?平面BDE，EF?平面BDE所以PC∥平面BDE﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣4（Ⅱ）取BC上一點(diǎn)G使得BG=，連結(jié)DG，則ABGD為正方形．過(guò)P作PO⊥平面ABCD，垂足為O．連結(jié)OA，OB，OD，OG．AP=AD=AB，∠PAB=∠PAD=60°，所以△PAB和△PAD都是等邊三角形，因此PA=PB=PD，所以O(shè)A=OB=OD，即點(diǎn)O為正方形ABGD對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣7以O(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz．則O（0，0，0），P（