2021-2022學(xué)年河北省石家莊市紡織廠子弟中學(xué)高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試題含解析

2021-2022學(xué)年河北省石家莊市紡織廠子弟中學(xué)高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在正項等比數(shù)列中，，則的值是

A.

B.

C.

D.

參考答案：A略2.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和是Sn，且a1=10，a2=9，那么下列不等式中成立的是（）A．a(chǎn)10﹣a11＜0 B．a(chǎn)20﹣a22＜0 C．S20﹣S21＜0 D．S40+a41＜0參考答案：D【考點】等差數(shù)列的性質(zhì)；等差數(shù)列的前n項和．【分析】設(shè)出等差數(shù)列的公差為d，根據(jù)a1=10和a2=9求出a1和d，得到數(shù)列為遞減數(shù)列，排除A、B、C，由前n項和公式得到當(dāng)n＞21時，sn＜0，所以D正確．【解答】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由a1=10，a2=a1+d=10+d=9，得到d=﹣1，所以an=11﹣n；sn=﹣n（n﹣21）；得到此數(shù)列為減數(shù)列，所以答案A、B、C錯，由sn=﹣n（n﹣21）知當(dāng)n＞21時，sn＜0，所以D正確；故選D【點評】考查學(xué)生會利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，靈活運用等差數(shù)列前n項和公式解決數(shù)學(xué)問題的能力．3.已知向量滿足，則向量夾角的余弦值為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D略4.已知函數(shù)的圖象在點與點處的切線互相垂直，并交于點，則點的坐標(biāo)可能是A． B．

C．

D．參考答案：由題，，，則過兩點的切線斜率，，又切線互相垂直，所以，即.兩條切線方程分別為，聯(lián)立得，∵，∴，代入，解得，故選．5.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S10：S5=1：2，則S15：S5=（）A．3：4 B．2：3 C．1：2 D．1：3參考答案：A【考點】8G：等比數(shù)列的性質(zhì)．【分析】本題可由等比數(shù)列的性質(zhì)，每連續(xù)五項的和是一個等比數(shù)列求解，由題設(shè)中的條件S10：S5=1：2，可得出（S10﹣S5）：S5=1：1，由此得每連續(xù)五項的和相等，由此規(guī)律易得所求的比值選出正確選項【解答】解：∵等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S10：S5=1：2，∴（S10﹣S5）：S5=﹣1：2，由等比數(shù)列的性質(zhì)得（S15﹣S10）：（S10﹣S5）：S5=1：（﹣2）：4，所以S15：S5=3：4故選A．6.在平行四邊形中，點為的中點，與的交點為，設(shè)，則向量（

）A．

B．

C.

D．參考答案：C7.要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象(

)A．向左平移個單位長度

B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度

D．向右平移個單位長度參考答案：A8.設(shè)，稱為整數(shù)的為“希望數(shù)”，則在內(nèi)所有“希望數(shù)”的個數(shù)為

．參考答案：9略9.已知橢圓，雙曲線，橢圓的焦點和長軸端點分別是雙曲線的頂點和焦點，則雙曲線的漸近線必經(jīng)過點（）A．B．C．D．參考答案：D略10.函數(shù)的零點個數(shù)為（

）（A）（B）（C）（D）參考答案：B由，得，令，在坐標(biāo)系中作出兩個函數(shù)的圖象，由圖象可知交點為一個，即函數(shù)的零點個數(shù)為1個，選B.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖，正方形邊長是2，直線x+y﹣3=0與正方形交于兩點，向正方形內(nèi)投飛鏢，則飛鏢落在陰影部分內(nèi)的概率是．參考答案：【考點】幾何概型．【分析】根據(jù)幾何概率的求法，可以得出鏢落在陰影部分的概率就是陰影區(qū)域的面積與總面積的比值．【解答】解：觀察這個圖可知：陰影部分是正方形去掉一個小三角形，設(shè)直線與正方形的兩個交點為A，B，∴在直線AB的方程為x+y﹣3=0中，令x=2得A（2，1），令y=2得B（1，2）．∴三角形ABC的面積為s==，則飛鏢落在陰影部分的概率是：P=1﹣=1﹣=1﹣=．故答案為：．12.數(shù)列{an}中，如果存在ak，使得“ak＞ak﹣1且ak＞ak+1”成立（其中k≥2，k∈N*），則稱ak為{an}的一個峰值．若an=﹣6n2+22n，且{an}的峰值為ak，則正整數(shù)k的值為．參考答案：2略13.已知函數(shù)y=f(x)和y=g(x)在[-2,2]的圖像如圖所示給出下列四個命題：①方程f[g(x)]=0有且僅有6個根

②方程g[f(x)]=0有且僅有3個根

③方程f[f(x)]=0有且僅有5個根④方程g[g(x)]=0有且僅有4個根

其中正確的命題是

參考答案：134略14.．若命題“是真命題”，則實數(shù)a的取值范圍是

。參考答案：或若命題為真，則對應(yīng)方程有解，即，解得或。15.關(guān)于x的一元二次方程x2+2（m+3）x+2m+14=0有兩個不同的實根，且一根大于3，一根小于1，則m的取值范圍是．參考答案：（﹣∞，﹣）【考點】一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】若關(guān)于x的一元二次方程x2+2（m+3）x+2m+14=0有兩個不同的實根，且一根大于3，一根小于1，則函數(shù)f（x）=x2+2（m+3）x+2m+14的兩個零點一個大于3，一個小于1，由函數(shù)f（x）=x2+2（m+3）x+2m+14的圖象是開口朝上的拋物線，可得，進而可得m的取值范圍．【解答】解：若關(guān)于x的一元二次方程x2+2（m+3）x+2m+14=0有兩個不同的實根，且一根大于3，一根小于1，則函數(shù)f（x）=x2+2（m+3）x+2m+14的兩個零點一個大于3，一個小于1，由函數(shù)f（x）=x2+2（m+3）x+2m+14的圖象是開口朝上的拋物線，故，即，解得：m∈（﹣∞，﹣），故答案為：（﹣∞，﹣）【點評】本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，方程根與函數(shù)零點的關(guān)系，難度中檔．16.在中，若，則面積的最大值為參考答案：略17.設(shè)是正實數(shù)，且，則的最小值是

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，AA1=3，D為AC的中點．（Ⅰ）求證：AB1∥面BDC1；（Ⅱ）求二面角C1﹣BD﹣C的余弦值；（Ⅲ）在側(cè)棱AA1上是否存在點P，使得CP⊥面BDC1？并證明你的結(jié)論．參考答案：考點：二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定；直線與平面垂直的判定．專題：計算題；證明題．分析：（I）連接B1C，與BC1相交于O，連接OD，我們由三角形的中位線定理，易得OD∥AB1，進而由線面平行的判定定理得到AB1∥面BDC1；（Ⅱ）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面C1BD和平面BDC的法向量，代入向量夾角公式，即可得到二面角C1﹣BD﹣C的余弦值；（Ⅲ）假設(shè)側(cè)棱AA1上存在點P，使得CP⊥面BDC1，我們可以設(shè)出P點坐標(biāo)，進而構(gòu)造方程組，若方程組有解說明存在，若方程組無解，說明滿足條件的P點不存在．解答： 證明：（I）連接B1C，與BC1相交于O，連接OD∵BCC1B1是矩形，∴O是B1C的中點．又D是AC的中點，∴OD∥AB1．∵AB1?面BDC1，OD?面BDC1，∴AB1∥面BDC1．解：（II）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則C1（0，0，0），B（0，3，2），C（0，3，0），A（2，3，0），D（1，3，0）設(shè)=（x，y，z）是面BDC1的一個法向量，則即，令x=1則=（1，，）．易知=（0，3，0）是面ABC的一個法向量．∴cos＜，＞=．∴二面角C1﹣BD﹣C的余弦值為．（III）假設(shè)側(cè)棱AA1上存在一點P（2，y，0）（0≤y≤3），使得CP⊥面BDC1．則，即∴方程組無解．∴假設(shè)不成立．∴側(cè)棱AA1上不存在點P，使CP⊥面BDC1．點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，其中（I）的關(guān)鍵是證得OD∥AB1，（II）（III）的關(guān)鍵是建立空間坐標(biāo)系，將二面角問題和線面垂直問題轉(zhuǎn)化為空間向量夾角問題．19.已知集合，其中，表示的所有不同值的個數(shù)．（1）已知集合，，分別求，；（2）求的最小值．參考答案：20.（本小題滿分10分）選修4—1：幾何證明選講如圖，在△ABO中，D、C分別在AO，BO邊上，點M為AC與BD的交點，AM·MC=BM·MD。

（I）證明：∠1=∠2；

（II）證明：A、B、C、D四點共圓。

參考答案：略21.（13分）在xOy平面上有一系列點P1（x1，y1），P2（x2，y2），…Pn（xn，yn）對每個正整數(shù)n，點Pn位于函數(shù)y=x2（x≥0）的圖象上，以點Pn為圓心的圓Pn與H軸都相切，且圓Pn與圓Pn+1又彼此外切．若x1=1，且xn+1＜xn（n∈N+）．（1）求證：數(shù)列{}是等差數(shù)列（2）設(shè)圓Pn的面積為Sn，Tn=++…+，求證：Tn＜．參考答案：【考點】數(shù)列的求和；數(shù)列與解析幾何的綜合．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】（1）依題意，⊙Pn的半徑，由于⊙Pn與⊙Pn+1彼此外切，可得|PnPn+1|=rn+rn+1，．化簡整理利用等差數(shù)列的通項公式即可得出．（2）由（1）可得，可得Sn，再利用“裂項求和”即可得出．【解答】（1）證明：依題意，⊙Pn的半徑，∵⊙Pn與⊙Pn+1彼此外切，∴|PnPn+1|=rn+rn+1，∴．兩邊平方，化簡得，即．∵xn＞xn+1＞0，∴xn﹣xn+1=2xnxn+1，．∴數(shù)列是等差數(shù)列．（2）解：由題設(shè)，x1=1，∴．．=≤===．【點評】本題考查了等差數(shù)列的通項公式、“裂項求和”方法、圓的性質(zhì)及其面積計算公式，考查了變形能力、推理能力與計算能力，屬于難題．22.已知拋物線的準(zhǔn)線過橢圓C：（a＞b＞0）的左焦點F，且點F到直線l：（c為橢圓焦距的一半）的距離為4.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點F做直線與橢圓C交于A，B兩點，P是AB的中點，線段AB的中垂線交直線l于點Q.若，求直線AB的方程.參考答案：（1）；（2）或.【分析】（1）由拋物線的準(zhǔn)線方程求出的值，確定左焦點坐標(biāo)，再由點F到直線l：的距離為4，求出即可；（2）設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，運用根與系數(shù)關(guān)系和弦長公式，以及兩直線垂