流函數(shù)與勢(shì)函數(shù)

一、流函數(shù)流函數(shù)概念的提出是僅對(duì)不可壓縮流體的平面流動(dòng)而言的。所謂平面流動(dòng)是指流場中各點(diǎn)的流速都平行于某一固定平面，并且各物理量在此平面的垂直方向上沒有變化。由不可壓縮流體的平面流動(dòng)的連續(xù)方程得平面流動(dòng)的流線微分方程為式(1)是式(2)成為某一函數(shù)的全微分的必要且充分的條件，即于是很顯然，在流線上d或C。每條流線對(duì)應(yīng)一個(gè)常數(shù)值，所以稱函數(shù)為流函數(shù)。對(duì)于不可壓縮流體的平面流動(dòng)，用極坐標(biāo)表示的連續(xù)方程、流函數(shù)的微分和速度分量分別為：流函數(shù)具有明確的物理意義：平面流動(dòng)中兩條流線間單位厚度通過的體積流量等于兩條流線上的流函數(shù)常數(shù)之差。在流函數(shù)的定義中，為保證流函數(shù)變化值d與流量增量值dqv同號(hào)，規(guī)定繞B點(diǎn)逆時(shí)針方向穿過曲線AB的流量為正，反之為負(fù)，這里的流量qv是指通過z方向?yàn)閱挝桓叨鹊闹娴捏w積流量。通過A點(diǎn)的流線的流函數(shù)值，通過B點(diǎn)的流線的流函數(shù)值，則通過AB柱面的體積流量為即：上式是成為某一函數(shù)的全微分的必要且充分條件。函數(shù)成為速度勢(shì)函數(shù)，簡稱速度勢(shì)。當(dāng)以t作為參變量時(shí)，即流體作定常流動(dòng)時(shí)，速度勢(shì)函數(shù)的全微分可寫成于是可以得到寫成矢量形式，有上式說明了速度勢(shì)函數(shù)的一個(gè)基本性質(zhì)：速度在笛卡爾直角坐標(biāo)系中三個(gè)坐標(biāo)軸x、y、z方向上的分量等于速度勢(shì)函數(shù)關(guān)于相應(yīng)坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)。?那么這一性質(zhì)是否可以用于流場中任何方向呢？答案是肯定的，證明過程如下：流場中任取一點(diǎn)M的速度為，它在方向s上的分量為Vs。由于流場中有速度勢(shì)存在，它關(guān)于方向s的偏導(dǎo)數(shù)為：上式中、、和、、分別表示速度矢量和方向矢量對(duì)于x、y、z軸的方向余弦。在圓柱坐標(biāo)系下，徑向速度、切向速度、軸向速度分別為：速度勢(shì)函數(shù)僅僅是一個(gè)數(shù)學(xué)上的概念，沒有所對(duì)應(yīng)的物理意義。在定常流動(dòng)中速度勢(shì)與時(shí)間無關(guān)，僅是空間位置的函數(shù)。當(dāng)不可壓縮流體或可壓縮流體作無旋流動(dòng)時(shí)，總有速度勢(shì)存在，這種流動(dòng)又被稱為有勢(shì)流動(dòng)，即無旋流動(dòng)等同于有勢(shì)流動(dòng)。在有勢(shì)流動(dòng)中，沿曲線AB的切向速度線積分等于終點(diǎn)B與起點(diǎn)A的速度勢(shì)之差。沿任一曲線AB切向速度的線積分可寫成在有勢(shì)流動(dòng)中，沿任一封閉周線（A、B點(diǎn)重合）的速度環(huán)量為：如果速度勢(shì)是單值的和連續(xù)的，則沿任一封閉周線的速度環(huán)量等于零。對(duì)于不可壓縮流體，有，有上式中為拉普拉斯算子。

當(dāng)不可壓縮流體作有勢(shì)流動(dòng)時(shí)，速度勢(shì)滿足拉普拉斯方程。滿足拉普拉斯方程的函數(shù)稱為調(diào)和函數(shù)。由于拉普拉斯方程是線性齊次方程，該方程的不同解的疊加后仍然是該方程的解。設(shè)和是調(diào)和函數(shù)，則（其中和為任意常數(shù)）也是調(diào)和函數(shù)。因此，簡單的調(diào)和函數(shù)可以疊加成復(fù)雜的調(diào)和函數(shù)，這為簡單無旋流動(dòng)的疊加提供理論基礎(chǔ)。對(duì)于圓柱坐標(biāo)系，拉普拉斯方程變?yōu)?/p>

應(yīng)當(dāng)指出的是，速度勢(shì)函數(shù)滿足拉普拉斯方程的前提條件是不可壓縮流體的無旋流動(dòng)，而并未限制流動(dòng)是定?；蚍嵌ǔ?，速度勢(shì)函數(shù)也可以是時(shí)間的函數(shù)。三、流網(wǎng)對(duì)于不可壓縮流體的平面無旋流動(dòng)（即有勢(shì)流動(dòng)），必然同時(shí)存在速度勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)。根據(jù)它們與速度分量u、v的關(guān)系，可以得到和之間的重要關(guān)系式：上式稱為柯西-黎曼條件。流函數(shù)線=C1，…等，構(gòu)成一簇流線，它們和等勢(shì)線…等構(gòu)成一張描述平面流動(dòng)特征的網(wǎng)，稱為流網(wǎng)。流線和等勢(shì)線的交點(diǎn)為M。在等勢(shì)線上，有由此可得等勢(shì)線的斜率為在流線上，有由此可得流線的斜率為可得到等勢(shì)線和流線線簇的斜率的乘積

可見，在流線與等勢(shì)線在其交點(diǎn)處相互正交。習(xí)慣上，采用相等的流函數(shù)增量來畫流線，用相等的速度勢(shì)函數(shù)增量來畫等勢(shì)線，由及可知，流