黎曼積分和勒貝格積分的聯(lián)系與區(qū)別

4-淺談R積分和L積分的聯(lián)系與區(qū)別數(shù)學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)（師范）專業(yè)2009級某某指導(dǎo)老師某某摘要：積分在整個分析數(shù)學(xué)中有著重要的地位，現(xiàn)有的積分有兩種形式：一種是作為研究數(shù)學(xué)分析中心內(nèi)容的黎曼積分（簡稱R積分），一種是作為研究實(shí)變函數(shù)核心內(nèi)容的勒貝格積分（簡稱L積分），這兩類積分既有密切的聯(lián)系，又有本質(zhì)的區(qū)別。本文主要是從黎曼積分和勒貝格積分的定義出發(fā)，進(jìn)行分析和比較，利用實(shí)例來歸納總結(jié)出它們的聯(lián)系與區(qū)別。關(guān)鍵詞：黎曼積分；勒貝格積分；聯(lián)系；區(qū)別Abstract:IntegralplaysacriticalroleinthewholeofAnalyticMathematics.Andthecurrentintegrationhastwoforms:oneistheRiemannintegral(Rintegral)whichisregardedasthecentralcontentofthestudyofthemathematicalanalysis.TheotheroneistheLebesgueintegral(Lintegral)whichisregardedasthecorecontentofthestudyoftherealvariablefunction.Thetwokindsofintegralnotonlyhavethecloserelationsbutalsohavetheessentialdifferences.AccordingtothedefinitionoftheRiemannintegralandtheLebesgueintegral,thispaperanalysesandmakesacomparisonwiththedefinitions,whichusessomeexamplestosummarizetheirrelationsanddifferences.Keywords:Riemannintegral;Lebesgueintegral;relation;difference第第頁)1引言積分學(xué)的歷史很早，它起源于求積問題。[1]在公元前三世紀(jì)的時候，古希臘阿基米德在解決拋物弓形的面積、球和球冠面積、螺線下面積和旋轉(zhuǎn)雙曲體的體積的研究中就隱含著近代積分學(xué)的思想。這也是真正積分學(xué)萌芽的開始。公元五世紀(jì)，中國數(shù)學(xué)家祖沖之及父親祖日恒的“緣冪勢既同，則積不容異”的提出也就奠基了積分概念的雛形。十七世紀(jì)以后，牛頓的《流數(shù)簡論》標(biāo)志著微積分的誕生，牛頓和萊布尼茨創(chuàng)立了微分學(xué)，積分這才得到真正的發(fā)展。十八世紀(jì)，數(shù)學(xué)的發(fā)展進(jìn)入了數(shù)學(xué)分析時代，但是積分的概念一直沒有被真正的提出，直到柯西從分析的角度給出積分的構(gòu)造性定義。十九世紀(jì)，數(shù)學(xué)家們試圖給積分計(jì)算提供一個穩(wěn)固的定義。而波恩哈德·黎曼將柯西只對連續(xù)函數(shù)定義的積分概念擴(kuò)張成現(xiàn)在我們所知的黎曼積分，從而擴(kuò)大了積分的應(yīng)用范圍。但是黎曼積分還主要存在著兩方面的缺陷，一是黎曼積分與極限可交換的條件太嚴(yán)；二是積分運(yùn)算不完全是微分的逆運(yùn)算[2]。鑒于黎曼積分的缺陷，人們長期以來致力于對此進(jìn)行改進(jìn)。直到十九世紀(jì)末集合論的建立為微積分的變革奠定了理論基礎(chǔ)，科學(xué)家們開始著手改進(jìn)并推廣黎曼積分。1902年法國數(shù)學(xué)家勒貝格基于可列可加的測度，成功地引入了一種新積分，這就是勒貝格積分。當(dāng)然單純的從積分學(xué)的發(fā)展史看來勒貝格積分是黎曼積分的推廣衍生，但是勒貝格積分在很大程度上擺脫了黎曼積分的不足，且大大地?cái)U(kuò)充了可積函數(shù)的范圍，成為我們現(xiàn)今分析數(shù)學(xué)中不可缺少的工具。本文就黎曼積分與勒貝格積分的定義出發(fā)，進(jìn)行分析比較得到它們的聯(lián)系與區(qū)別。2黎曼積分和勒貝格積分的聯(lián)系與區(qū)別2.1黎曼積分的定義[3]由定義可見積分的可積范圍比積分的可積范圍更廣泛，例如[5]：定義在上的連續(xù)函數(shù)一定可積，也可積，此外，還有函數(shù)不一定可積，但可積的例子在上的狄利克雷函數(shù)是不可積，但是可積。也就是說勒貝格積分包含了黎曼積分。有這樣的結(jié)論：凡是黎曼可積的函數(shù)一定勒貝格可積，且積分值相同，但勒貝格可積的函數(shù)不一定黎曼可積。事實(shí)上，僅從函數(shù)定義域的分割角度來說，黎曼積分和勒貝格積分大體上是相似的，其區(qū)別在于黎曼積分所考慮的劃分，只是把函數(shù)的定義區(qū)間分解成有限多個小區(qū)間，而勒貝格積分的劃分則允許把分解為有限多個互不相交的可測子集，顯然，前者的劃分必是后者的劃分，所以黎曼意義下的大小和必是勒貝格意義下的大小和，易得其積分值相同。我們可以從這兩種積分的定義看出，它們的主要區(qū)別是[6]：黎曼積分是將被積函數(shù)的定義域分割成有限多個小區(qū)間而產(chǎn)生的，而勒貝格積分則是將函數(shù)的值域劃分而產(chǎn)生的。前者的優(yōu)點(diǎn)是的度量容易給出,但當(dāng)分割的細(xì)度充分細(xì)時，函數(shù)在上的振幅仍可能較大；后者的優(yōu)點(diǎn)是函數(shù)在上的振幅較小，但一般不再是區(qū)間，而是可測集。其度量的值一般不易給出。對定義域和對值域的分割是積分與積分的本質(zhì)區(qū)別。下面我們用直觀的例子來說明黎曼積分與勒貝格積分在定義方面的差異。用硬幣兌換紙幣。假設(shè)有5000枚硬幣需要兌換成紙幣，每一枚硬幣的面值分別為0.01元、0.02元、0.05元、0.1元、0.2元、0.5元、1元中的一個，要兌換需計(jì)算總幣值。計(jì)算總幣值有兩種方法，第一種是一個個硬幣的幣值逐個相加；第二種是把所有的硬幣按幣值分為7類，計(jì)算每一類幣值再相加。明顯的方法一中體現(xiàn)的是黎曼積分的思想，方法二則體現(xiàn)的是勒貝格積分的思想。另外，積分理論是在勒貝格測度理論的基礎(chǔ)上建立的,測度是平面上度量的推廣，這一理論把有界和無界的情形都考慮了，而且被積函數(shù)可以定義在更一般的點(diǎn)集上，而不僅僅限于區(qū)間上。然而就是這一點(diǎn)點(diǎn)的差別，使這兩種積分產(chǎn)生了本質(zhì)的區(qū)別，使勒貝格積分具備了很多黎曼積分所不具備的良好性質(zhì)。2.4兩種積分的可積條件的比較2.4.1黎曼可積的條件（一）黎曼可積的必要條件定義在上的函數(shù)黎曼可積的必要條件是在上是有界函數(shù)。注函數(shù)黎曼可積則函數(shù)必有界，但是有界函數(shù)不一定黎曼可積。（二）黎曼可積的充要條件[6]1.設(shè)是定義在上的有界函數(shù)，則黎曼可積的充要條件為在上的黎曼上積分與黎曼下積分相等。即設(shè)在上有界，對任取一分點(diǎn)組，其中令，，，，，有 。2.設(shè)是定義在上的有界函數(shù)，則黎曼可積的充要條件為，總存在某一分割，使得。3.設(shè)是定義在上的有界函數(shù)，則黎曼可積的充要條件為對于任給正數(shù)，，總存在某一分割，使得屬于的所有振幅的小區(qū)間的長度總長小于等于。4.設(shè)是定義在上的有界函數(shù)，則黎曼可積的充要條件為，總存在某一分割，使得。5.定義在上的函數(shù)黎曼可積的充要條件為在上的一切間斷點(diǎn)構(gòu)成一個零測度集。2.4.2勒貝格可積的條件[6]1.設(shè)是定義在可測集上的有界函數(shù)，則在上可積的充要條件為，總存在的某一分割，使得。2.設(shè)是定義在可測集上的有界函數(shù)，則在上可積的充要條件為在上勒貝格可測。3.設(shè)在上的黎曼反常積分存在，則在上可積的充要條件為在上的黎曼反常積分存在，且有。4.設(shè)為上的可測函數(shù)列，在上的極限函數(shù)幾乎處處存在，且，則在上可積。5.設(shè)是定義在可測集上的連續(xù)函數(shù)，則在上可積的充要條件為在上勒貝格可測。我們從函數(shù)的黎曼可積和勒貝格可積的充要條件可以很明顯的看出，它們之間的不同，而且黎曼積分相對勒貝格積分有明顯的局限性，從而勒貝格積分比黎曼積分的應(yīng)用范圍更為廣泛，使用起來也更為方便。從它們的充要條件可以得到結(jié)論如下：勒貝格積分是黎曼正常積分的推廣但不是黎曼反常積分的推廣（這里就不做討論了）由此可見，勒貝格積分比黎曼積分向前邁了一大步。3實(shí)例[7]通常我們在求解勒貝格積分時，有很多問題可以通過求黎曼積分而得到勒貝格積分（如例1、2）。因?yàn)槔肇惛穹e分相對黎曼積分有明顯的優(yōu)越性，所以在黎曼積分中有較難的問題時我們會運(yùn)用勒貝格積分來解決（如例3、4）。例1計(jì)算上的積分。解用截?cái)嗪瘮?shù)求解是上的非負(fù)函數(shù)，作截函數(shù),顯然，對每個均可積，故也可積，于是。例2設(shè)上函數(shù)求。解作截?cái)嗪瘮?shù),取，由于在上黎曼可積，故，所以。例3計(jì)算在上的黎曼函數(shù)的積分。分析這個黎曼函數(shù)在所有無理點(diǎn)處是處處連續(xù)的，有理點(diǎn)處是不連續(xù)的，雖然在中有無窮多個有理點(diǎn)，即黎曼函數(shù)在上的不連續(xù)點(diǎn)有無窮多個，但這個函數(shù)在上仍然是黎曼可積的，且有，但是用黎曼積分的方法來求其積分值是比較復(fù)雜，然而用勒貝格積分的方法來求積分值就顯然十分簡單了。解由是黎曼可積幾乎處處連續(xù)，所以令為中的有理數(shù)，，則。例4已知求。解令，所以在上處處成立，。利用勒貝格積分可得出黎曼積分比較重要的結(jié)論，其中之一就是黎曼可積條件的推廣。利用勒貝格積分理論中的積分極限定理，可以證明：上的有界函數(shù)，黎曼可積的充分必要條件是在上幾乎處處連續(xù)即不連續(xù)點(diǎn)的測度長度為0，這就是黎曼積分的本質(zhì)特性，從黎曼積分的自身理論是推不出來的，必須借助勒貝格積分理論才能得到。當(dāng)然黎曼積分也有它自身其他的優(yōu)勢，比如[8]在非均勻分布時“直線段”質(zhì)量、平面薄板質(zhì)量等等問題上，用黎曼積分比較簡捷方便。4總結(jié)從數(shù)學(xué)的發(fā)展史表明[9]，黎曼積分和勒貝格積分都在各自相應(yīng)的產(chǎn)生時期起著重大的作。從狹義上看來，勒貝格積分是黎曼積分的推廣，同時，勒貝格積分的提出是積分發(fā)展史上的一次革命，它使積分論在集合論、測度論的基礎(chǔ)上走向現(xiàn)代化，從而有可能在現(xiàn)代水平的層次上向其它現(xiàn)代數(shù)學(xué)分支滲透，促進(jìn)其它學(xué)科的發(fā)展。勒貝格積分不僅僅是擴(kuò)大了可積函數(shù)類，而且還由于它特有的性質(zhì)，解決了許多古典分析中不能解決的問題，使數(shù)學(xué)的發(fā)展進(jìn)入了現(xiàn)代數(shù)學(xué)分析時代。勒貝格積分并沒有完全否定和拋棄黎曼積分，而是把黎曼積分作為一種特例加以概括，它們是一種相互依賴、相互補(bǔ)充、相互幫助以及在特定的條件下可以相互轉(zhuǎn)化的關(guān)系，由此可見，黎曼積分和勒貝格積分各自有各自的優(yōu)勢和價值。從黎曼積分發(fā)展到勒貝格積分，我們可以學(xué)到數(shù)學(xué)的發(fā)展是永無止境的，隨著社會的發(fā)展、科學(xué)的進(jìn)步和人們的需求，勒貝格積分也逐漸地暴露出它的局限，積分理論還有待繼續(xù)發(fā)展。當(dāng)然，我很期待積分理論能越來越完善。參考文獻(xiàn)：[1]范君好.Riemann積分和Lebesgue積分的聯(lián)系和本質(zhì)區(qū)別[J].桂林師范高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào),2010.[2]程其襄等.實(shí)變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)（第三版）[M].北京：高等教育出版社,2010.[3]