1987~2022武漢大學(xué)數(shù)學(xué)分析考研試題

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武漢高校數(shù)學(xué)分析1992

1．給定數(shù)列如下：

}{nx00>x，??

????+?=?+11)1(1knnnxaxkkx，",2,1,0=n（1）證實數(shù)列收斂。

}{nx（2）求出其極限值。

2．設(shè)函數(shù)定義在區(qū)間)(xfI上，試對“函數(shù)在)(xfI上不全都延續(xù)”的含義作一絕對語氣的（即不用否定詞的）講述，并且證實：函數(shù)在區(qū)間xxln),0(+∞上不全都延續(xù)。

3．設(shè)函數(shù)在區(qū)間上嚴(yán)格遞增且延續(xù)，)(xf],0[a0)0(=f，為的反函數(shù)，試證實成立等式：。

)(xg)(xf[]xxgaxxfafad)(d)()(00∫∫?=4．給定級數(shù)∑+∞

=+01

nn

nx。

（1）求它的和函數(shù)。)(xS（2）證實廣義積分xxSd)(1

0∫收斂，交寫出它的值。

5．對于函數(shù)???

????=+≠++=0,00,),(22222

22yxyxyxyxyxf，證實：

（1）到處對),(yxfx，對可導(dǎo)；

y（2）偏導(dǎo)函數(shù)，有界；

),(yxfx′),(yxfy′（3）在點不行微。

),(yxf)0,0(（4）一階偏導(dǎo)函數(shù)，中至少有一個在點不延續(xù)。

),(yxfx′),(yxfy′)0,0(6．計算下列積分：

（1）

xxxxabdln10?∫，其中為常數(shù)，ba,baMxn>E為的一切項組成的數(shù)集。試證必存在自然數(shù)}{nxp，使得Expinf=。

2．設(shè)函數(shù)在點的某空心鄰域內(nèi)有定義，對于隨意以為極限且含于的數(shù)列，極限都存在（有限數(shù)）。)(xf0x0U0x0U}{nx)(limnnxf∞

→（1）試證：相對于一切滿足上述條件的數(shù)列來說，數(shù)列的極限是唯一確定的，

即假如和是隨意兩個以為極限且含于的數(shù)列，那么總有}{nx)}({nxf}{nx}{nx′0x0

U)(lim)(limnnnnxfxf′=∞

→∞→。（2）記（1）中的唯一確定的極限為，試證：)}({nxfAAxfxx=→)(lim0

。3．設(shè)函數(shù)在點的鄰域)(xf0xI內(nèi)有定義，證實：導(dǎo)數(shù))(0xf′存在的充要條件是存在這樣的函數(shù)，它在)(xgI內(nèi)有定義，在點延續(xù)，且使得在0xI內(nèi)成立等式：

)()()()(00xgxxxfxf?+=，

又這時還有)()(00xgxf=′。

4．已知有限閉區(qū)間上的延續(xù)函數(shù)在該區(qū)間上是可積的。現(xiàn)假設(shè)有一函數(shù)，

在區(qū)間上有定義，有界（存在正數(shù))(xf],[baM，],[bax∈?，有Mxf],[Ma)()(xfxfn→

→+∞→n），證實：（1）反常積分

收斂。xxfad)(∫+∞（2）。xxfxxfanand)(d)(lim∫

∫+∞+∞+∞→=8．設(shè)證，問

)|sin(|),(3yxyyxF+=（1）在附近是否滿足)0,0(0),(=yxF的隱函數(shù)存在定理條件？

（2）在附近關(guān)于是否嚴(yán)格單調(diào)？

)0,0(),(yxFy（3）在附近，是否存在過在的唯一延續(xù)隱函數(shù)？為什么？

)0,0()0,0(

（3）若存在隱函數(shù)過點，問其導(dǎo)函數(shù)為何？

)0,0(武漢高校數(shù)學(xué)分析1996

1．設(shè))(+∞→→naan，令

?

??≤>=+0,00,nnnn

aaaa，???≤>=0,00,aaaa證實：。)(+∞→→++naan2．設(shè)，在可微，且Ayxfyxyx=→),(lim),(),(00),(yxg),(00yx0),(00=yxg。證實：

（1）α+=Ayxf),(，()

20220)()()(yyxxoxx?+?=?α，（）；),(),(00yxyx→（2）在可微。

),(),(yxgyxfz=),(00yx3．設(shè)當(dāng)，，],[bax∈0)(≥xf0/)(≡

xf，且在上延續(xù)，證實：。)(xf],[ba0d)(>∫xxfba4．給定級數(shù)

nnxnn)(!)!2(!)!12(1

??∑∞=，證實：（1）1

21!)!2(!)!12(+RRx≥||0)(=x?，證實：

（1）當(dāng)初有∞→n)0()()(fxnxfx??→→??????，+∞>>cba

武漢高校數(shù)學(xué)分析1997

1．設(shè)且不趨于，證實數(shù)列中存在子序列是收斂的子序列。

0>nana∞+}{na}{kna2．設(shè)為延續(xù)函數(shù)，且)(xf{}

],[0)(baxfx?≠，+∞yxf),(),(yxcfcycxf=0>?c0,>βα，使得2222),(yxyxfyx+≤≤+βα。

4．設(shè)有二階延續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，),,,(zyxtuu=?為空間的一有界閉集，它有光潔邊界，處的單位外法向矢量為，證實：

),,(zyx????νzyxutSutuzyxutuddddd21dddd2(∫∫∫∫∫∫∫∫???????????=????ν外側(cè)）其中222222z