2023年高考數(shù)學(xué)題型猜想預(yù)測卷 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 （解析版）

猜題11第18題導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用一、解答題1．（2023·上?！そy(tǒng)考模擬預(yù)測）函數(shù)，且.(1)判斷在上的單調(diào)性，并利用單調(diào)性的定義證明；(2)，且在上有零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】(1)單調(diào)遞增，證明見解析；(2)【分析】（1）由題意解出的值，再利用單調(diào)性的定義證明即可；（2）轉(zhuǎn)化問題為在上有解，則有解，利用導(dǎo)函數(shù)求的單調(diào)性，進(jìn)而求得取值范圍即可.【解析】（1）由題意可得，解得，所以，在上單調(diào)遞增，證明如下：任取，則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，所以，，所以，即，所以在上單調(diào)遞增.（2）由（1）得，在上有零點(diǎn)，即在上有解，則有解，令，則，令解得，令解得，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，沒有最大值，所以.2．（2017·上海普陀·上海市宜川中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）討論在區(qū)間上的最小值．【答案】（1）的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為：；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為：；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為：.【分析】（1）對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，分類討論，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間進(jìn)而求出在區(qū)間上的最小值．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，所以的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是；（2）.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故函數(shù)的最小值為：；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故函數(shù)的最小值為：；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為：.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值問題，考查了分類討論思想，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.3．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知函數(shù).(1)若在上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)若函數(shù)在上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】(1)對全分離,將在上恒成立,轉(zhuǎn)化為,構(gòu)造新函數(shù),求導(dǎo)求單調(diào)性求最值即可.(2)由在上單調(diào)遞增,即在上恒成立,求導(dǎo)后全分離轉(zhuǎn)化為,構(gòu)造新函數(shù),求導(dǎo)求單調(diào)性求最值即可.【解析】（1）解:由題知在上恒成立,即,,只需即可,即,記,,,,,在單調(diào)遞減,;（2）由題知,在上單調(diào)遞增,即在上恒成立,即恒成立,,只需恒成立,即,記,,,,在單調(diào)遞增,,只需即可,綜上:.4．（2022秋·上海嘉定·高三校考期中）已知函數(shù)為奇函數(shù)(1)求的值，判斷并證明在其定義域上的單調(diào)性；(2)若關(guān)于的不等式對任意恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．【答案】(1)；在定義域上單調(diào)遞增，證明見解析；(2).【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，結(jié)合常變量分離法、構(gòu)造函數(shù)法，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)镽，函數(shù)為奇函數(shù)，，經(jīng)檢驗(yàn)，為奇函數(shù).函數(shù)的定義域?yàn)镽，，R且，，因?yàn)椋?，而，所以，故在R上單調(diào)遞增．（2）因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以有又因?yàn)樵赗上單調(diào)遞增，，所以對任意恒成立，即，令，，設(shè)，，所以在上單調(diào)遞增，所以：.5．（2022秋·上海奉賢·高三?？计谥校┖瘮?shù)，其中.(1)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；(2)若，求的極值.【答案】(1)(2)極大值為，極小值為【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則以及基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式即可求解，（2）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)即可求解極值.【解析】（1）由得，（2）記，則，令，則，當(dāng)時(shí)，或，故當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)，，因此當(dāng)時(shí)，取極小值，且極小值為，當(dāng)時(shí)，取極大值，且極大值為，因此的極大值為，極小值為6．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）設(shè)，函數(shù).(1)若函數(shù)為奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值；(2)若函數(shù)在處取得極小值，求實(shí)數(shù)a的值.【答案】(1)(2)1【分析】（1）求出，根據(jù)奇函數(shù)的概念得到，即可求出結(jié)果；（2）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出極小值點(diǎn)，可得，即可求出結(jié)果.（1）由已知，得，，，∵為奇函數(shù)，∴，，即，∴；（2），當(dāng)x變化時(shí)，的變化情況如下表：xa+0-0+極大值極小值∴，∴.7．（2022·上海徐匯·統(tǒng)考一模）已知.(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解，（2）由導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系求解，【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，所以，.所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為.（2）因?yàn)椋x域?yàn)?，所?①當(dāng)時(shí)，與在上的變化情況如下：1+00+單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以函數(shù)在及內(nèi)嚴(yán)格增，在內(nèi)嚴(yán)格減；②當(dāng)時(shí)，恒成立，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為及，單調(diào)減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)增區(qū)間為.8．（2022秋·上海徐匯·高三上海市南洋模范中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù).(1)若函數(shù)在處取得極大值，求a的值；(2)設(shè)，試討論函數(shù)的單調(diào)性.【答案】(1)；(2)見解析【分析】（1）由即可求解；（2）由導(dǎo)數(shù)法結(jié)合因式分解及二次函數(shù)性質(zhì)討論單調(diào)性即可.【解析】（1），由在處取得極大值得；經(jīng)檢驗(yàn)成立（2），，i.當(dāng)時(shí)，（僅在取等號），故在遞增；ii.當(dāng)時(shí)，由得，得，故在遞增，在遞減；iii.當(dāng)時(shí)，由得，得，故在遞增，在遞減.9．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知函數(shù)．(1)定義的導(dǎo)函數(shù)為，的導(dǎo)函數(shù)為……以此類推，若，求實(shí)數(shù)a的值；(2)若，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用列舉歸納法，可得的周期為4，則得，由，即可求得值；（2）分析可得要證，只需證，再利用導(dǎo)數(shù)分別證得，，即可證明結(jié)論成立．（1）解：由題意得：，，，，∴的周期為4，故．∵，∴．（2）證明：要證，即證，又，則，故只需證，令，，則，在上，，單調(diào)遞減，在上，，單調(diào)遞增，所以，所以，令，則，所以在上，單調(diào)遞增，所以，所以，所以，因?yàn)樽笥覂蛇叺牟坏忍柌荒芡瑫r(shí)取到，所以，所以，得證．10．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知函數(shù)，，曲線和在原點(diǎn)處有相同的切線.(1)求的值；(2)判斷函數(shù)在上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由.【答案】(1)1(2)1個(gè)零點(diǎn)，理由見解析【分析】(1)通過對曲線和分別求導(dǎo)，由題意得，從而求得的值；(2)分類討論思想，當(dāng)時(shí)，，無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，通過求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理即可求解.．【解析】（1）依題意得：函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，，所以．曲線和在原點(diǎn)處有相同的切線.，．（2）由（1）可知，，所以；當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)無零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，令則，顯然在上單調(diào)遞增，又，，所以存在使得，因此可得時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增；又，所以存在，使得，即時(shí)，，，單調(diào)遞減；時(shí)，，，單調(diào)遞增；又，，所以在上有一個(gè)零點(diǎn)．綜上，在上有1個(gè)零點(diǎn)．11．（2022秋·上海浦東新·高三上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考開學(xué)考試）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求在點(diǎn)的切線方程；(2)若在上存在單調(diào)減區(qū)間，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若在區(qū)間上存在極小值，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)；(2)；(3)【分析】（1）求解導(dǎo)函數(shù)，分別計(jì)算，利用點(diǎn)斜式寫出直線方程；（2）構(gòu)造新函數(shù)，利用存在型問題的解決辦法，求解最大值；（3）計(jì)算函數(shù)的極小值點(diǎn)，再根據(jù)極小值所在范圍列不等式，分類討論求解.（1），因?yàn)?，所以，，所以，，所以曲線在點(diǎn)的切線方程為；（2）函數(shù)在上存在減區(qū)間，則有在區(qū)間上有解，即在區(qū)間上有解，此時(shí)令，

顯然在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，故有，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.（3）函數(shù)在區(qū)間上存在極小值，則函數(shù)的極小值點(diǎn)應(yīng)落在內(nèi)，令，得，，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；是函數(shù)的極小值點(diǎn)，即得，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立；當(dāng)時(shí)，，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是【點(diǎn)睛】研究單調(diào)區(qū)間與極值存在問題可轉(zhuǎn)化為研究不等式存在型問題，首先要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.12．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)設(shè)，證明：．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）求得，對進(jìn)行分類討論，由此求得的單調(diào)區(qū)間.（2）將所要證明的不等式轉(zhuǎn)化為，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及導(dǎo)數(shù)，證得不等式成立.（1）的定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，在區(qū)間遞減；在區(qū)間遞增.當(dāng)時(shí)，在上遞增.當(dāng)時(shí)，在區(qū)間遞減；在區(qū)間遞增.（2）依題意，令，由（1）得在單調(diào)遞增，要證，即證，即證，即證①，設(shè)，因?yàn)?，所以在區(qū)間上遞增，所以，所以，即①成立，所以成立.13．（2022秋·廣東廣州·高三廣州市南武中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，若在點(diǎn)處的切線方程為．(1)求的解析式；(2)求函數(shù)在上的值域．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合切線方程，列式，即可求解函數(shù)的解析式；（2）首先由導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再比較函數(shù)的極值和端點(diǎn)值的大小，求函數(shù)的值域.（1）因?yàn)?，所以，由題意得，所以，；故的解析式為（2）由（1）得，，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值又，，因?yàn)楣屎瘮?shù)在上的最大值為，最小值為，所以在上的值域?yàn)?4．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為4，且在處取得極值．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】(1)遞減區(qū)間是；遞增區(qū)間是，(2)【分析】（1）根據(jù)題意，列出方程組求得，得到，進(jìn)而求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）由題意得到，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與極值，列出不等式組，即可求解.【解析】（1）解：由題意，函數(shù)，可得，因?yàn)楹瘮?shù)在點(diǎn)處的切線斜率為4，且在處取得極值，可得，即，解得，

所以，可得，令，解得或．當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下：－1＋0－0＋2所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是；單調(diào)遞增區(qū)間是，．（2）解：由函數(shù)，，則，函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值，要使得有三個(gè)零點(diǎn)，則滿足，即，解得，所以的取值范圍為．15．（2023·上海·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，證明【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)得，進(jìn)而分和兩種情況討論求解即可；（2）根據(jù)題意證明，進(jìn)而令，再結(jié)合（1）得，研究函數(shù)的性質(zhì)得，進(jìn)而得時(shí)，，即不等式成立.【解析】（1）解：函數(shù)的定義域?yàn)?，，∴?dāng)時(shí)，在上恒成立，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由得，由得，即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）證明：因?yàn)闀r(shí)，證明，只需證明，由（1）知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；所以.令，則，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以.所以時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，16．（2021秋·上海虹口·高三上海市復(fù)興高級中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)，，.(1)當(dāng)時(shí)，解不等式；(2)若對任意的，存在，使得，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）代值計(jì)算并按討論即可.（2）依據(jù)題意可知，進(jìn)行計(jì)算即可.(1)當(dāng)時(shí)，，由，即當(dāng)時(shí)，不符合題意當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，則綜上所述：(2)由題可知：，所以在恒成立，則且在恒成立，由，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞減所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以的最小值為又，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞減所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在的最大值為3所以且，即17．（2021秋·上海長寧·高三上海市延安中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)；（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；（2）若函數(shù)在上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；【答案】（1）當(dāng)a＝0時(shí)，偶函數(shù)；當(dāng)a≠0時(shí)，既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；（2）【分析】（1）為偶函數(shù)，欲判函數(shù)的奇偶性，只需判定的奇偶性，討論a就可判定；（2）將上是增函數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在上大于等于零恒成立即可.【解析】解：（1）當(dāng)a＝0時(shí)，，對，有，∴為偶函數(shù)．當(dāng)a≠0時(shí)，，取，得，，．∴函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．（2），若函數(shù)在上是增函數(shù)，則在上恒成立，又由恒成立可得恒成立，因?yàn)?，所?18．（2021春·上海金山·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的零點(diǎn)；（2）若對任何，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）當(dāng)時(shí)，，欲求函數(shù)的零點(diǎn)，即求對應(yīng)方程的根．由解得的值即可；（2）原不等式變?yōu)?，即．再?gòu)造函數(shù)，研究其最值即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，由得即或解得，所以.所以函數(shù)的零點(diǎn)為.（2）原不等式變?yōu)椋?，故又函?shù)在，上單調(diào)遞增，（增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)），函數(shù)，，所以在上單調(diào)遞減，；所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．19．（2022·上海·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).（1）若，且在上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若對任意，存在使，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由時(shí)，，當(dāng)時(shí)，可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍即為的值域，令對其求導(dǎo)判斷單調(diào)性，求出的值域，進(jìn)而可計(jì)算的值域，即可求解；（2）由得，即，令，則的對稱軸為，由得，所以在上最小值為，再由得，即可求得實(shí)數(shù)b的取值范圍.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，在上有解，當(dāng)時(shí)，，即，令，；由可得或，由可得或，所以在和上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的值域?yàn)椋缘闹涤驗(yàn)?，所以?）由得，即，令，則的對稱軸為，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為，又因?yàn)閷θ我獾暮愠闪?，所以，所以，所以?shí)數(shù)b的取值范圍為.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：一般地，已知函數(shù)，（1）若，，總有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，則的值域是值域的子集．20．（2023秋·江西吉安·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；(2)求的單調(diào)區(qū)間．【答案】(1)(2)答案見解析【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)與切線的關(guān)系求解；(2)根據(jù)導(dǎo)數(shù)結(jié)合不同的值分類討論求解.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，，，曲線在處的切線方程為，即．（2），①當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，由，得，或；由，得，∴在，單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；③當(dāng)時(shí)，恒成立，∴在單調(diào)遞減；④當(dāng)時(shí)，由，得，或；由，得，∴單調(diào)遞減區(qū)間為，，單調(diào)遞增區(qū)間為21．（2022秋·江蘇·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)設(shè)，求在區(qū)間上的最值；(2)討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【答案】(1)最大值為，最小值為(2)在上有兩個(gè)零點(diǎn)【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性即可求最值；(2)討論函數(shù)在在上的單調(diào)性，并用零點(diǎn)的存在性定理確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)，再根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)即可求解.【解析】（1）因?yàn)?，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取最大值；當(dāng)時(shí)，取最小值.（2）先討論在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，由（1）可知，在上遞減，，所以在上遞減，因?yàn)椋栽谏嫌形ㄒ涣泓c(diǎn)，又因?yàn)?，所以是偶函?shù)，所以在上有兩個(gè)零點(diǎn).22．（2022秋·山東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；(2)證明：函數(shù)在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求解.（2）判斷函數(shù)在上單調(diào)性，然后觀察零點(diǎn).【解析】（1）因?yàn)?，且，，所以切線方程為，即所求切線方程為．（2）．因?yàn)椋?，，，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以在上是減函數(shù)，且，所以在上僅有一個(gè)零點(diǎn)．23．（2023秋·寧夏吳忠·高三青銅峽市高級中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)．(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)在上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，(2)【分析】(1)先對函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)已知函數(shù)在上是減函數(shù)，可知知恒成立，利用參數(shù)分離法,求的最大值即可求解.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是（2）由函數(shù)在上是減函數(shù)，知恒成立，．由恒成立可知恒成立，則，設(shè)，則，由，知，函數(shù)在上遞增，在上遞減，∴，∴．24．（2023秋·廣西防城港·高三防城港市高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；(2)若函數(shù)與直線在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）求導(dǎo)，點(diǎn)斜式求切線方程即可；（2）構(gòu)造新函數(shù)，在指定區(qū)間上求最大值，最小值即可解決.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)椋郧悬c(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率為，所以切線方程為，即.（2）由題知，函數(shù)與直線在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，令，所以，因?yàn)椋粤?，得，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上有最大值，因?yàn)椋?，所以，所以在上有最小值，所以在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)的條件是，解得所以實(shí)數(shù)的取值范圍為25．（2022秋·湖北·高三校聯(lián)考期中）已知函數(shù)．(1)若，求的單調(diào)區(qū)間(2)若函數(shù)在處取得極值，求的最大值和最小值．【答案】(1)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，(2)，【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）先由極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為0（且在極值點(diǎn)左右兩側(cè)的符號相反）解得參數(shù)a的值，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（注意：研究函數(shù)的趨近）.【解析】（1）若，有，定義域?yàn)閯t，得；得或所以，的減區(qū)間是，增區(qū)間是，；（2）∵，即：∴∴∴∴當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，∴在，上遞增，在上遞減∴的極大值為，的極小值為.又∵當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，．26．（2022秋·河南周口·高三校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，（為常數(shù)，）.(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；(2)若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)極小值，無極大值；(2).【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性即可求得函數(shù)極值；（2）根據(jù)在區(qū)間上恒成立，列出不等式，求解即可.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，，令，解得.令，解得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；令，解得，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，，無極大值.（2）由題可得，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)，所以在區(qū)間上恒成立，但是不恒等于0.∴在區(qū)間上恒成立，但是不恒等于0.∴，即且，解得.因此實(shí)數(shù)的取值范圍是.27．（2022秋·天津南開·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù)（a為常數(shù)，），且函數(shù)在處的切線和在處的切線互相平行．(1)求常數(shù)a的值；(2)若存在x使不等式（為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)）成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合已知條件，列出關(guān)于的等量關(guān)系，求解即可；（2）對目標(biāo)不等式分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其值域，即可求得參數(shù)范圍.【解析】（1）因?yàn)?，所以函?shù)在處的切線的斜率，又因?yàn)?，所以函?shù)在處的切線的斜率，所以，由，得．（2），即，則，令，則，因?yàn)?，所以，所以，故，所以在上是減函數(shù)，因此，所以存在x使不等式成立，則．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及利用導(dǎo)數(shù)處理存在性問題；第二問中處理問題的關(guān)鍵是分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，屬綜合中檔題.28．（2022秋·北京·高三北京市八一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)在處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間【答案】(1)(2)和【分析】（1）根據(jù)先求解切點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線方程即可；（2）先求解導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)遞減區(qū)間即可.（1）解：，所以，，所以函數(shù)在處的切線方程為，即.（2）解：.又，故當(dāng)和時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為和.29．（2022秋·安徽·高三碭山中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)若，求曲線在處的切線方程；(2)若x=0為函數(shù)的極值點(diǎn)，且函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義即可得到切線方程；（2）由函數(shù)的極值點(diǎn)確定參數(shù)值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可得結(jié)果.（1）依題意，故；而，故，又故所求切線方程為；（2）令，則；，.而，解得，經(jīng)檢驗(yàn)成立所以，故函數(shù)的定義域?yàn)镽；令，解得或；故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；而，，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，作出的大致圖象如圖所示，觀察可知，實(shí)數(shù)的取值范圍為30．（2022秋·海南海口·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得極值.(1)求的單調(diào)區(qū)間