第一節(jié)不定積分的概念與性質(zhì)演示文稿

第一節(jié)不定積分的概念與性質(zhì)演示文稿當(dāng)前第1頁\共有23頁\編于星期六\14點優(yōu)選第一節(jié)不定積分的概念與性質(zhì)當(dāng)前第2頁\共有23頁\編于星期六\14點【原函數(shù)存在定理】：簡言之：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)

(存在性).其證明將在下一章中討論【問題】(1)原函數(shù)是否唯一？【例】（為任意常數(shù)）(2)若不唯一它們之間有什么聯(lián)系？當(dāng)前第3頁\共有23頁\編于星期六\14點【關(guān)于原函數(shù)的說明】（1）若，則對于任意常數(shù)，（2）若和都是的原函數(shù)，則（為任意常數(shù)）【證】（為任意常數(shù)）由P131

定理可知當(dāng)前第4頁\共有23頁\編于星期六\14點任意常數(shù)積分號被積函數(shù)2.【不定積分的定義】被積表達式積分變量當(dāng)前第5頁\共有23頁\編于星期六\14點【例1】求【解】【解】【例2】求當(dāng)前第6頁\共有23頁\編于星期六\14點【例3】設(shè)曲線通過點（1，2），且其上任一點處的切線斜率等于這點橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線方程.【解】設(shè)曲線方程為根據(jù)題意知由曲線通過點（1，2）所求曲線方程為當(dāng)前第7頁\共有23頁\編于星期六\14點顯然，求不定積分得到一積分曲線族由不定積分的定義，可知【結(jié)論】微分運算與求不定積分的運算是互逆的.3.【不定積分的幾何意義】4.【不定積分與微分的關(guān)系】當(dāng)前第8頁\共有23頁\編于星期六\14點【實例】【啟示】能否根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式？【結(jié)論】既然積分運算和微分運算是互逆的，因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式.二、基本積分表當(dāng)前第9頁\共有23頁\編于星期六\14點【基本積分表①】是常數(shù));【說明】……①……②①、②兩式合并當(dāng)前第10頁\共有23頁\編于星期六\14點當(dāng)前第11頁\共有23頁\編于星期六\14點當(dāng)前第12頁\共有23頁\編于星期六\14點【例4】求積分【解】根據(jù)積分公式（2）當(dāng)前第13頁\共有23頁\編于星期六\14點【證】等式成立.（2）此性質(zhì)可推廣到有限多個函數(shù)之和的情況三、不定積分的性質(zhì)右端含有積分號，故有任意常數(shù)【注】（1）即和的積分等于積分的和；1.【可加性】當(dāng)前第14頁\共有23頁\編于星期六\14點(思考：為什么？)【特別注意】此種情況下應(yīng)設(shè)法化乘、除為加、減，再利用性質(zhì)(1)可加性逐項積分2.【數(shù)乘性】【注】可加性和數(shù)乘性統(tǒng)稱線性性質(zhì).當(dāng)前第15頁\共有23頁\編于星期六\14點【例5】求積分【解】性質(zhì)（1）逐項積分當(dāng)前第16頁\共有23頁\編于星期六\14點【例6】求積分【解】當(dāng)前第17頁\共有23頁\編于星期六\14點【例7】求積分【解】當(dāng)前第18頁\共有23頁\編于星期六\14點【例8】【解】【注】這種對分子加一項、減一項或減一項、加一項的恒等變形方法以后經(jīng)常用到.變形化為和式當(dāng)前第19頁\共有23頁\編于星期六\14點【例8】求積分【解】【說明】以上幾例中的被積函數(shù)都需要進行恒等變形，才能使用基本積分公式.當(dāng)前第20頁\共有23頁\編于星期六\14點又如（1）先三角恒等變換再逐項積分先三角恒等變換再逐項積分等等降冪法當(dāng)前第21頁\共有23頁\編于星期六\14點【解】所求曲線方程為當(dāng)前第22頁\共有23頁\編于星