運(yùn)籌學(xué)題庫(kù)第一章

1求解下述線性規(guī)劃問(wèn)題2設(shè)某種動(dòng)物每天至少需要700g蛋白質(zhì)、30g礦物質(zhì)、100mg維生素，現(xiàn)有五種飼料可供選擇，每種飼料每公斤營(yíng)養(yǎng)成分的含量及單價(jià)如表所示。試建立既滿(mǎn)足動(dòng)物生長(zhǎng)需要，又使費(fèi)用最省的選用飼料方案的線性規(guī)劃模型。飼料蛋白質(zhì)/g礦物質(zhì)/g維生素/mg價(jià)格/（元/kg）1310.50.2220.510.7310.20.20.446220.35180.50.80.83某醫(yī)院晝夜24h各時(shí)段內(nèi)需要的護(hù)士數(shù)量如下：2：00—6：0010人，6：00—10：0015人，10：00—14：0025人，14：00—18：0020人，18：00—22：0018人，22：00—2：0012人。護(hù)士分別于2：00，6：00，10：00，14：00，18：00，22：00分6批上班，并連續(xù)工作8小時(shí)。試建立模型，要求既滿(mǎn)足值班需要，又使護(hù)士人數(shù)最少。4某人有一筆30萬(wàn)元的資金，在今后三年內(nèi)有以下投資項(xiàng)目：（1）三年內(nèi)的每年年初均可投資，每年獲利為投資額的20%，其本利可以起用于下一年投資；（2）只允許第一年年初投入，第二年年末可收回，本利合計(jì)為投資額的150%，但此類(lèi)投資限額不超過(guò)15萬(wàn)元；（3）于三年內(nèi)第二年初允許投資，可于第三年末收回，本利合計(jì)為投資額的160%，這類(lèi)投資限額20萬(wàn)元。（4）于三年內(nèi)的第三年初允許投資，一年回收，可獲利40%，投資限額為10萬(wàn)元。試為該人確定一個(gè)使第三年末本利和為最大的投資計(jì)劃。網(wǎng)上下載部分：某廠準(zhǔn)備生產(chǎn)A、B、C三種產(chǎn)品，它們都消耗勞動(dòng)力和材料，如下表：產(chǎn)品名稱(chēng)耗用設(shè)備（臺(tái)時(shí)/件）耗用材料（kg/件）利潤(rùn)（元/件）A633B341C554資源量45（臺(tái)時(shí)）30（kg）試建立能獲得最大利潤(rùn)的產(chǎn)品生產(chǎn)計(jì)劃的線性規(guī)劃模型，并列出初始單純形表。某航空公司為滿(mǎn)足客運(yùn)量日益增長(zhǎng)的需要，正考慮購(gòu)置一批新的遠(yuǎn)程、中程、短程的噴氣式客機(jī)。每架遠(yuǎn)程的噴氣式客機(jī)價(jià)格670萬(wàn)元，每架中程的噴氣式客機(jī)價(jià)格500萬(wàn)元，每架短程的噴氣式客機(jī)價(jià)格350萬(wàn)元。該公司現(xiàn)有資金15000萬(wàn)元可以用于購(gòu)買(mǎi)飛機(jī)。根據(jù)估計(jì)年凈利潤(rùn)每架遠(yuǎn)程客機(jī)42萬(wàn)元，每架中程客機(jī)30萬(wàn)元，每架短程客機(jī)23萬(wàn)元。設(shè)該公司現(xiàn)有熟練駕駛員可用來(lái)配備30架新的飛機(jī)。維修設(shè)備足以維修新增加40架短程的噴氣式客機(jī)，每架中程客機(jī)的維修量相當(dāng)于4/3架短程客機(jī)，每架遠(yuǎn)程客機(jī)的維修量相當(dāng)于5/3架短程客機(jī)。為獲得最大利潤(rùn)，該公司應(yīng)購(gòu)買(mǎi)各類(lèi)飛機(jī)各多少架？(建立模型，不需求解)下表1是某求極大化線性規(guī)劃問(wèn)題計(jì)算得到的單純形表。表中無(wú)人工變量，為待定常數(shù)，。試說(shuō)明這些常數(shù)分別取何值時(shí)，以下結(jié)論成立。（1）表中解為惟一最優(yōu)解；（2）表中解為最優(yōu)解，但存在無(wú)窮多最優(yōu)解；（3）該線性規(guī)劃問(wèn)題具有無(wú)界解；（4）表中解非最優(yōu)，為對(duì)解改進(jìn)，換入變量為，換出變量為表1基41002-1-301-103-500-4100-301.根據(jù)以下條件建立線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型某工廠生產(chǎn)A、B、C三種產(chǎn)品，每種產(chǎn)品的原材料消耗量、機(jī)械臺(tái)時(shí)消耗量以及這些資源的限量，單位產(chǎn)品的利潤(rùn)如下表所示：?jiǎn)挝划a(chǎn)品消耗資源ABC資源限量原材料1.01.54.02000機(jī)械臺(tái)時(shí)2.01.21.01000單位利潤(rùn)101412根據(jù)客戶(hù)訂貨，三種產(chǎn)品的最低月需要量分別為200，250和100件，最大月銷(xiāo)售量分別為250，280和120件。月銷(xiāo)售分別為250，280和120件，問(wèn)如何安排生產(chǎn)計(jì)劃，使總利潤(rùn)最大？解：設(shè)X1,X2,X3分別設(shè)代表三種產(chǎn)品的產(chǎn)量，則線性規(guī)劃模型為maxZ=10X1+14X2+12X3s·tX1+1.5X2+4X3≤20002X1+1.2X2+X3≤1000200≤X1≤250250≤X1≤280X1，X2，X3≥02.把下列線性規(guī)劃問(wèn)題化成標(biāo)準(zhǔn)形式：答：maxZ’=－5x1+2x23.把下列線性規(guī)劃問(wèn)題化成標(biāo)準(zhǔn)形式：minZ=2x1-x2+2x3答：5.根據(jù)所給條件建立線性規(guī)劃模型。某建筑工地有一批長(zhǎng)度為10米的相同型號(hào)的鋼筋，今要截成長(zhǎng)度為3米的鋼筋90根，長(zhǎng)度為4米的鋼筋60根，問(wèn)怎樣下料，才能使所使用的原材料最省?答：將10米長(zhǎng)的鋼筋截為3米和種種類(lèi)長(zhǎng)度ⅠⅡⅢ34021120設(shè)X1，X2，X3分別表示采用Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ種下料方式的鋼筋數(shù)，則線性規(guī)劃模型可寫(xiě)成：minZ=X1+X2+X3s·t2X2+3X3≥902X1+X2≥60X1，X2，X3≥01.下表為用單純形法計(jì)算時(shí)某一步的表格。已知該線性規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)為maxZ=5x1+3x2，約束形式為“≤”，X3，X4為松馳變量，表中解代入目標(biāo)函數(shù)后得Z=10XlX2X3X4－10b-1fgX32CO11／5Xlade01（1）求表中a～g的值（2）表中給出的解是否為最優(yōu)解?解：（1）a=2b=0c=0d=1e=4/5f=0g=－5（2）表中給出的解為最優(yōu)解2.用單純形法求解下列線性規(guī)劃問(wèn)題：maxZ=3x1+5x2x1≤15s·t 2x2≤123x1+2x2≤18x1，x2≥0解：化為標(biāo)準(zhǔn)形式maxZ=3x1＋5x2＋x3＋0x4＋0x5s·tx1+x3=152x2+x5=123x1+2x2+x5=18xj≥0（j=1,……，5）cj35000CBxBbx1x2x3x4x50x3150x4120x518101000（2）01032001cj－zj350000x3150x460x56101000101/20（3）00－11cj－zj300－5/200x3135x263x120011/3－1/30101/20100－1/31/2cj－zj000－3/2－1最優(yōu)解X﹡=（2，6，13，0，0）TZ﹡=363.用大M法求解下列線性規(guī)劃問(wèn)題解：化為標(biāo)準(zhǔn)形式maxZ=x1+2x2+3x3－x4－mx5－mx6s·tx1+2x2+3x3+x5=152x1+x2+5x3+x6=20x1+2x2+x3+x4=10xj≥0（j=1,……，6）cj123–1–M–MCBxBbx1x2x3x4x5x6－Mx515－Mx620－1x4101230102150011（2）1100cj－zj4M+15M+29M+3000－Mx55－Mx6152x25002-110（3/2）04/2-1/2011/211/21/200cj－zjM0M+2-M+200－Mx551x1102x2000（2）-110103-1/302/30112/30-1/3cj－zj002M+2-M-20-M3x15/21x15/22x25/2001-1/21/201007/6-3/22/301011/2-1/3cj－zj000-7/2-M-1-Mx*=（，，，0，0，0）T，z*=154.用單純形法求解線性規(guī)劃問(wèn)題minZ=－2x1+x2+x3s·t3x1+x2+x3≤60x1－x2+2x3≤10x1+x2－x3≤20xj≥0（j=1,2，3）解：化為標(biāo)準(zhǔn)形式maxZ’=2x1－x2＋x3s·t3x1+x2+x3+x4=60x1－x2+2x3+x5=10x1+x2－x3+x6=20xj≥0（j=1,……，6）cj2－11000CBxBbx1x2x3x4x5x60x4600x5100x620311100（1）－1201011－1001cj－zj2－110000x4300x1100x61004－51－301－120100（2）－30－11cj－zj01－30－200x4102x115－1x250011－1－2101/201/21/201－3/20－1/21/2cj－zj00－5/20－1/2－1/2最優(yōu)解X﹡=（15，5，0，10，0，0）TZ﹡=－25福安商場(chǎng)是個(gè)中型的百貨商場(chǎng)，它對(duì)售貨人員的需求經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)分析如下表所示，為了保證售貨人員充分休息，售貨人員每周工作五天，休息兩天，并要求休息的兩天是連續(xù)的，問(wèn)該如何安排售貨人員的休息，既滿(mǎn)足了工作需要，又使配備的售貨人員的人數(shù)最少，請(qǐng)列出此問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。時(shí)間所需售貨人員數(shù)時(shí)間所需售貨人員數(shù)星期一28星期五19星期二15星期六3l星期三24星期日28星期四25．加入人工變量，化原問(wèn)題為標(biāo)準(zhǔn)形最優(yōu)單純形表如下：三、（15分）某廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，這兩種產(chǎn)品均需要A、B、C三種資源，每種產(chǎn)品的資源消耗量及單位產(chǎn)品銷(xiāo)售后所能獲得的利潤(rùn)值以及這三種資源的儲(chǔ)備如下表所示：ABC甲94370乙46101203602003001）建立使得該廠能獲得最大利潤(rùn)的生產(chǎn)計(jì)劃的線性規(guī)劃模型；（5分）2）用單純形法求該問(wèn)題的最優(yōu)解。（10分）解：1）建立線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型：設(shè)甲、乙產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量應(yīng)為x1、x2，則x1、x2≥0，設(shè)z是產(chǎn)品售后的總利潤(rùn)，則maxz=70x1+120x2s.t.2）用單純形法求最優(yōu)解：加入松弛變量x3，x4，x5，得到等效的標(biāo)準(zhǔn)模型：maxz=70x1+120x2+0x3+0x4+0x5s.t.列表計(jì)算如下：CBXBb70120000θLx1x2x3x4x50x336094100900x420046010100/30x53003（10）001300000070120↑0000x324039/5010-2/5400/130x420（11/5）001-3/5100/11120x2303/101001/1010036120001234↑000－120x31860/11001－39/1119/1170x1100/111005/11-3/11120x2300/11010-3/222/11701200170/1130/11000-170/11－30/11∴X*=（，，，0，0）T∴maxz=70×+120×=用大M法或?qū)ε紗渭冃畏ㄇ蠼馊缦戮€性規(guī)劃模型：minz=5x1＋2x2＋4x3解：用大M法，先化為等效的標(biāo)準(zhǔn)模型：maxz/=－5x1－2x2－4x3s.t.增加人工變量x6、x7，得到：maxz/=－5x1－2x2－4x3－Mx6－Mx7s.t大M法單純形表求解過(guò)程如下：CBXBb－5－2－400－M－MθLx1x2x3x4x5x6x7－Mx64（3）12－10104/3－Mx7106350－1015/3－9－4－7MM－M－M9M－54M7M－M－M00－5x14/311/32/3－1/301/30——－Mx72011（2）－1－211－5-M－5/3-M－10/3-2M2M-M0M－1/3M－2/32M－5/3－M－3M0－5x15/311/25/60－1/601/610/30x410（1/2）1/21－1/2－11/22－5－5/2－25/605/60－5/601/2↑1/60－5/6－M－M+5/6－5－2x12/3101/3－11/31－1/3x220112－1－21－－5－2－11/311/3－1－1/300－1/3－1－1/3－M+1－M+1/3∴x*=（，2，0，0，0）T最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值minz=－maxz/=－（－）=一家工廠制造甲、乙、丙三種產(chǎn)品，需要三種資源——技術(shù)服務(wù)、勞動(dòng)力和行政管理。每種產(chǎn)品的資源消耗量、單位產(chǎn)品銷(xiāo)售后所能獲得的利潤(rùn)值以及這三種資源的儲(chǔ)備量如下表所示：技術(shù)服務(wù)勞動(dòng)力行政管理單位利潤(rùn)甲110210乙1426丙1564資源儲(chǔ)備量1006003001）建立使得該廠能獲得最大利潤(rùn)的生產(chǎn)計(jì)劃的線性規(guī)劃模型；（5分）2）用單純形法求該問(wèn)題的最優(yōu)解。（10分）解：1）建立線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型：設(shè)甲、乙、丙三種產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量應(yīng)為x1、x2、x3，則x1、x2、x3≥0，設(shè)z是產(chǎn)品售后的總利潤(rùn)，則maxz=10x1+6x2+4x3s.t.2）用單純形法求最優(yōu)解：加入松弛變量x4，x5，x6，得到等效的標(biāo)準(zhǔn)模型：maxz=10x1+6x2+4x3+0x4+0x5+0x6s.t.列表計(jì)算如下：CBXBb1064000θLx1x2x3x4x5x60x41001111001000x5600（10）45010600x630022600115000000010↑640000x4400（3/5）1/21－1/100200/310x16012/51/201/1001500x618006/550－1/51150104501002↑－10－106x2200/3015/65/3－1/6010x1100/3101/6－2/31/600x6100004－20110620/310/32/3000－8/3－10/3－2/30∴X*=（，，0，0，0，100）T∴maxz=10×+6×=化為標(biāo)準(zhǔn)型minZ=2x1+x2-2x3-x1+x2+x3=4-x1+x2-x3≤6x1≤0，x2≥0,x3無(wú)約束某廠生產(chǎn)甲、乙、丙三種產(chǎn)品，已知有關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示：消耗產(chǎn)品原料甲乙丙原料量A63545B34530單件利潤(rùn)415求使該廠獲利最大的生產(chǎn)計(jì)劃。目標(biāo)函數(shù)為maxZ=28x4+x5+2x6，約束形式為“≤”，且x1，x2，x3為松弛變量，表中的解代入目標(biāo)函數(shù)中得Z=14，求出a~g的值，并判斷是否最優(yōu)解。Cj0002812CBXBbx1x2x3x4x5x62x6a30-14/30110x256d205/2028x400ef100Cj-Zjbc00-1g一、分別用人工變量法和兩階段法求解下列線性規(guī)劃問(wèn)題maxz=-2x1-3x2-x3x1+4x2+2x3>=83x1+2x2>=6x1,x2,x3>=0三、某文教用品廠利用原材料白坯紙生產(chǎn)原稿紙、日記本和練習(xí)本三種產(chǎn)品。該廠現(xiàn)有工人100人，每天白坯紙的供應(yīng)量為30000千克。如單獨(dú)生產(chǎn)各種產(chǎn)品時(shí)，每個(gè)工人每天可生產(chǎn)原稿紙30捆，或日記本30打，或練習(xí)本30箱。已知原材料消耗為：每捆原稿紙用白坯紙10/3千克，每打日記本用白坯紙40/3千克，每箱練習(xí)本用白坯紙80/3千克。已知生產(chǎn)各種產(chǎn)品的盈利為:每捆原稿紙1元，每打日記本兩元，每箱練習(xí)本3元。試決定：（1）在現(xiàn)有生產(chǎn)技術(shù)條件下，使該廠盈利最大的方案。（2）如白坯紙供應(yīng)量不變，而工人的數(shù)量不足時(shí)可從市場(chǎng)上招收臨時(shí)工，臨時(shí)工費(fèi)用為每人每天15元。問(wèn)該廠應(yīng)否招收臨時(shí)工及招收多少人為宜。3、某飼養(yǎng)場(chǎng)需飼養(yǎng)動(dòng)物，設(shè)每頭動(dòng)物每天至少需700g蛋白質(zhì)、30g礦物質(zhì)、100mg維生素?，F(xiàn)有五種飼料可供選用，各種飼料每kg營(yíng)養(yǎng)成分含量及單價(jià)如表1-8所示。

要求確定既滿(mǎn)足動(dòng)物生長(zhǎng)的營(yíng)養(yǎng)需要,又使費(fèi)用最省的選用飼料的方案。列解模型(40分)某灌區(qū)的開(kāi)發(fā)，涉及三種主要的限制資源，可能安排的作物有三種，種植各種作物每畝所需要的資源及其凈收益見(jiàn)表1。資源名稱(chēng)單位可利用資源數(shù)各種作物所需資源數(shù)玉米水稻棉花土地畝100111肥料100公斤50000.5水10080120各種作物每畝凈收益304012試列出使灌區(qū)的總收益最大的線性規(guī)劃模型。應(yīng)用單純形法求解該模型。4．（15分）某農(nóng)場(chǎng)生產(chǎn)四種農(nóng)作物，每種農(nóng)作物的成本和利潤(rùn)如下：農(nóng)作物肥料（公斤/畝）殺蟲(chóng)劑（公斤/畝）利潤(rùn)（元）蘿卜4250包心菜2940洋蔥5210土豆0320目前農(nóng)場(chǎng)有400公斤肥料和500公斤殺蟲(chóng)劑，問(wèn)每種農(nóng)作物種植多少畝才使利潤(rùn)最大？）某公司生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，生產(chǎn)所需原材料、工時(shí)和零件等有關(guān)數(shù)據(jù)如下：甲乙可用量原材料（噸/件）工時(shí)（工時(shí)/件）零件（套/件）2252.513000噸4000工時(shí)500套產(chǎn)品利潤(rùn)（元/件）43要求：⑴建立使利潤(rùn)最大的生產(chǎn)計(jì)劃的數(shù)學(xué)模型；⑵將數(shù)學(xué)模型化為標(biāo)準(zhǔn)形式；⑶用表解形式的單純形法求解；⑷求最大利潤(rùn)。解：⑴設(shè)甲、乙兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量為x1、x2，∵x1、x2≥0設(shè)z為產(chǎn)品售后總利潤(rùn)，則maxz=4x1+3x2s.t.⑵加入松弛變量x3，x4，x5，得到等效的標(biāo)準(zhǔn)形式：maxz=4x1+3x2+0x3+0x4+0x5s.t.⑶用表解形式的單純形法求解，列表計(jì)算如下：CBXBb43000θLx1x2x3x4x50x33000221003000/2=15000x4400052.50104000/5=8000x5500（1）0001500/1=500000004↑30000x320000210-22000/2=10000x415000（2.5）01-51500/2.5=6004x150010001——4000403↑00-40x3800001-0.8（2）800/2=4003x26000100.4-2——4x150010001500/1=5004301.2-2000-1.22↑0x5400000.5-0.413x21400011-0.404x110010-0.50.4046004310.4000-1-0.40據(jù)上表，X*=（100，1400，0，0，400）T⑷最大利潤(rùn)maxz=4×100+3×1400=4600（元）33.一家晝夜服務(wù)的飯店，24小時(shí)中需要的服務(wù)員數(shù)如題33表：題33表起迄時(shí)間服務(wù)員的最少人數(shù)2∶00—6∶0046∶00—10∶00810∶00—14∶001014∶00—18∶00718∶00—22∶001222∶00—2∶004每個(gè)服務(wù)員每天連續(xù)工作8小時(shí)，且在時(shí)段時(shí)上班。問(wèn)題的目標(biāo)是求滿(mǎn)足以上要求的最少上班人數(shù)，試對(duì)這個(gè)問(wèn)題建立線性規(guī)劃模型。34.求出線性規(guī)劃問(wèn)題：的最優(yōu)解。1、消費(fèi)者購(gòu)買(mǎi)某一時(shí)期需要的營(yíng)養(yǎng)物（如大米、豬肉、牛奶等），希望獲得其中的營(yíng)養(yǎng)成分（如：蛋白質(zhì)、脂肪、維生素等）。設(shè)市面上現(xiàn)有這3種營(yíng)養(yǎng)物，其分別含有各種營(yíng)養(yǎng)成分?jǐn)?shù)量，以及各營(yíng)養(yǎng)物價(jià)格和根據(jù)醫(yī)生建議消費(fèi)者這段時(shí)間至少需要的各種營(yíng)養(yǎng)成分的數(shù)量（單位都略去）見(jiàn)下表。營(yíng)養(yǎng)物營(yíng)養(yǎng)成分營(yíng)養(yǎng)物營(yíng)養(yǎng)成分甲乙丙至少需要的營(yíng)養(yǎng)成分?jǐn)?shù)量A462080B11265C10370D21735450價(jià)格252045問(wèn)：消費(fèi)者怎么購(gòu)買(mǎi)營(yíng)養(yǎng)物，才能既獲得必要的營(yíng)養(yǎng)成分，而花錢(qián)最少？只建立模型，不用計(jì)算。解：設(shè)購(gòu)買(mǎi)甲、乙、丙三種營(yíng)養(yǎng)物的數(shù)量分別為則根據(jù)題意可得如下線性規(guī)劃模型：2.將下列線性規(guī)劃化為標(biāo)準(zhǔn)形式(1)3．用單純形法求解下列線性規(guī)劃6某投資人現(xiàn)有下列四種投資機(jī)會(huì),三年內(nèi)每年年初都有3萬(wàn)元（不計(jì)利息）可供投資：方案一：在三年內(nèi)投資人應(yīng)在每年年初投資，一年結(jié)算一次，年收益率是20％，下一年可繼續(xù)將本息投入獲利；方案二：在三年內(nèi)投資人應(yīng)在第一年年初投資，兩年結(jié)算一次，收益率是50％，下一年可繼續(xù)將本息投入獲利，這種投資最多不超過(guò)2萬(wàn)元；方案三：在三年內(nèi)投資人應(yīng)在第二年年初投資，兩年