數(shù)量積-向量積-混合積課件

sF解:

由物理知,與位移平行的分力作功,與位移垂直的分力不作功.于是第二節(jié)數(shù)量積向量積混合積一、兩向量的數(shù)量積(ScalarProduct)例如:設(shè)力F作用于某物體上,物體有一段位移S,求功的表示式.結(jié)論兩向量的數(shù)量積等于其中一個(gè)向量的模和另一個(gè)向量在這向量的方向上的投影的乘積.定義數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)。數(shù)量積也記作或稱為“點(diǎn)積”、“內(nèi)積”.1.數(shù)量積的定義關(guān)于數(shù)量積的說明：證證(1)交換律(2)結(jié)合律(3)分配律事實(shí)上,當(dāng)時(shí),顯然成立;2.數(shù)量積的運(yùn)算規(guī)律利用向量證明三角形的余弦定理例1證3.數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式設(shè)在直角坐標(biāo)系下，4.兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式由此可知兩向量垂直的充要條件為

解已知

例2,求;(2)(1)與的夾角.二、兩向量的向量積(VectorProduct)先研究物體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的力矩M的方向:垂直于OP與F所在的平面,指向使OP、F與M滿足右手規(guī)則.定義向量積也稱為“叉積”、“外積”.向量積是一個(gè)向量1.向量積的定義

（1）兩向量的向量積的幾何意義:(i)表示以和為鄰邊的平行四邊形的面積.其中

(ii)ab的方向與一切既平行于a

又平行于b

的平面相垂直.證證畢兩個(gè)非零向量共線它們的向量積＝0向量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1）（2）分配律：（3）若為數(shù)：例32.向量積的運(yùn)算規(guī)律例4設(shè)向量不共線，若向量與求k的值.共線，解:,即由于,所以,故由于例5證明:并由此證明關(guān)于三角形面積的海倫(Heron)公式：其中a,b,c是三角形的三邊長，s是周長的一半，S表示面積.3.向量積的坐標(biāo)表示式設(shè)在空間直角坐標(biāo)系下向量積還可用三階行列式表示3.向量積的坐標(biāo)表示式例6解三角形ABC的面積為例7解三、向量的混合積定義或混合積是一個(gè)實(shí)數(shù)設(shè)已知三個(gè)向量，先作向量的向量積，把所得到的向量與第三個(gè)向量再作數(shù)量積，這樣得到的數(shù)量叫做三向量的混合積.記作1.混合積的定義2.向量混合積的幾何意義為棱作平行六面體,高故平行六面體體積為則其底面積混合積表示以平行六面體的有向體積.為棱的設(shè)3.向量混合積的坐標(biāo)表達(dá)式在空間直角坐標(biāo)系下混合積的坐標(biāo)表達(dá)式4.混合積的性質(zhì)(可用三階行列式推出)三個(gè)向量共面的判定定理證明共面，則當(dāng)若時(shí)，//，顯然當(dāng)不平行于時(shí)，垂直于所在的平面，因而，有若，逆推也成立.解例6例7解式中正負(fù)號(hào)的選擇必須和行列