2015屆高考數(shù)學(xué)文科一輪總復(fù)習(xí)資源4篇三角函數(shù)解三角形

第5講 兩角和與差的正弦、余弦和正切知識(shí)梳理tan(α±β)＝

tan

α±tan

β1?tan

αtan

β.1．兩角和與差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝

sin

αcos

β±cos

αsin

β

.cos(α?β)＝

cos

αcos

β±sin

αsin

β

.1－tan2α.tan

2α＝

2tan

α

.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝

2sin

αcos

α

.cos

2α＝cos2α－sin2α＝

2cos2α－1＝

1－2sin2α3．有關(guān)公式的逆用、變形等

2

(2)cos2α＝1＋cos

2α，sin2α＝21－cos

2α.

(3)1＋sin

2α＝(sin

α＋cos

α)2，1－sin

2α＝(sin

α－cos

α)2，sin

α±cos

α＝

α±π2sin

4.(1)tan

α±tan

β＝

tan(α±β)(1 tan

αtan

β)

．4．函數(shù)

f(α)＝asin

α＋bcos

α(a，b

為常數(shù))，可以化為

f(α)＝

a2＋b2asin(α＋φ)，其中tan

φ＝b.辨析感悟1．對(duì)兩角和與差的三角函數(shù)公式的理解(1)兩角和與差的正弦、余弦公式中的角α，β

是任意的．(√)(2)存在實(shí)數(shù)

α，β，使等式

cos(α＋β)＝cos

α＋cos

β.

(√)(3)(教材練習(xí)改編)cos

80°cos

20°－sin

80°sin

20°＝cos(80°－20°)＝cos

60°＝1.

(×)21－tan

θ(4)(教材習(xí)題改編)1＋tan

θ

π

＝tan4＋θ.

(×)(5)(2014·湘潭月考改編)設(shè)tan

α，tan

β

是方程x2－3x＋2＝0

的兩根，則

tan(α＋β)＝－3.

(√)2．對(duì)二倍角公式的理解2(6)cos

θ＝2cos2θ－1＝1－2θ2sin

2.(√)

3(7)(2013·江西卷改編)若

sin

α

，則2＝

3cos

α＝－31.(×)(8)y＝sin

2xcos2x

的最大值為1.(×)2(9)(2013·新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷改編)已知sin

2α＝3，

2

π1則cos

α＋4＝6.(√)[感悟·提升]一個(gè)防范

運(yùn)用公式時(shí)要注意審查公式成立的條件，要注意和差、倍角的相對(duì)性，要注意升冪、降冪的靈活運(yùn)用．考點(diǎn)一

三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值問題【例1】(1)(2012·重慶卷改編)sin

47°－sin

17°cos

30°cos

17°＝

.(2)cos2α－sin2α2tan4－αcos2π

π4－α＝

.解析

(1)sin

47°－sin

17°cos

30°

cos

17°＝＝sin(30°＋17°)－sin

17°cos

30°

cos

17°sin

30°cos

17°＋cos

30°sin

17°－sin

17°cos

30°

cos

17°cos

17°＝sin

30°cos

17°

1＝sin

30°＝2.(2)原式＝cos2α－sin2απ

2sin

－α

πcos4－α2

4

π

·cos

4－α＝cos2α－sin2α

π

π

2sin4－αcos4－α＝cos

2α

πsin2－2αcos

2α＝cos

2α＝1.答案

(1)12(2)1規(guī)律方法

(1)技巧：①尋求角與角之間的關(guān)系，化非特殊角為特殊角；②正確靈活地運(yùn)用公式，通過三角變換消去或約去一些非特殊角的三角函數(shù)值；③一些常規(guī)技巧：“1”的代換、和積互化等．(2)常用方法：異名三角函數(shù)化為同名三角函數(shù)，異角化為同角，異次化為同次，切化弦，特殊值與特殊角的三角函數(shù)互化．【訓(xùn)練

1】

(1)化簡(jiǎn)：[2sin

50°＋sin

10°(1＋

3tan

10°)]·

2sin280°＝(2)化簡(jiǎn)：

.θθ(1＋sin

θ＋cos

θ)sin

2－cos

22＋2cos

θ(0<θ<π)＝

；解析(1)原式＝2sin

50°＋sin

10°·cos

10°cos

10°＋

3sin

10°·2sin

80°＝2sin

50°＋2sin

10°·21cos

10°＋

3sin

10°2cos

10°·2cos

10°＝22[sin

50°·cos10°＋sin

10°·cos(60°－10°)]＝2

2sin(50°＋10°)＝2

2×23＝6.(2)原式＝22θθ

θ

θθ2sin

2cos

2＋2cos

sin

2－cos

24cos2θ2θ2θcos

sin

2－cos2θ

2

2＝cos

θ＝－θ

2

cos

·cos

θ

cos

θ2

2.θ

π

θ因?yàn)?/p>

0<θ<π，所以

0<2<2，所以

cos

2>0，所以原式＝－cos

θ.答案

(1)

6 (2)－cos

θ考點(diǎn)二

三角函數(shù)的給角求值與給值求角問題

βα

π

1

2【例2】(1)已知0<β<2<α<π，且cosα－2＝－9，sin2－β＝3，求cos(α＋β)的值；21(2)已知

α，β∈(0，π)，且

tan(α－β)＝1

tan

β＝－

，求

2α，

7－β

的值．π解

(1)∵0<β<2<α<π，π

α

π

π

β∴－4<2－β<2，4<α－2<π，

∴cos2－β＝

1－sin2α

α

2－β

＝

53，

βsinα－＝2

β1－cos

α－

＝4

52

9，∴cos2α＋β2

β

α

2

2

＝cosα－

－

－β

β

α

β

α

2

2

2

2

＝cosα－

cos

－β＋sinα－

sin

－β

1

5

4

5

2

7

5＝－9×

3

＋

9

×3＝

27

，∴cos(α＋β)＝2cos2α＋β－1＝22

×72923949×5－1＝－729.tan(α－β)＋tan

β(2)∵tan

α＝tan[(α－β)＋β]＝1－tan(α－β)tan

β＝1－12

711＋2×711＝3>0，∴0<α<π2，

2tanα又∵tan

2α＝1－2tan

α12×331－

23＝

1

＝4>0，∴0<2α<π2，tan

2α－tan

β∴tan(2α－β)＝1＋tan

2αtan

β＝3

14＋731－4×71＝1.∵tan

β＝－7π1<0，∴

<β<π，－π<2α－β<0，2∴2α－β＝－3π4

.規(guī)律方法

(1)給值求值問題一般是正用公式將所求“復(fù)角”展開，看需要求相關(guān)角的哪些三角函數(shù)值，然后根據(jù)角的范圍求出相應(yīng)角的三角函數(shù)值，代入展開式即可．(2)通過求所求角的某種三角函數(shù)值來求角，關(guān)鍵點(diǎn)在選取函數(shù)，常遵照以下原則：①已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù)；②已知正、

π2余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù)；若角的范圍是0，，選正、余ππ2

2弦皆可；若角的范圍是(0，π)，選余弦較好；若角的范圍為－，，選正弦較好．1cos(α－β)＝13π14，且0<β<α<2，【訓(xùn)練2】已知cos

α＝7，求tan2α

的值；求β.解

(1)∵cos

α＝17π2，0<α<

，∴sin

α＝4

37，∴tan

α＝4

3，∴tan

2α＝

2tan

α1－tan2α2×4

3＝

1－48

＝－

478

3.(2)∵0<β<α<ππ2，∴0<α－β<2，∴sin(α－β)＝3143，∴cos

β＝cos[α－(α－β)]＝cos

αcos(α－β)＋sin

αsin(α－β)1

13

4

3

3

3

1＝7×14＋

7

×

14

＝2.∴β＝π3.考點(diǎn)三

三角變換的簡(jiǎn)單應(yīng)用【例3】已知f(x)＝1＋

1

tanx2

π

π4

4sin

x－2sinx＋

·sinx－

.(1)若tan

α＝2，求f(α)的值；

π

π12

2(2)若

x∈

，

，求

f(x)的取值范圍．2

π解

(1)f(x)＝(sin

x＋sin

xcos

x)＋2sinx＋4·

πcosx＋4＝1－cos

2x

21

π＋2sin

2x＋sin2x＋2＝1

12＋2(sin

2x－cos

2x)＋cos

2x＝1

12(sin

2x＋cos

2x)＋2.2sin2α＋cos2α

tan

α＋1由

tanα＝2，得sin

2α＝

2sin

αcosα

＝

2tan

α

＝54.cos2α－sin2αcos

2α＝sin2α＋2cos

α1－tan2α＝

＋21 tan

α3＝－5.所以，f(α)＝1

n

2α2(si＋cos

2α)＋2＝51

3.(2)由(1)得

f(x)＝1

n

2x＋cos

2x)＋12(si2π

2

1＝

2

sin2x＋4＋2.由x∈12

π

π，，得2x＋∈，π

5π

5π2

4

12 4

.

2

π∴－

2

≤sin2x＋4≤1，∴0≤f(x)≤

2＋12，所以f(x)的取值范圍是0，

2＋12.規(guī)律方法

(1)將f(x)化簡(jiǎn)是解題的關(guān)鍵，本題中巧妙運(yùn)用“1”的代換技巧，將sin2α，cos2α

化為關(guān)于正切tanα的關(guān)系式，為第(1)問鋪平道路．(2)把形如

y＝asin

x＋bcos

x

化為

y＝

a2＋b2sin(x＋φ)，可進(jìn)一步研究函數(shù)的周期、單調(diào)性、最值與對(duì)稱性．

π【訓(xùn)練3】已知函數(shù)f(x)＝4cos

x·sinx＋6－1.(1)求f(x)的最小正周期；

ππ(2)求f(x)在區(qū)間－6，4上的最大值和最小值．

π解

(1)因?yàn)?/p>

f(x)＝4cos

xsinx＋6－1＝4cos

x

31

2

2sin

x＋

cos

x－1＝

3sin

2x＋2cos2x－1＝

3sin

2x＋cos

2x

π＝2sin2x＋6，所以f(x)的最小正周期為π.(2)因?yàn)椋?/p>

π

π

π

2π

6≤x≤4，所以－6≤2x＋6≤

3

.π

π于是，當(dāng)2x＋6＝2，6π即x＝時(shí)，f(x)取得最大值2；π

π當(dāng)2x＋6＝－6，即xπ＝－6時(shí)，f(x)取得最小值－1.重視三角函數(shù)的“三變”：“三變”是指“變角、變名、變式”；變角：對(duì)角的分拆要盡可能化成同名、同角、特殊角；變名：盡可能減少函數(shù)名稱；變式：對(duì)式子變形一般要盡可能有理化、整式化、降低次數(shù)等．在解決求值、化簡(jiǎn)、證明問題時(shí)，一般是觀察角度、函數(shù)名、所求(或所證明)問題的整體形式中的差異，再選擇適當(dāng)?shù)娜枪胶愕茸冃危阎徒呛瘮?shù)值，求單角或和角的三角函數(shù)值的技巧：把已知條件的和角進(jìn)行加減或二倍角后再加減，觀察是不是常數(shù)角，只要是常數(shù)角，就可以從此入手，給這個(gè)等式兩邊求某一函數(shù)值，可使所求的復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化．3．熟悉三角公式的整體結(jié)構(gòu)，靈活變換．本節(jié)要重視公式的推導(dǎo)，既要熟悉三角公式的代數(shù)結(jié)構(gòu)，更要掌握公式中角和函數(shù)名稱的特征，要體會(huì)公式間的聯(lián)系，掌握常見的公式變形，倍角公式應(yīng)用是重點(diǎn)，涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其變形．教你審題3——三角函數(shù)求值中的變角問題

π4【典例】(2012·江蘇卷)設(shè)α

為銳角，若cosα＋6＝5，則

π

sin2α＋12的值為

．[審題]

π4一審條件：cosα＋6＝5，α

為銳角，二審問題：sin

12

2α＋

π

＝？

ππ

π

π

π三找關(guān)系：2α＋12＝2α＋3－4＝2α＋6－4，解題變得明朗化！

π4解析

∵α

為銳角且

cosα＋6＝5，ππ

2π∴α＋6∈6，

3

，

π3∴sinα＋6＝5.

π

π

π∴sin2α＋12＝sin2α＋6－4

π＝sin2α＋6cosπ4

π6－cos

2α＋

sinπ4＝

2sin

α6

π

π6＋

cos

α＋

－2

22