華南理工2005數(shù)學分析試題和解答

博士家園華南理工大學2005年攻讀碩士學位研究生入學考試試題Zhubin846152注：本題在解答過程中，參考了博士家園論壇的意見，特別是10、11題的解答，在此表示感謝！給出了3、一、設(shè)xa0,xx22ax2a2.求極限limxn1n1nnnx，又解：顯然有xxa2a2a0n1a12a11xxnn1nn即，序列為單調(diào)減小，且有下界，故存在極限，不妨設(shè)limxA，則對nnxx22ax2a2AA22aA2a2兩邊取極限，得Aalimxa，即，故nn1nnn二、求積分x3dyy3dxxy21,逆時針為正向.,其中C是圓:2x4y4C，有解：令xcos,ysin,0，22cos4sind22x3dyy3dxx4y4cos2sin222cos2sind4C001321-sin22d220三、討論函數(shù)序列ftsinnt0,在上的一致收斂性.ntn解：利用定義來做，就可以了。f(t)sinntnnt利用定義來做：f(t)limf(t)0nn1(1)0,0,t,N,0|f(t)f(t)||sinnt||1ntn|n(2)0,0,0t,n0|f(t)f(t)||sinnt|t|sinnt|tntnnt令(0,2)，根據(jù)一致收斂的定義知，上式一致收斂于0博士家園1博士家園z0所確定.證明:yzzyzzxyzzx,y,yFxx四、設(shè)由方程xyx0兩邊分別對x和y求偏導(dǎo)數(shù)，zz,yFx證明:yx1z1z11z1z1F1Fz0,F0zF1yxxxxyyyxy121222z1FFzFF2zzy2x121,2從而有，x，F(xiàn)FFFy1212yxyxFFzzxy1F1yy2FF2Fz12zzyxFF2yxx12x故有yyx2zxyFFFF12x112yxyx即，問題得證.f01,f02,五、設(shè)是偶函數(shù),在x0的某個鄰域中有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù),fx1nf1試證明無窮級數(shù)絕對收斂.n1fxx0證明:由題意,可寫出的在處的Taylor展開式fxf0f0x2ox1xox2222!1n111o，故，nn2f從而有2，而級數(shù)為收斂的，111oo21112n2nnnnnn2n222222n11nf1由比較判別法知，級數(shù)為絕對收斂的，問題得證.n1六、設(shè)曲線由方程組yytxxtxy2t1t1t0確定.求該曲線在處的切線tey2xy2方程和法平面方程.（注：原題為法線方程，個人覺得曲線不可能有法線，只能有法平面，平面才能有法線）解:博士家園2博士家園Fxy2t1t11xy1當t0時，,有，x1,y0由題意得：，2xy2Ftey2xy-221Dx,yt022tey12DF,FDF,F23,-3,121tey1Dt,x12t0t0t01tey1DF,F3,12Dy,t2-2teyt0t0tx1y3t3x-13y0，-33-tx1y故，有切線方程，法平面3txy1也即切線方程，法平面1nn1xn2n的收斂域,并求該級數(shù)的和.七、求冪級數(shù)解:收斂半徑Rn011,limn1nn1n2n1nn1,顯然為發(fā)散的.同樣級數(shù)在處也發(fā)散.x1n2x1當時,級數(shù)變?yōu)閚0從而,收斂域為1,1.nfx1nn1xnn2-xn-xn-xnx1,1當時，有n2n0對第一部分，n12nn12fxn2xn-xn-x-xn1-x-xn1-x-xn-1n0n1n0n0n1第二部分，n1-xfx2n-xn-xn-x-x-x-xn1nn1n0n1n0n0-xx-x1x1x2xx1，1x3xfx-x故1x12x1xfx同樣，對第三部分，，3博士3家園博士家園xx1xx1xx2xx2xx32x2xxx3原式從而有1x1x1x1x3323xdydzydxdzzdxdy,S為橢球面x2yz21的上2八、求第二曲面積分:a2bc22S半部分,其定向為下側(cè).x2yz21在z0交線所圍的部分,方向取向上,記Q，所圍空間記2解：不妨添加a2bc22體積為V,故有xdydzydxdzzdxdyxdydzydxdzzdxdy111dxdydzSSV,22xdydzydxdzzdxdyabc0-abc33QS其中為取外法線方向為正的曲面,dxa0,證明積分0aaxa2關(guān)于一致收斂;九、(1)設(shè)0220證明：記fadx,且,xatg,0,則，2xa220211facos4d,從而，2acos24a440要fa一致收斂，故，對0,要有41aa1111fafaaa4a44a4aa3aaa3aa40121212414221212aa4400只需取即可滿足，對0,存在，使得，當aa時，12有fafa12dxaa也即0xa關(guān)于一致收斂2220dxx2a2(2)a0,計算積分和0博士家園4博士家園dxxa2302解：令xatg,0,,則有，2dxx2a211d12d21a2cos2a22a2000cos2dx1a6d1a62cos4d1cos44cos21d2cos628xacos2a630220001a1616a66十、設(shè)在上有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù),fx0,fxA,fxB.試證明fx2AB.證明：利用到了一元二次函數(shù)的判別式來做的首先由于f(x)有界，limf'(x)0。x又由于二階可導(dǎo)，所以一致連續(xù)。換句話說，f'(x)有界不妨設(shè)f'(b)max{|f'(x)|}|C|,x[0,)(1)當|A|0的時候，顯然b不趨于無窮大。考慮Taylor展開的情形：2|A||f(x)f(b)||f'(b)(xb)f"()(xb)||C||xb||B|(xb)22222|A||B|(xb)|C||xb|0，在x[0,)時候恒成立22C24|AB|0(2)當|A|0的時候,f(x)C(C為常數(shù))綜上所述，知命題成立上一致收斂，收斂。試證明fxdxfx0,十一、設(shè)在limfx0.x證明：仍然用定義來證明：利用反證法博士5家園博士家園fx0反證法，如果limfx0的結(jié)論不成立x那么，根據(jù)定義，>0,G0,|x|G,f(x)0000f(x)一致連續(xù)，所以0,x[x,x],f