黑龍江高三模擬考試數(shù)學(xué)（理）試卷附答案解析

第第頁黑龍江高三模擬考試數(shù)學(xué)（理）試卷附答案解析班級:___________姓名：___________考號：___________一、單選題1．已知集合和，若，則實數(shù)的值構(gòu)成的集合是（

）A． B．C． D．2．已知，則（

）A． B． C． D．3．如圖，在中點為線段上靠近點的三等分點，點為線段上靠近點的三等分點，則（

）A． B． C． D．4．若，平面內(nèi)一點滿足，則的最大值是（

）A． B． C． D．5．2021年5月30日清晨5時01分，天舟二號貨運飛船在成功發(fā)射約8小時后，與中國空間站天和核心艙完成自主快速交接．如果下次執(zhí)行空間站的任務(wù)由3名航天員承擔(dān)，需要在3名女性航天員和3名男性航天員中選擇，則選出的3名航天員中既有男性航天員又有女性航天員的概率為（

）A． B． C． D．6．已知，點在上，且，設(shè)，則等于A． B．3 C． D．7．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．已知，和，則（

）．A． B． C． D．二、多選題9．2021年是中國共產(chǎn)黨建黨100周年，為全面貫徹黨的教育方針，提高學(xué)生的審美水平和人文素養(yǎng)，促進學(xué)生全面發(fā)展．某學(xué)校高一年級舉辦了班級合唱活動．現(xiàn)從全校學(xué)生中隨機抽取部分學(xué)生，并邀請他們?yōu)榇舜位顒釉u分（單位：分，滿分100分），對評分進行整理，得到如圖所示的頻率分布直方圖，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．若該學(xué)校有3000名學(xué)生參與了評分，則估計評分超過90分的學(xué)生人數(shù)為600C．學(xué)生評分的眾數(shù)的估計值為85D．學(xué)生評分的中位數(shù)的估計值為8310．已知直線，圓，則下列選項中正確的是（

）A．圓心的軌跡方程為B．時直線被圓截得的弦長的最小值為C．若直線被圓截得的弦長為定值，則D．時若直線與圓相切，則11．如圖，在菱形ABCD中AB=2，，將沿BD折起，使A到，且點不落在底面BCD內(nèi)，若點M為線段的中點，則在翻折過程中以下命題中正確的是（

）A．四面體的體積的最大值為1B．存在某一位置，使得BM⊥CDC．異面直線BM與所成的角為定值D．當(dāng)二面角的余弦值為時12．已知函數(shù)的定義域為，且，當(dāng)時，則下列說法正確的是（

）A．B．函數(shù)在上是增函數(shù)C．不等式的解集為D．三、填空題13．展開式中的常數(shù)項為________．14．設(shè)函數(shù)，對任意，不等式恒成立，則正數(shù)的取值范圍是_____．15．若曲線過點的切線恒在函數(shù)的圖象的上方，則實數(shù)a的取值范圍是__________．四、雙空題16．甲、乙、丙三位教師分別在某校的高一、高二、高三這三個年級教不同的學(xué)科：語文、數(shù)學(xué)、外語，已知：①甲不在高一工作，乙不在高二工作；②在高一工作的教師不教外語學(xué)科；③在高二工作的教師教語文學(xué)科；④乙不教數(shù)學(xué)學(xué)科.可以判斷乙工作的年級和所教的學(xué)科分別是______、_____．五、解答題17．如圖，在四棱錐中底面為長方形，和，側(cè)面底面，是正三角形，是的中點，是的中點．(1)求證：平面；(2)求二面角的正弦值．18．已知數(shù)列的前項和為，設(shè)是首項為1，公差為1的等差數(shù)列(1)求的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項的和.19．已知△ABC中角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設(shè)△ABC外接圓的半徑為R，且．(1)求角A的大??；(2)若D為BC邊上的點，CD=1，求．20．某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率是，且各次射擊的結(jié)果互不影響(1)假設(shè)這名射手射擊5次，求恰有2次擊中目標(biāo)的概率；(2)假設(shè)這名射手射擊5次，求有3次連續(xù)擊中目標(biāo)另外2次末擊中目標(biāo)的概率；(3)假設(shè)這名射手射擊3次，每次射擊，擊中目標(biāo)得1分，末擊中目標(biāo)得0分，在3次射擊中若有2次連續(xù)擊中而另外1次末擊中則額外加1分；若3次全擊中則額外加3分，記為射手射擊3次后的總的分數(shù)，求的分布列及期望．21．動點與定點的距離和它到定直線的距離的比是常數(shù).(1)求動點的軌跡方程；(2)直線與的軌跡交于A，B兩點，AB的中點坐標(biāo)為，求直線的方程.22．已知函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時函數(shù)存在極值，求實數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）當(dāng)時函數(shù)在上單調(diào)遞減，求實數(shù)的取值范圍；（Ⅲ）求證：．參考答案與解析1．A【分析】解出集合，分、兩種情況討論，在時直接驗證；在時可得出關(guān)于實數(shù)的等式，即可解得實數(shù)的值.綜合可得出結(jié)果.【詳解】因為當(dāng)時，合乎題意；當(dāng)時則，可得或，解得或.綜上所述，實數(shù)的取值集合為.故選：A.2．B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模長的性質(zhì)求解即可.【詳解】由可得，故.故選：B3．B【解析】，將,代入化簡即可.【詳解】.故選：B.【點睛】本題考查平面向量基本定理的應(yīng)用，涉及到向量的線性運算、數(shù)乘運算，考查學(xué)生的運算能力，是一道中檔題.4．B【分析】由知為線段的靠近的一個三等分點，且，由推出為的平分線，根據(jù)角平分線定理得到，設(shè)，則，根據(jù)余弦定理以及基本不等式求出的最小值，從而可得的最大值.【詳解】由知為線段的靠近的一個三等分點，且因為，所以所以，所以所以為的平分線根據(jù)角平分線定理可得，設(shè)，則所以當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立所以即的最大值是.故選：B【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.5．B【分析】利用對立事件和古典概型的概率公式求解即可.【詳解】設(shè)“選出的3名航天員中既有男性航天員又有女性航天員”為事件M，則.故選：B.6．B【分析】由已知得，以O(shè)A，OB為x、y軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，寫出點坐標(biāo)，代入，可得結(jié)論．【詳解】因為所以，以O(shè)A，OB為x、y軸建立直角坐標(biāo)系，A(1，0)，B（0，），設(shè)，則C（，），因為所以，，所以故選：B．【點睛】本題考查平面向量線性運算的坐標(biāo)表示，考查向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系．解題關(guān)鍵是建立平面直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示向量．7．B【解析】由正弦函數(shù)的性質(zhì)可得，結(jié)合已知單調(diào)區(qū)間列不等式組求解集即可.【詳解】由函數(shù)解析式知：在上單調(diào)遞增∴，單調(diào)遞增又∵在區(qū)間上單調(diào)遞增∴，解得，所以當(dāng)時有故選：B【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用整體代入法得到，結(jié)合已知單調(diào)區(qū)間與所得區(qū)間的關(guān)系求參數(shù)范圍.8．D【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)單調(diào)性可分別求得的范圍大小，即可比較得出結(jié)果.【詳解】由，可得；由指數(shù)函數(shù)值域和單調(diào)性可知，即；而，即，所以.故選：D9．ABC【分析】對A，由頻率之和為1可得；對B，根據(jù)頻率分布直方圖直接計算；對C，由最高長方形底邊中點對應(yīng)的橫坐標(biāo)是樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)可得；對D，先判斷出中位數(shù)在內(nèi)，列出式子可求.【詳解】對于A，由頻率分布直方圖中各個小矩形的面積之和為1，知，解得，A正確；對于B，由頻率分布直方圖易知，估計參與評分的3000名學(xué)生中評分超過90分的人數(shù)為，B正確；對于C，由頻率分布直方圖可知，眾數(shù)的估計值為85，C正確；對于D，前三組頻率之和為，前四組頻率之和為，則中位數(shù)在內(nèi)設(shè)學(xué)生評分的中位數(shù)的估計值為，則，解得，D錯誤．故選：ABC.【點睛】頻率分布直方圖中的常用結(jié)論：（1）頻率分布直方圖中所有小長方形的面積之和為1；（2）頻率分布直方圖中最高長方形底邊中點對應(yīng)的橫坐標(biāo)是樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)；（3）平分頻率分布直方圖中小矩形的面積且垂直于橫軸的直線與橫軸交點的橫坐標(biāo)是樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)；（4）頻率分布直方圖中每個小長方形的面積與對應(yīng)小長方形底邊中點的橫坐標(biāo)的乘積之和是樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)．10．BC【分析】首先表示出圓心坐標(biāo)，即可判斷A，再求出直線過定點坐標(biāo)，由弦長公式判斷B，求出圓心到直線的距離，當(dāng)距離為定值時弦長也為定值，即可判斷C，求出圓心到直線的距離，即可判斷D；【詳解】解：圓的圓心坐標(biāo)為所以圓心的軌跡方程為，故A錯誤；直線，令，解得，即直線恒過點當(dāng)時圓，圓心為，半徑，又所以直線被圓截得的弦長的最小值為，故B正確；對于C：若直線被圓截得的弦長為定值，則圓心到直線的距離為定值所以，解得，故C正確；對于D：當(dāng)時直線，圓心到直線的距離若直線與圓相切，則，故D錯誤；故選：BC11．ABD【分析】連接交于，連接，取的中點，連接，當(dāng)平面平面時四面體的體積最大，從而可判斷A；易得，說明成立，再根據(jù)線面垂直的判定定理及性質(zhì)即可判斷B；證明異面直線，所成的角即為或其補角，再根據(jù)不為定值，即可判斷C；說明即為二面角的平面角，再根據(jù)二面角的余弦值可得，從而可判斷D.【詳解】解：連接交于，連接，取的中點，連接對于A，當(dāng)平面平面時四面體的體積最大點到平面的距離最大此時在菱形中則都是等邊三角形則此時四面體的體積為所以四面體的體積的最大值為1，故A正確；對于B，因為分別為的中點所以且由題意，則當(dāng)時因為，平面所以時平面又平面所以所以存在某一位置，使得，故B正確；對于C，因為所以異面直線，所成的角即為或其補角因為不為定值，所以不為定值即異面直線，所成的角不為定值，故C錯誤；對于D，因為所以即為二面角的平面角則，所以，故D正確.故選：ABD.12．AB【分析】利用賦值法求得，判斷A；根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性定義結(jié)合抽象函數(shù)的性質(zhì)，可判斷函數(shù)的單調(diào)性，判斷B；求出，將轉(zhuǎn)化為，即可解不等式組求出其解集，判斷C；利用，與可判斷D.【詳解】對于A：令，得，所以，故A正確；對于B：令，得，所以任取，且，則因為，所以，所以所以在上是增函數(shù)，故B正確；對于C：因為，且，所以所以所以等價于又在上是增函數(shù)，且，所以解得，故C錯誤；對于D：故D錯誤；故選:AB．13．【分析】由多項式的乘法法則可知，展開式中的常數(shù)項是由1乘以展開式中的常數(shù)項和乘以展開式中的項兩個部分組成.【詳解】解：因為展開式的通項為所以展開式中的常數(shù)項共有兩種來源：①，解得，此時常數(shù)為；②，解得，此時常數(shù)為；所以展開式中的常數(shù)項為.故答案為：35.14．【分析】將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為，接下來求的最小值與最大值，列出關(guān)于的不等式，解即可【詳解】對任意，不等式恒成立由，得時，在上遞增時，在上遞減由，得時，在上遞減時，在上遞增由即，又因為為正實數(shù)解得故答案為：15．所以為的極小值點，又因為時所以，所以.故答案為.16．

高三

外語【分析】首先判斷乙教的學(xué)科是外語，再判斷乙工作年級為高三，得到答案.【詳解】由①乙不在高二工作③在高二工作的教師教語文學(xué)科④乙不教數(shù)學(xué)學(xué)科推斷乙所教的學(xué)科為外語②在高一工作的教師不教外語學(xué)科，推斷乙不在高一工作又根據(jù)①乙不在高二工作，推斷乙再高三工作故乙再高三教外語故答案為

(1).高三

(2).外語【點睛】本題考查了邏輯推理，意在考查學(xué)生的邏輯推理能力.17．(1)證明見及解析(2)【分析】（1）取中點為，連結(jié)，證明為平行四邊形，得，再由線面平行的判定定理得證；（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求二面角．設(shè)平面的法向量為，則，即，∴，令，所以設(shè)平面的法向量為同理得：∴，令，則設(shè)二面角的平面角為，∴所以，∴，所以二面角的正弦值為．18．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求解得，即，結(jié)合與即可求得的通項公式；（2）直接應(yīng)用裂項相消法求和即可.【詳解】（1）解：因為是首項為1，公差為1的等差數(shù)列所以，則于是當(dāng)時當(dāng)時則符合上式，所以.（2）解：則.19．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，由正弦定理可得，再由三角恒等變換化簡即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，可得，再由正弦定理化簡，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）由正弦定理可得，與和，所以（2），即20．(1)；(2)；(3)分布列見解析；期望為.【分析】（1）設(shè)為射手在5次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)，則，利用二項分布概率公式即得；（2）利用互斥事件概率求和公式及獨立事件概率公式即得；（3）由題可得的所有可能取值為，分別求概率，進而可得分布列及期望.（1）設(shè)為射手在5次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)，則．則在5次射擊中恰有2次擊中目標(biāo)的概率為：；（2）設(shè)“第次射擊擊中目標(biāo)”為事件；“射手在5次射擊中有3次連續(xù)擊中目標(biāo)，另外2次末擊中目標(biāo)”為事件，則；（3）由題意可知，的所有可能取值為所以的分布列是:501236.21．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意有，整理即可得出答案；（2）設(shè)，則有，兩式相減即可求得，再將點代入求得，即可得出答案.【詳解】（1）解：因為點與定點的距離和它到定直線的距離的比是常數(shù)所以化簡得所以動點的軌跡方程為；（2）解：設(shè)則則有兩式相減得，即所以所以直線將點代入得，所以所以直線的