2022年全國(guó)統(tǒng)考教師資格考試備考指南-中學(xué)數(shù)學(xué)

全國(guó)統(tǒng)考教師資格考試備考指南-中學(xué)數(shù)學(xué)

第一部分考情分析

現(xiàn)就近4次全國(guó)教師資格考試基本考情進(jìn)行總結(jié)如下:

《數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)與教學(xué)能力》（初級(jí)中學(xué)）

1.試卷結(jié)構(gòu)分析:

筆試考試試卷分值

總分值題量和分值

時(shí)間題型占比

單項(xiàng)共8題，每題5分，

26.7%

選擇題共40分

共5題，每題7分，

簡(jiǎn)答題23.3%

共35分

共1題，每題10分，

解答題6.7%

120共10分

150分

分鐘共1題，每題15分，

論述題10%

共15分

案例共1題，每題20分，

13.3%

分析題共20分

教學(xué)共1題，每題30分，

20.00%

設(shè)計(jì)題共30分

2

小結(jié)：

筆試時(shí)間、總分值、題型、題量和分值以及分值占比一直

穩(wěn)定不變。

2.各知識(shí)模塊題型題量分值占比

初級(jí)數(shù)學(xué)教師資格證

數(shù)學(xué)分析

2016年下半年占比13.4%

|線性代數(shù)2017年上半年占比13.3%

2017年下半年占比11.3%

2016年下涉占比16%2018年上半年占比14.7%

2017年上半年占比11.3%

-空間解析幾何

2017年下—133%

2018年上半年占比8%

2016年下半年占比3.3%

統(tǒng)計(jì)與概率卜2017年上半年占比8%

2017年下半年占比4.7%

2016年下半年占比11.3%2018年上半年占比11.3%

2017年上半年占比8%

一課標(biāo)及教學(xué)論

2017年下半年占比8%

^5

2018年上半年占比0%

2016年下半年占比56%

高中知識(shí)2017年上半年占比56%

2017年下。占比59.3%

2016年下半年占比0%2018年上的占比59.3%

2017年上半年占比3.4%

2017年下半年占比3.4%

2018年上的占抬.7%

3

小結(jié)：

1.數(shù)學(xué)分析該知識(shí)模塊分值占比相對(duì)穩(wěn)定，常考查的知

識(shí)點(diǎn)為兩個(gè)重要極限、級(jí)數(shù)的斂散性、變限積分，18年上半

年新增了常微分方程這一考點(diǎn)?？疾榉绞蕉嘁詥雾?xiàng)選擇題、簡(jiǎn)

答題為主。其中單項(xiàng)選擇題難度不高，簡(jiǎn)答題難度較高。

2.線性代數(shù)該知識(shí)模塊分值占比逐年降低，其中18年上

半年所占分才8%o?？疾榈闹R(shí)點(diǎn)為矩陣的特征值與特征

向量、線性空間，考查方式多以單項(xiàng)選擇題、解答題為主。其

中單項(xiàng)選擇題難度不高，解答題難度較高。

3.空間解析幾何該知識(shí)模塊分值占比逐年升高，從4次

的考題中可以發(fā)現(xiàn)，上半年所占分值比例比下半年相對(duì)高一

些。?？疾榈闹R(shí)點(diǎn)為空間的平面與直線的位置關(guān)系、曲面切

平面方程，考查方式多以單項(xiàng)選擇題、簡(jiǎn)答題為主。整體難度

逐年增高。

4.統(tǒng)計(jì)概率該知識(shí)模塊分值占比相對(duì)較低，其中16年下

半年分值占比較高一些。常考查的知識(shí)點(diǎn)為條件概率、正態(tài)分

布，考查方式多以單項(xiàng)選擇題、簡(jiǎn)答題為主。整體難度不高。

5.課標(biāo)及教學(xué)論該知識(shí)模塊分值占比較高，多年來占比

均超過50%。該知識(shí)模塊主要考查考生的基本素養(yǎng)，如何將

數(shù)學(xué)知識(shí)在課堂中展現(xiàn)，考查方式多以單項(xiàng)選擇題、簡(jiǎn)答題、

4

解答題、案例分析題以及教學(xué)設(shè)計(jì)題為主。整體難度很高，尤

其是案例分析和教學(xué)設(shè)計(jì)需各位考生高度注意。

6.高中知識(shí)該知識(shí)模塊是從17年開始新增加數(shù)學(xué)知識(shí)

考點(diǎn)，往年該模塊考查知識(shí)內(nèi)容更多為在課標(biāo)及教學(xué)論中涉

及，現(xiàn)逐步擴(kuò)展到獨(dú)立考查，且18年上半年占比有增高的趨

勢(shì)，各位考生應(yīng)給予相應(yīng)的重視?？疾榉绞蕉嘁詥雾?xiàng)選擇題為

主，整體難度較低。

《數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)與教學(xué)能力》（高級(jí)中學(xué)）

1.試卷結(jié)構(gòu)分析：

筆試考試試卷分值

總分值題量和分值

時(shí)間題型占比

單項(xiàng)共8題，每題5分，

26.7%

選擇題共40分

共5題，每題7分，

簡(jiǎn)答題23.3%

共35分

共1題，每題10分，

解答題6.7%

120共10分

150分

分鐘共1題，每題15分，

論述題10%

共15分

案例共1題，每題20分，

13.3%

分析題共20分

教學(xué)共1題，每題30分，

20.00%

設(shè)計(jì)題共30分

小結(jié)：

筆試時(shí)間、總分值、題型、題量和分值以及分值占比一直

穩(wěn)定不變。

5

2.各知識(shí)模塊題型題量分值占比

高級(jí)數(shù)學(xué)教師資格證

數(shù)學(xué)分析

2016年下—占比〔34%

|線性代數(shù)一2017年上半年占比13.4%

2017年下半年占比11.3%

2016年下半年占比16%2018年上的占比14.7%

2017年上半年占比11.3%

空間解析幾何

2017年下半年占比11.3%

2018年上半年占比8%

2016年下半年占比3.3%

統(tǒng)計(jì)與概率一2017年上半年占比8%

2017年下半年占比6.7%

2016年下半年占比8%2018年上半年占比11.3%

2017年上半年占比8%

一課標(biāo)及教學(xué)論

2017年下半年占比8%

2018年上半年占比0%

2016年下半年占比59.3%

高中知識(shí)2017年上半年占比59.3%

2017年下半年占比59.3%

2016年下半年占比0%2018年上的占比59.3%

2017年上半年占比0%

2017年下半年占比3.4%

2018年上半年占比6.7%

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小結(jié)：

1.數(shù)學(xué)分析該知識(shí)模塊分值占比相對(duì)穩(wěn)定，?？疾榈闹?/p>

識(shí)點(diǎn)為兩個(gè)重要極限、級(jí)數(shù)的斂散性、變限積分，18年上半

年新增了常微分方程這一考點(diǎn)?？疾榉绞蕉嘁詥雾?xiàng)選擇題、簡(jiǎn)

答題為主。其中單項(xiàng)選擇題難度不高，簡(jiǎn)答題難度較高。

2.線性代數(shù)該知識(shí)模塊分值占比逐年降低，其中18年上

半年所占分才8%o?？疾榈闹R(shí)點(diǎn)為矩陣的特征值與特征

向量、線性空間，考查方式多以單項(xiàng)選擇題、解答題為主。其

中單項(xiàng)選擇題難度不高，解答題難度較高。

3.空間解析幾何該知識(shí)模塊分值占比逐年升高，從兩年

的考題中可以發(fā)現(xiàn)，上半年所占分值比例比下半年相對(duì)高一

些。?？疾榈闹R(shí)點(diǎn)為空間的平面與直線的位置關(guān)系、曲面切

平面方程，考查方式多以單項(xiàng)選擇題、簡(jiǎn)答題為主。整體難度

逐年增高。

4.統(tǒng)計(jì)概率該知識(shí)模塊分值占比相對(duì)較低，其中16年下

半年分值占比較高一些。常考查的知識(shí)點(diǎn)為條件概率、正態(tài)分

布，考查方式多以單項(xiàng)選擇題、簡(jiǎn)答題為主。整體難度不高。

5.課標(biāo)及教學(xué)論該知識(shí)模塊分值占比較高，多年來占比

均超過50%。該知識(shí)模塊主要考查考生的基本素養(yǎng)，如何將

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數(shù)學(xué)知識(shí)在課堂中展現(xiàn)，考查方式多以單項(xiàng)選擇題、簡(jiǎn)答題、

解答題、案例分析題以及教學(xué)設(shè)計(jì)題為主。整體難度很高，尤

其是案例分析和教學(xué)設(shè)計(jì)需各位考生高度注意。

6.高中知識(shí)該知識(shí)模塊是從17年開始新增加數(shù)學(xué)知識(shí)

考點(diǎn)，往年該模塊考查知識(shí)內(nèi)容更多為在課標(biāo)及教學(xué)論中涉

及，現(xiàn)逐步擴(kuò)展到獨(dú)立考查，且18年上半年占比有增高的趨

勢(shì)，各位考生應(yīng)給予相應(yīng)的重視。考查方式多以單項(xiàng)選擇題為

主，整體難度較低。

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第二部分考點(diǎn)備考

考點(diǎn)?古典概型與幾何概型

1.基本事件的特點(diǎn)

(1)任何兩個(gè)基本事件是互斥的.

(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件

的和.

2.古典概型

(1)具有以下兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱為古典概率模型,

簡(jiǎn)稱古典概型.

①試驗(yàn)的所有可能結(jié)果只有有限個(gè)，每次試驗(yàn)只出現(xiàn)其

中的一個(gè)結(jié)果.

②每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等.

(2)如果一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有〃個(gè)，而且所有

結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個(gè)基本事件的概率都是

1

；；如果某個(gè)事件A包括的結(jié)果有m個(gè)，那么事件/的概率

9

3.幾何概型

如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度

(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模

型，簡(jiǎn)稱為幾何概型.

(1)要切實(shí)理解并掌握幾何概型試驗(yàn)的兩個(gè)基本特點(diǎn)

①無(wú)限性：在一次試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的結(jié)果有無(wú)限多個(gè).

②等可能性：每個(gè)結(jié)果的發(fā)生具有等可能性.

(2)幾何概型中，事件A的概率計(jì)算公式

=構(gòu)成事件/的區(qū)域測(cè)度(長(zhǎng)度、面積、體積等)

■■試驗(yàn)全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域測(cè)度(長(zhǎng)度、而積、體積等).

考點(diǎn)?極限

1.洛必達(dá)法則

(1)概念：在分子與分母導(dǎo)數(shù)都存在的情況下，分別對(duì)

分子分母進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算，直到該極限的類型為可以直接代入

求解即可.

(2)適用類型：通常情況下適用于9型或者是上型極限.

0oo

2.求9或空型極限的方法

0oo

(1)通過恒等變形約去分子、分母中極限為零或無(wú)窮的

10

因子，然后利用四則運(yùn)算法則.

(2)利用洛必達(dá)法則.

(3)變量替換與重要極限.

(4)等價(jià)無(wú)窮小因子替換.

3.求00型極限的方法

求0回型的方法和上述方法基本相同，必須注意的是：為

使用洛必達(dá)法則需根據(jù)函數(shù)的特點(diǎn)先將弧型化為9或差型.

0OO

注意，一般將較復(fù)雜的因子取作分子，特別地含有對(duì)數(shù)因子

時(shí)，將該因子取作分子.

4.求8-8型極限的方法

求8-8型，一般通過適當(dāng)?shù)姆椒▽⑵浠癁?或2型.若是

08

兩個(gè)分式函數(shù)之差，則通分轉(zhuǎn)化，若是與根式函數(shù)之和、差有

關(guān)的，則需用分子有理化方法轉(zhuǎn)化.

5.利用兩個(gè)重要極限

limSinV=1,1+—|=e(或lim(l+=e).

x->0XXJ.v->0V'

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考點(diǎn)?級(jí)數(shù)的斂散性

1.定義

若數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列｛SJ的極限存在，即

?=1

!如s.=s,則稱級(jí)數(shù)收斂，否則就稱級(jí)數(shù)發(fā)散.當(dāng)

*=1?=1

級(jí)數(shù)￡%收斂時(shí)，稱極限值liyS“=S為此級(jí)數(shù)和，稱

1=1

〃

fn—S—Sn—Mn+|+“+2+...為級(jí)數(shù)的余項(xiàng)或余和.

2.幾個(gè)重要級(jí)數(shù)

(1)幾何級(jí)數(shù)(等比級(jí)數(shù))

當(dāng)|同<1時(shí)收斂，當(dāng)團(tuán)21時(shí)發(fā)散.

?=0

(2)2級(jí)數(shù)

61

Zt當(dāng)P>1時(shí)收斂，當(dāng)時(shí)發(fā)散.

"=0〃

3.數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)

(1)如果級(jí)數(shù)收斂，其和為s,卜為常數(shù),則級(jí)數(shù)

〃=1

￡包,也收斂，其和為

n=\

(2)若級(jí)數(shù)與級(jí)數(shù)分別收斂于。與夕，則級(jí)數(shù)

W=IH=l

12

收斂于a土〃.

n=l

(3)添加、去掉或改變級(jí)數(shù)的有限項(xiàng)，級(jí)數(shù)的斂散性不

變.

(4)兩邊夾定理(夾逼定理)：un<v?<wn,WX，和

7?=1

0000

a

2嗎都收斂且收斂到同一個(gè)數(shù)則級(jí)數(shù)、?，，也收斂到-

n=ln=\

E%和E嗎都收斂，級(jí)數(shù)E匕不一定收斂.

n=ln=ln=l

(5)級(jí)數(shù)收斂的必要條件：若級(jí)數(shù)￡匕,收斂，則

n=l

!?v?=0.

4.柯西收斂原理

級(jí)數(shù)t%收斂的充分必要條件為：對(duì)于任意給定的正數(shù)

W=I

￡，總存在正整數(shù)N,使得當(dāng)〃>N時(shí),對(duì)于任意的正整數(shù)P,

都有%“+I+”“+2+…+〃"+/<￡成立.

5.正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂判定

13

設(shè)級(jí)數(shù)、＞.，若%?0(〃=1,2,…)，則稱Z%為正項(xiàng)

〃=1M=1

級(jí)數(shù).

正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件是它的部分和所成的數(shù)列

有界.

(1)比較法

設(shè)E%和E為均為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且＜為(〃=1,2,…)，

//=!〃=1

如果級(jí)數(shù)1匕,收斂,則級(jí)數(shù)也收斂;如果級(jí)數(shù)￡＞“

"=[w=ln=l

發(fā)散,則級(jí)數(shù)名匕也發(fā)散.

n=l

(2)比值法

00U

設(shè)“是一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果lim3=p,則

念…un

當(dāng)。＜1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)夕＞1或則5=s時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)

散;當(dāng)夕=1時(shí),級(jí)數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散(不用此法判斷).

(3)根值法

14

,‘收斂，p<\,

如果limW7=p,則發(fā)散,p>\,

,,=|不確定，p=l.

6.交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂判別

萊布尼茨定理：如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)￡(-1)”'"“滿足條件：

fl=l

(1)w?>??+l(?=l,2,3...);(2)則〃“=°，

則級(jí)數(shù)收斂,且其和s<%,其余項(xiàng)/；,的絕對(duì)值耳<un+].

7.絕對(duì)收斂與條件收斂

定理：如果級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)“也收斂.

n-\n=]

定義：如果級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)“也收斂，此時(shí)

"=1"=1

00

稱絕對(duì)收斂；

”=]

如果發(fā)散，而級(jí)數(shù)￡〃“收斂，此時(shí)稱條件

n=lw=lM=1

收斂.

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考點(diǎn)?定積分的性質(zhì)

1.加=0.

2.fdx=b-a.

Ja

3.f(x)dx=-^f(x)dx.

4.J忖'(x)dx=k\J\x)dx.

5.f*f{x}dx=ff(x)dx+f(x}dx.

JaJaJc

6.￡[/(%)±g(x)]dx=￡f(x)dx±￡g(x}dx.

7.在區(qū)間[a,b]恒有〃x)20,則，/(戲拄>0.

8.f(x)<g(x),f(x)dx<g(x\lx.

JaJa

9.￡/(x)rfr<^|/(x)|t/x.

10.m<f(x)<M,xe：[a,b].貝！J"?(b-a)4J：/(x>Zr4A/(b-a)-

11.定積分中值定理：/(x)在口,可連續(xù)，至少存在一

個(gè)使f/⑶公=/?仙一辦

12.7(x)為奇函數(shù)，則「'/。世=0；/*)為偶函數(shù)，

J-a

16

則Jf(x)dx=2J。f(x)dx.

考點(diǎn)?變限積分

產(chǎn)(X)=J,f(t)dt,F'(x)=f(b(x))b'(x)~/(a(x)W(x).

Ja(x)

考點(diǎn)?行列式的基本性質(zhì)

1.行列式的值等于其轉(zhuǎn)置行列式的值，即。=￡>7.

2.行列式中任意兩行（歹II）位置互換，行列式的值反號(hào).

3.若行列式中兩行（歹II）對(duì)應(yīng)元素相同，行列式值為零.

4.若行列式中某一行（歹I」）有公因子k,則公因子k可

提取到行列式符號(hào)外，即

5.行列式中若一行（歹！J）均為零元素，則此行列式值為

零.

6.行列式中若兩行（歹II）元素對(duì)應(yīng)成比例，則行列式值

為零.

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考點(diǎn)?矩陣相關(guān)概念

1.矩陣的概念

定義1矩陣：由數(shù)域廠中機(jī)〃個(gè)數(shù)為（，=1,2,…，加"=1,2,...〃）

排成的m行〃列的矩形數(shù)表

“IIa\2a\n

a2>a22…a2n

\aml.am2,…amn/

稱為數(shù)域尸上的一個(gè)mxn矩陣，可以寫作力=（%）."在不

需要表示出矩陣的元素時(shí)，也可以寫作4*,,.

定義2相等矩陣：設(shè)4=（%晨,與8=電屋,是兩個(gè)同型

矩陣.如果對(duì)應(yīng)的元素都相等，即%.=%"=1,2,=1,2,

則稱矩陣/與矩陣5相等，記為4=5.

定義3〃階方陣：對(duì)4=（與）…,當(dāng)機(jī)=〃時(shí)，則稱N為〃

階矩陣，或叫〃階方陣.

定義4零矩陣：如果一個(gè)矩陣的所有元素都是0,則矩

陣稱為零矩陣，記為。

定義5對(duì)稱矩陣:對(duì)力=（%）■*”，當(dāng)%=%,&/=12…M時(shí)，

稱/為對(duì)稱矩陣.

18

定義6反對(duì)稱矩陣:對(duì)“=（%）”,，當(dāng)%=-町。,/=1,2,…

時(shí)，稱/為反對(duì)稱矩陣.對(duì)于對(duì)角線元素，%=-。?（，=1,2,-、嘰

所以為=00=12…⑼，即反對(duì)稱矩陣的對(duì)角線元素為零.

定義7三角矩陣：主對(duì)角線下（上）方的元素全為零的

方陣稱為上（下）三角矩陣.例如"〃矩陣

<a\\a\2%”）

0a22…

<0?！

為〃階上三角矩陣.又例如"X〃矩陣

4o...0]

a22…0

aa

4nl…n,,）

為〃階下三角矩陣.

定義8對(duì)角矩陣：主對(duì)角元以外的元素全為零的方陣

稱為對(duì)角矩陣.例如“X〃矩陣

’斯00'

0a22--?0

、00???a*

為n階對(duì)角矩陣，通常簡(jiǎn)記為4=小改（即,如,

定義9數(shù)量矩陣：主對(duì)角線元素全相等的對(duì)角矩陣稱

19

為數(shù)量矩陣.例如〃X"矩陣

'a0O'

0a…0

、O0…a)

為n階數(shù)量矩陣.

定義10單位矩陣：主對(duì)角線上元素全為1的數(shù)量矩陣

稱為單位矩陣.例如〃x〃矩陣

’10…0'

010

、00"

為〃階單位矩陣，記為扁.在不會(huì)引起混淆的情況下，常簡(jiǎn)

記為E.

2.矩陣的線性運(yùn)算

(1)矩陣的加法

定義：設(shè)4=(叼),“與5=(%)川是兩個(gè)同型矩陣，稱SX”矩

陣C=(%+%濡為矩陣A與矩陣B的和,記為A+B.

運(yùn)算規(guī)律：設(shè)N,B,C,0都是sx〃矩陣，則矩陣的加

法滿足下面的運(yùn)算規(guī)律

（X）A+B=B+A.

20

②(Z+S)+C=X+(B+C).

3A+0=0+A=A.

④4+(-4)=0.

(2)矩陣的數(shù)乘

定義：設(shè)4=(%晨,是數(shù)域尸上的矩陣，A是數(shù)域尸上的

一個(gè)數(shù)，稱sx〃矩陣(風(fēng)),,“為數(shù)k與矩陣A的數(shù)量乘積，簡(jiǎn)稱

數(shù)乘，記為乂.

運(yùn)算規(guī)律：設(shè)4=(%晨,,，B=(%)”,,為數(shù)域F上的矩陣，

k和/皆為數(shù)域F上的任意數(shù).由定義可知，矩陣的加法與數(shù)

乘滿足下列運(yùn)算規(guī)律

(X)(k+l)A=kA+lA.

(2)k(A+B}=kA+kB,

③后(⑷=(切4=/3).

④14=4.

(3)矩陣的乘法

定義：設(shè)/=四)小，8=(%)*"都是數(shù)域尸上的矩陣.記SX〃

矩陣C=(cJ,“，其中與=%配+%%+…+。,也,=WX也，稱矩陣

Jt=l

C為矩陣/與矩陣5的乘積，記作C-5.

運(yùn)算規(guī)律：若4,B,。滿足可乘條件，則

21

①結(jié)合律：(AB)C=A(BC).

②分配律：(A+B)C=AC+BC,C(A+B)=CA+CB,

③&(45)=(kA)B=A(kB).

(^)kA=(kE)A=A(kE),

考點(diǎn)?矩陣的特征值和特征向量

1.定義

(1)設(shè)/為數(shù)域/上的〃階方陣，如果存在數(shù)域F上的

數(shù)4和非零向量自，使得=則稱％為4的一個(gè)特

征值(特征根),而4稱為力的屬于特征值乙的一個(gè)特征向

量.

(2)設(shè)N=(%)為〃階方陣，則矩陣4E-N稱為A的

特征矩陣，其行列式稱為，的特征多項(xiàng)式，記為/(2),即

4-4一62~a\?

/⑷=|江一止F八%；F,,

~a?\~an2%一%"

稱/(義)=憶E-旬=0為4的特征方程.

2.性質(zhì)

(1)若4是4的任一特征值，非零向量〈為N的屬于特

22

征值4的特征向量，即滿足=則必有4/一定是n"

的特征值(k為正整數(shù)).

(2)若4是4的任一特征值，非零向量。為4的屬于特

征值4的特征向量，若/(X)=a°x"+/x"T+--?+??為任一

多項(xiàng)式，則有/“)是/(⑷的特征值.

(3)若4是N的任一特征值，非零向量。為N的屬于特

征值4的特征向量，則

Af(A)ArA-'P-'AP

1

2142

AfW7

(4)如果《是/的屬于特征值4)的一個(gè)特征向量，那么

S的任何一個(gè)非零倍數(shù)k&也是A的屬于特征值A(chǔ))的特征向

量.即特征向量不是被特征值所唯一決定的.相反，特征值確

實(shí)被特征向量所唯一決定的.一個(gè)特征向量只能屬于一個(gè)特

征值.

注：屬于不同特征值的特征向量是線性無(wú)關(guān)的.

3.矩陣特征值和特征向量的求法

(1)根據(jù)定義，構(gòu)造求得/的特征值4,

及A屬于特征值兒的一個(gè)特征向量＜.

23

(2)設(shè)/=(%.)“為〃階方陣，則由|/LE-H=O可以求

出矩陣”的全部特征值4,再根據(jù)齊次線性方程組

(4E-/)x=o求出/屬于4的特征向量.其中，基礎(chǔ)解系

即為“屬于4的線性無(wú)關(guān)特征向量，通解即為A屬于4的全

體特征向量(不包含0向量).

考點(diǎn)?線性空間

1.線性空間的定義與簡(jiǎn)單性質(zhì).

(1)線性空間的定義

設(shè)，是一個(gè)非空集合，尸是一個(gè)數(shù)域，在集合J/的元素

a,fi,y之間的加法,在數(shù)域P中任意數(shù)匕［與集合，的元素

之間的數(shù)量乘法，如果滿足下述規(guī)則，那么-稱為數(shù)域P上的

線性空間.

①Q(mào)+/?=/7+a.

②(度+夕)+Y=馥+(/?+V).

(3)0+a=a.

④方-a=0.

⑤la=a.

⑥■㈤=(kl)a.

24

⑦(k+l)a=ka+la.

8;7c(a+/?)=fca+kp.

(2)線性空間的性質(zhì)

①零元素是唯一的.

②負(fù)元素是唯一的.

③0以=0;/cO=0；(―l)a=-a.

4如果ka=0,那么k=0或a=0.

2.維數(shù)、基與坐標(biāo)

(1)線性組合

設(shè)廠是數(shù)域戶上的一個(gè)線性空間，如，%,???,ar(r>

1)是/中的一組向量，七，七，…，k是數(shù)域P中的數(shù)，那么

向量

a=kxax+七以2■1---1-krar

稱為向量組％,a2,0的一個(gè)線性組合.有時(shí)我們

也說向量a可以用向量組％,以2，…，叫線性表示.

(2)線性相(無(wú))關(guān)

線性空間/中的向量a1，a2....a.(r'l)稱為線性

相關(guān)，如果在數(shù)域P中的有r個(gè)不全為零的數(shù)七，k2,kr

使ki%+k2a2+…+krar=0.當(dāng)且僅當(dāng)?shù)?k?=…=

25

kr=O時(shí)，/Citti+k2a2H-----1"3%=0成立，則以i，a2,

...,如稱為線性無(wú)關(guān).

(3)維數(shù)

如果在線性空間/中有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量，但是沒有

更多數(shù)目的線性無(wú)關(guān)的向量，那么V就稱為〃維空間；如果

在線性空間中可以找到任意多個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量，那么「

就稱為無(wú)限維.

(4)基與坐標(biāo)

在〃維線性空間「中，〃個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量馬,與，…，邑，

稱為V的一組基.設(shè)a是1/中任一向量，于是。，叼…，En'a線

性相關(guān)，因此a可以被基弓，?，.一%線性表示：

a=at￡t+a2s2+...+an￡n

其中系數(shù)q,a2,...,a“是被向量a和基o，e2,...,en

唯一確定的，這組數(shù)就稱為a在基0,￡少…，%下的坐標(biāo)，記

為(q,a2,...,

3.基變換和坐標(biāo)變換的關(guān)系

設(shè)￡|,￡2,...,號(hào)與￡；,以…，:是"維線性空間一中兩

組基，它們的關(guān)系是

26

0=%向+?聲？+???+an\￡n

￡2二+。22*2+…+。/那〃（]）

￡；=。3+。2盧2+???+小〃

設(shè)向量S在這兩組基下的坐標(biāo)分別為（X，%2…”怎）與

（X；,X；,…，X：）,即

向量（=X[￡]+X2￡2+...+Xn￡n=中；+X2￡2+...+Xn￡n.（2）

（1）式可寫成

基外名，…，%的過渡矩陣.它是可逆矩陣.

（2）式寫成

27

式代入得

4.線性子空間及其判定.

(1)線性子空間

數(shù)域P上線性空間K的一個(gè)非空子集合W,如果邛對(duì)于

V的兩種運(yùn)算也構(gòu)成數(shù)域尸上的線性空間.那么非空子集合

28

力稱為/的一個(gè)線性子空間(簡(jiǎn)稱子空間).

(2)線性子空間的判定

如果線性空間v的非空子集合w滿足下面兩個(gè)條件，那

么〃就是一個(gè)子空間.

①對(duì)于”中的任一向量明數(shù)域尸中的k與a的數(shù)量乘積

ka也在沙中.

②對(duì)于少中的向量源與0,向量以與0的和d+0也在沙中.

考點(diǎn)?向量組的極大線性無(wú)關(guān)組及矩陣的秩

1.基本概念

(1)極大線性無(wú)關(guān)組

向量組的一個(gè)部分組稱為一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，如果這

個(gè)部分組本身是線性無(wú)關(guān)的，并且從這向量組中任意添一個(gè)

向量(如果還有的話)，所得的部分向量組都線性相關(guān).

注：任意一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組都與向量組本身等價(jià).

(2)向量組的秩

向量組的極大線性無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)稱為這個(gè)向量

組的秩.

注：考慮到線性無(wú)關(guān)的向量組就是它自身的極大線性無(wú)

29

關(guān)組，因此向量組線性無(wú)關(guān)的充要條件是它的秩與它所含向

量的個(gè)數(shù)相同.

(3)矩陣的秩

矩陣的行向量組的秩與列向量組的秩相等，稱為矩陣的

秩.

2.基本性質(zhì)

(1)任意一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組都與向量組本身等價(jià).

(2)等價(jià)的向量組必有相同的秩?(秩相同的向量組未

必等價(jià)).

(3)矩陣/的秩是r的充分必要條件為A中有一個(gè)，?階

子式不為零，同時(shí)所有，葉1階子式全為零.

考點(diǎn)?線面位置關(guān)系

1.兩個(gè)平面間的關(guān)系

:

n,:4x+4y+C]Z+°=0,口2A2x+B2y+C2z-^-D2=0,

則

B[LC]D]

n.//n2<=>—=—=—^-^―；

〃A2B2C2DJ

rijJ_ri2<=>44+B]B2+CjC2=o；

30

口與鬼的夾角e（法向量間的夾角，不大于9。度）滿

足：

cos”蟲=144+".

辰|同QA：+B；+C；JA；+B；+C；.

2.兩條直線間的關(guān)系

、八/.x--yiy~yyz-zii.x-wz-z”

12

A叫nt,l2m2n2'

則

k//L20MA%且（w，M,zj不滿足右的方程;

AJ_4=〃2+〃?1加2+〃1〃2=0；

4與4的夾角。（方向向量間的夾角，不大于90度）

八|他+加〃2+的2|

滿足—J；+.+“；/；+￡+〃；,

3.直線與平面的位置關(guān)系

直線和它在平面投影直線所夾銳角。稱為直線與平面的

夾角.當(dāng)直線與平面垂直時(shí)，規(guī)定夾角為

31

22zA￡z￡o,口：加+為+cz+o=o,

l=m=n

s={l,m,n},n={A,B.C}，貝（JL〃n=$_[_〃,即

Al+Bm4-Cn=0且AxQ+By。+Cz。+Dw0；

rL—一口JBC

L_Ln=s〃〃，即7=—=一；

Imn

L與n的夾角8=（—。）〉，

sine=/⑷++M_

\]A2+B2+C2>Jl2+m2+rr

考點(diǎn)?幾種常見的微分方程

1.可分離變量的微分方程

(1)形如y'=/(x)g(y)的微分方程，稱為可分離變量方程.

(2)可分離變量方程的解法

①分離變量

將方程整理為卷4,=/(x)疝的形式，使方程兩邊都只含

一個(gè)變量.

②兩邊積分

兩邊同時(shí)積分，得左邊=J看"，右邊=J

32

故方程通解為J六切=J/(x比+C.

2.一階線性微分方程

(1)一階微分方程的下列形式

y'+P(x)y=Q(x),①

稱為一階線性微分方程，簡(jiǎn)稱一階線性方程.其中。(外、

0(x)都是自變量的已知連續(xù)函數(shù).它的特點(diǎn)是：右邊是已知

函數(shù)，左邊的每項(xiàng)中僅含v或V,并且均為y或V的一次

項(xiàng).

若。*)=0,則方程成為

y'+P(x)y=O,②

稱為一階線性齊次微分方程，簡(jiǎn)稱線性齊次方程，若

0(x)不恒等于0,則稱方程①為一階線性非齊次微分方程,

簡(jiǎn)稱線性非齊次方程.通常方程②稱為方程①所對(duì)應(yīng)的線性

齊次方程.

(2)一階線性齊次方程解法

一階線性齊次方程y'+P(x)y=o是可分離變量方程.分

離變量，得@=-P(x)dx,

y

33

兩邊積分，得l"=-JP(x)dA，+lnC,

所以，方程的通解公式為了=0-伊"*

(3)一階線性非齊次方程的解法

設(shè)V=C(x)乂是非齊次方程)，'+P(x)y=0(x)的解，將

y=C(x)y,(其中乂是齊次方程V+P(x)y=0的解)及其導(dǎo)

，

數(shù)尸=C\x)yx+C{x}y\代入方程v+P(x)y=0(x).

則有C'(x)凹+C(x)y；+P(x)C(x)yt=Q(x),

即C'(X)M+C(x)(X+尸(x)必)=0(x),

因?yàn)楹胧菍?duì)應(yīng)的線性齊次方程的解，故乂'+尸(X"=0,

因此有C(x)M=Q(x),

其中X與。(x)均為已知函數(shù)，所以可以通過積分求得

C(x)=j+C,

代入N=C(x)乂中，得V=CFI+乂/華兒?

容易驗(yàn)證，上式給出的函數(shù)滿足線性非齊次方程

y'+P(x)y=Q(x),

且含有一個(gè)任意常數(shù)，所以它是一階線性非齊次方程

y'+P(x)y=0(x)的通解.

在運(yùn)算過程中，我們?nèi)【€性齊次方程的一個(gè)解為

-fP(x)(k

y=eJ,

34

于是，一階線性非齊次方程的通解公式就可寫成：

片e」e|c+jQ(x)JaMa.

上述討論中所用的方法，是將常數(shù)C變?yōu)榇ê瘮?shù)C(x),

再通過確定C(x)而求得方程解的方法，稱為常數(shù)變易法.

考點(diǎn)?曲面的切平面與法線方程

1.設(shè)曲面的方程為尸(x,%z)=O,在曲面上任取一條通過

X=X。)

點(diǎn)〃的曲線：尸：〈歹=??),曲線在M處的切向量為

Z=z(t)

r=(x'&),_/&),，6)).

切平面方程為月(M)(x-%)+4(M)(y-%)+￡(M)(z-z0)=O,

法緯方產(chǎn)為Xf=尸為=z—z°

月(%，%，%)月缶,%*。)￡(x°/°,z。).

2.空間曲面方程形為Z=/(XJ),令尸(x,y,z)=r(x,

y)-z,曲面在〃處的切平面的法向量為：

?={/、(X。，%)/(/Jo)，T}.

曲線在M處的切平面的方程為

35

%）（x-X。）+fy（x°，%）（＞-%）=z-Zo.

曲線在“處的法線方程為號(hào)p—二號(hào).

考點(diǎn)?條件概率及其性質(zhì)

1.對(duì)于任何兩個(gè)事件Z和8,在已知事件1發(fā)生的條件

下，事件8發(fā)生的概率叫做條件概率，用符號(hào)尸(8|/)來表示,

其公式為P(B|A)=今黑(P(4)>0).

P(A)

2.條件概率具有的性質(zhì)：

(1)0<P(5M)<l；

(2)如果8和C是兩個(gè)互斥事件，則

P(B\JC\A)=P(B\A)+P(C\A).

考點(diǎn)?正態(tài)分布

1.定義

若隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為

Z(x)="J_e-(xeR),其中參數(shù)〃wR,b>0,則稱X服

\j27ra

從正態(tài)分布，記為X?N(〃,〃).特別地，將N(0,l)稱為標(biāo)

36

準(zhǔn)正態(tài)分布，其概率密度和分布函數(shù)分別記作

嶺)=營(yíng)與①(x)='-^=e^dt.

2.常用性質(zhì)

(1)X~N(從<r2),貝!|￡Z~N(0,1).該公式揭示了求

(7

解正態(tài)分布問題的一個(gè)重要思路：標(biāo)準(zhǔn)化.

(2)正態(tài)分布%(〃02)具有對(duì)稱性，即其概率密度是關(guān)

于直線x=〃對(duì)稱的.特別地，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度是偶

函數(shù)；該性質(zhì)也可以概括成等式：①(-x)+①(x)=l.

37

第三部分技巧得分

案例分析題在教師資格筆試考試中占分20分，是能否通

過教師資格筆試考試的關(guān)鍵，在這里大家總結(jié)一些關(guān)于案例

分析題的答題技巧以及得分策略。

(-)案例分析的考查要點(diǎn)

1.數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)

新課程理念是案例分析考查的要點(diǎn)，分析案例時(shí)，需要從

課程理念出發(fā)