與圓有關的位置關系（切線復習課）

切線復習課27.2與圓有關的位置關系1.直線與圓的位置關系有幾種?溫故而知新Ao2.圓的切線的判定定理是什么?切線的判定方法有哪幾種?

(1)

當已知條件中沒有明確給出直線與圓有公共點時,常過圓心作該直線的垂線段,證明該垂線段的長等于半徑,也就是“

”。切線的判定方法

(2)當已知條件中明確指出直線與圓有公共點時,常連接過該公共點的半徑,證明該半徑垂直于這條直線，也就是“

”。經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.CD作垂直,證半徑連半徑,證垂直切線的判定方法：方法具體內容幾何語言適用情況距離法判定定理圓心到直線的距離等于圓的半徑,則此直線是圓的切線過半徑的外端且垂直于半徑的直線是圓的切線∵0A⊥CD于A,OA=d=r．∴則CD是⊙Ｏ的切線交點Ａ明確：連OA,證OA⊥CD

交點Ａ不明確：作OA⊥CD于A,

證OA=r∵0A是⊙O的半徑，0A⊥CD∴CD是⊙Ｏ的切線,3.切線有哪些性質?Ao

根據切線的性質,遇到切點,連接半徑

,這是在圓中添加輔助線的常用方法之一

方法技巧

根據切線性質,我們經常做的輔助線是什么?(2)切線的性質定理:圓的切線垂直于過切點的半徑.符號語言:

∵CD是⊙Ｏ的切線,點Ａ是切點

∴ＯＡ⊥CDCD(1)圓心到切線的距離等于半徑符號語言∵如圖:CD與⊙Ｏ相切,OA⊥CD

∴d=OA=r4.切線長定理的內容是什么?

∟∟

從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。OPAB想一想：根據圖形，你還可以得到什么結論？.

H？⌒⌒1、線段的中點2、角的平分線3、線段的垂直平分線4、等腰三角形5、直角三角形6、全等三角形7、垂徑定理……？

等腰三角形“三線合一”定理垂徑定理同學們要善于從復雜圖形中分解出數學的基本圖形，再從基本圖形中找尋數量關系來解決問題。﹙﹙思考：5：三角形的內切圓三角形內切圓的圓心叫三角形的內心。定義實質性質三角形的內心到三角形各邊的距離相等三角形三條角平分線的交點思考：三角形的內切圓半徑r與三角形的面積、三邊有怎樣的關系？思考：三角形的內切圓半徑r與三角形的面積、三邊有怎樣的關系？如圖△ABC的三邊分別為a、b、c，面積為S⊙O分別與三邊切于點D、E、F。試求內切圓半徑r?解:連接OD、OE、OF、OA、OB、OC∵⊙O分別與三邊切于點D、E、F∴OD⊥AB、OE⊥BC、OF⊥ACOD=OE=OF=r∴S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC

思考：直角三角形的內切圓半徑r與三角形的三邊有怎樣的關系？如圖Ｒｔ△ABC的三邊分別為a、b、c，∠Ｃ＝９０°，⊙O分別與三邊切于點D、E、F。試求內切圓半徑r?解:連接OE、OF∵⊙O分別與三邊切于點D、E、F∴OE⊥BC、OF⊥AC，OE=OF=r∵∠Ｃ＝９０°∴四邊形ＯＥＣＦ是正方形∴ＯＥ＝ＣＥ＝ＣＦ＝ＯＦ＝ｒ∴ＡＤ＝ＡＦ＝ｂ－ｒＢＤ＝ＢＥ＝ｃ－ｒ∴ＡＢ＝ｂ－ｒ＋ｃ－ｒ＝Ｃ典例精析：例1．如圖，點O是△ABC的內切圓的圓心。（1）若∠BAC=80°，則∠BOC=＿＿＿

130°分析:根據三角形內切圓性質OB、OC分別平分∠ABC、ACB，要求∠BOC，只要求∠１+∠２?怎么求這兩個角的和呢？⌒⌒１２典例精析：例1．如圖，點O是△ABC的內切圓的圓心。（2）⊙O分別切AB、AC于點D、F，點P是優(yōu)弧DF上一動點(點D、E除外)，若∠BAC=80°，則∠DPF=＿＿

⌒思考：若點P是⊙O上的一動點(點D、F除外)，上面的結論還成立嗎？根據切線的性質,遇到切點,連接半徑

,這是在圓中添加輔助線的常用方法之一

.50°∟∟當已知條件中明確指出直線與圓有公共點時,常連接過該公共點的半徑,證明該半徑垂直于這條直線，也就是“連半徑,證垂直”。

例2.如圖：已知PA是⊙O的切線，A為切點,AB是⊙O

的直徑,BC//OP交⊙O于點C。求證：PC與⊙O相切.解:連接OC.∵OB=OC，∴∠

OCB=∠OBC.∴⊿POC

≌

⊿POA(SAS)

∵⊙O切AP于A,∴AB⊥PA.∵BC//OP，∴∠

OCB=∠POC.∠

OBC=∠POA.∴∠POC=∠POA.∵OP=OP，OA=OB∴∠

PCO=∠PAO.∴∠

PCO=∠

PAO=

900.∴PC是⊙O的切線.∴PC⊥半徑ＯC于點C典例精析：直徑所對的圓周角是直角,遇到直徑,作直角

,這也是圓中添加輔助線的常用方法之一

另解：如圖：已知PA是⊙O的切線，A為切點,AB是⊙O

的直徑,BC//OP交⊙O于點C。求證：PC與⊙O相切.當已知條件中明確指出直線與圓有公共點時,常連接過該公共點的半徑,證明該半徑垂直于這條直線，也就是“連半徑,證垂直”。具體解法請同學們課后寫寫！。牛刀小試直徑所對的圓周角是直角,遇到直徑,作直角

,這也是圓中添加輔助線的常用方法之一變一變

例2.如圖：已知PA是⊙O的切線，A為切點,AB是⊙O

的直徑,。求證：.弦BC//OP

PC與⊙O相切1、如圖,已知PA、ＰC是⊙O的切線，A、C為切點,AB是⊙O

的直徑。求證：BC//OP1、如圖,已知PA、ＰC是⊙O的切線，A、C為切點,AB是⊙O

的直徑。求證：BC//OP你來說一說，相信你是好樣的！牛刀小試根據切線的性質,遇到切點,連接半徑

,這是在圓中添加輔助線的常用方法之一

.我思考，我進步!2、如圖,直角梯形ABCD中,∠A=900,AD//BC,E為AB的中點,以AB為直徑的圓與邊CD相切于點F.求證:(1)DE⊥CE,(2)CD=AD+BCABCDEF解：連結EF∵∠A=

900,AB為⊙E的直徑∴AD與⊙E相切.

∵

CD與⊙E相切.∴∠FDE=∠ADC,AD=DF12

同理得:∠ECF=∠BCD,CF=BC12∵AD//BC∴∠ADC+∠BCD=1800.∴∠EDF+∠ECF=900.∴∠DEC=900.∴CE⊥DE

∴

CD=DF+CF=AD+BC.∴CE⊥DE,CD=AD+BC牛刀小試相信你能行!

３.(變式)如圖,直角梯形ABCD中,∠A=900,AD//BC,且CD=AD+BC,以AB為直徑的圓

與邊CD有怎樣的位置關系,說明理由.ABCDFEM解：

以AB為直徑的圓與CD相切.方法一、取AB的中點E,則點E即為以AB為直徑的圓的圓心,過點E作EF⊥CD于F,連接DE并延長交CB的延長線于點M……….ABCDF當已知條件中沒有明確給出直線與圓有公共點時,常過圓心作該直線的垂線段,證明該垂線段的長等于半徑.即“作垂直,證半徑”.３.變式:如圖,直角梯形ABCD中,∠A=900,AD//BC,且CD=AD+BC,以AB為直徑的圓與邊CD有怎樣的位置關系,說明理由.ABCDFE解：

以AB為直徑的圓與CD相切.方法二、取AB的中點E,則點E即為以AB為直徑的圓的圓心,過點E作EF⊥CD于F,,連接DE、EC…….∟∟∟面積相等法---構造等式相信你是好樣的!回顧與反思

同學們,學習完本節(jié)課之后,你有什么體會,談談你的想法,讓大家分享一下你的思維成果!駛向勝利的彼岸知識的升華獨立作業(yè)祝同學們成功！作業(yè):完成復習導綱已知,如圖,D(0,1),⊙D交y軸于A、B兩點,交x負半軸于C點,過C點的直線:y=－2x－4與y軸交于P.⑴試猜想PC與⊙D的位置關系，并說明理由.分析：做此類題，尤其強調數形結合，同學們應把題中數據“放入”圖中。猜想直線PC與⊙D相切。怎么證？聯(lián)想證明切線的兩種方法。點C在圓上，即證：∠DCP=90°利用勾股及逆定理可得。切線判定令x=0，得y=-4;令y=0,得x=-2。∴C(-2,0),P(0,-4)又∵D(0,1)∴OC=2,OP=4,OD=1,DP=5又∵在Rt△COD中,CD2=OC2+OD2=4+1=5

在Rt△COP中,CP2=OC2+OP2=4+16=20在△CPD中,CD2+CP2=5+20=25,DP2=25∴CD2+CP2=DP2，即△CDP為直角三角形,且∠DCP=90°∴PC為⊙D的切線.證明：∵直線y=-2x-4解：

PC是⊙O的切線，勾股（逆）定理知識升華圓與一次函數已知,如圖,D(0,1),⊙D交y軸于A、B兩點,交x軸負半軸于C點,過C點的直線:y=－2x－4與y軸交于P.⑵判斷在直線PC上是否存在點E