數(shù)量方法隨機變量

數(shù)量方法隨機變量第一頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期三第七單元隨機變量及其分布

隨機變量概述

離散型隨機變量連續(xù)型隨機變量第二頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期三教學(xué)重點1．隨機變量的概念2．離散型與連續(xù)型隨機變量的數(shù)字特征3．二項分布、泊松分布、正態(tài)分布第三頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期三教學(xué)難點1．分布函數(shù)概念的理解2．密度函數(shù)概念的理解3．一般正態(tài)分布的概率計算第四頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期三例1在10件同類產(chǎn)品中，有3件次品，現(xiàn)

任取2件，用X表示“2件中的次品數(shù)”，

X的取值有哪些？對應(yīng)的概率是多少?例2“測試電子元件壽命”試驗，用Y表示

元件壽命(小時)，Y的取值如何?一、隨機變量的概念第五頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期三一個變量若滿足：（1）取值的隨機性。即取到哪一個值事前

不知道，要由隨機試驗的結(jié)果而定；

（2）取值的對應(yīng)性。即取到的每一個值都

對應(yīng)于某一隨機現(xiàn)象；

（3）概率的確定性。即它取某一個值或在

某一區(qū)間內(nèi)取值的概率是確定的。稱這樣的變量為隨機變量，通常用大寫

字母X、Y、Z…表示。第六頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期三例1中，“兩件產(chǎn)品中沒有次品”事件

可用{X=0}表示

“兩件產(chǎn)品中至少一件次品”事件 可用{X≥1}表示例2中，“元件壽命至少1000小時”事件

可用{Y≥1000}表示

“元件壽命不足500小時”事件

可用{Y＜500}表示為什么要引入隨機變量？可使隨機事件數(shù)量化，便于數(shù)學(xué)處理，

從而更深入地研究隨機現(xiàn)象。第七頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期三上述兩例，隨機現(xiàn)象較容易用數(shù)量來描述，

但在實際中常遇到一些似乎與數(shù)量無關(guān)的

隨機現(xiàn)象，如何用隨機變量來描述它們？例3拋一枚均勻硬幣，試驗的可能結(jié)果兩個，

即“正面向上”與“正面向下”。通常定義隨機變量

1正面向上P(X=1)=0.5

X=且

0正面向下P(X=0)=0.5第八頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期三例4一批產(chǎn)品的合格率為P，隨機抽一個檢驗，

可能結(jié)果為“抽到合格品”與“抽到廢品”。

通常定義隨機變量

1抽到合格品P(Y=1)=P

Y=且

0抽到廢品P(Y=0)=1-P例5一批產(chǎn)品的一、二、三級品率為50%、35%、

15%，隨機抽取一個，可能結(jié)果“抽到一級品”

“抽到二級品”、“抽到三級品”。

可定義

1抽到一級品P(Z=1)=50%

Z=2抽到二級品且P(Z=2)=35%

3抽到三級品P(Z=3)=15%第九頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期三二、隨機變量的種類按隨機變量的取值不同，可分為離散型隨機變量：隨機變量只取有限個或 可列個可能值。連續(xù)型隨機變量：在某一個或若干個有限或

無限區(qū)間取值的隨機變量。第十頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期三

設(shè)離散型隨機變量X所有可能取值為

x1，x2，…xn，其相應(yīng)的概率分別為

p1，p2，…pn

記作P(X=xi)=pi，（i=1，2，…n）稱為離散型隨機變量X的概率分布，

簡稱分布。也可表示為：p1p2…Pix1x2…X一、離散型隨機變量的分布第十一頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期三概率分布的性質(zhì)

1）0≤pi≤1i=1，2，…

2）∑pi

=1例寫出上一節(jié)例1、3、4、5的概率分布第十二頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期三二、離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望離散型變量X的取值為x1,x2…xi…

相應(yīng)的概率為p1,p2…pi…,xi與pi的乘積

之和為X的數(shù)學(xué)期望，簡稱期望或均值。

記作E(x)或μ

E(x)=∑xipi例（教材P149例3、4）第十三頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期三數(shù)學(xué)期望是對隨機變量集中趨勢的度量，

對其離散程度的度量用方差。

離散型變量X離差的平方的數(shù)學(xué)期望

稱為X的方差。記作D(X)或

方差的算術(shù)平方根為均方差或標(biāo)準(zhǔn)差，

用σ

表示。

例（教材P151例6、7）三、離散型隨機變量的方差第十四頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期三四、常見的離散型隨機變量一個試驗如果結(jié)果只有兩個，都可以

用兩點分布來描述。（一）兩點分布

1、定義

隨機變量X只可能取0，1兩個值，

概率分布為：

P(X=1)=p，P(X=0)=1－p(0<p<1)

或（k=0,10<p<1）稱X服從兩點分布。記為X～B(1，p)第十五頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期三2、兩點分布的數(shù)學(xué)期望與方差

E(X)=pD(X)=(1－p)p例（教材P152例8）第十六頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期三某射手射擊一次，觀察他中靶與脫靶；

拋硬幣一次，觀察其正面朝上、朝下；

從一批產(chǎn)品中取一件，觀察其正品、廢品;

以上試驗都可用兩點分布來描述。某射手射擊多次；

連續(xù)拋硬幣多次；

從一批產(chǎn)品中取n件產(chǎn)品；

這些試驗還能用兩點分布描述嗎？隨機試驗只有兩個可能結(jié)果A或，

且P(A)=p，P()=1－p=q

這種試驗稱為Bernoulli試驗；

試驗獨立重復(fù)n次，稱n重Bernoulli試驗。第十七頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期三（二）二項分布令X為n重Bernoulli試驗中事件A發(fā)生的

次數(shù)，X的所有可能取值為0、1、2…n

X取值k的概率為 (K=0、1、2…n)

其中P(A)=p，P()=1－p=q

0<p<1

稱隨機變量X服從參數(shù)為n,p的二項分布 記作X～B(n,p)當(dāng)n=1時，二項分布就是二點分布B(1,p)第十八頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期三2、二項分布的數(shù)學(xué)期望與方差

E(X)

=np

D(X)

=

np(1－p)

例

（教材P153例9）第十九頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期三（三）泊松分布

1、定義：設(shè)隨機變量X的分布律為

（k=0,1,2,…） 稱X服從參數(shù)為λ(λ>0)的泊松分布。

記作X～P(λ)。泊松分布用來描述指定時間內(nèi)某一事件

發(fā)生次數(shù)的分布。如：某市早晚高峰期內(nèi)通過某路口的車輛數(shù)分布；

某市除夕日被爆竹炸傷人數(shù)的分布；

某景點十一黃金周接到游客投訴電話次數(shù)分布。第二十頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期三2、泊松分布的數(shù)學(xué)期望與方差

E(X)

=λ

D(X)

=

λ例

（教材P153例10）

第二十一頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期三一、概率密度函數(shù)

X為連續(xù)型隨機變量，x為任一實數(shù)，

若函數(shù)(x)表示變量X的分布情況，

即X取值的規(guī)律，稱(x)為概率密度

函數(shù)，或稱概率分布。性質(zhì)

?對任意實數(shù)x，(x)≥0

?對于任意x1<x2，X在其區(qū)間（x1，x2）

的概率P(x1<X<x2)是函數(shù)(x)的曲線

下從x1到x2的面積；

?

(x)曲線與x軸構(gòu)成的面積為1，即

P(－∞<X<＋∞)=1。第二十二頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期三二、常見的連續(xù)型隨機變量（一）均勻分布（一致分布）

若隨機變量X的密度函數(shù)為

0其他則稱X服從[a，b]上的均勻分布記作X～U[a，b]

第二十三頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期三如果X在[a，b]上服從均勻分布，則對

任意滿足的a，b有X取值于[a，b]中任一小區(qū)間的概率與

該小區(qū)間的長度成正比，而與該小區(qū)間

的具體位置無關(guān)。例（教材P158例3）第二十四頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期三

均勻分布的數(shù)學(xué)期望與方差

在區(qū)間[a，b]上均勻分布變量X的數(shù)學(xué)

期望和方差為：第二十五頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期三（二）正態(tài)分布1、正態(tài)分布

若隨機變量X的密度函數(shù)為

μ、是參數(shù)（－∞<μ<+∞，σ

>0）則稱X服從參數(shù)為μ和的正態(tài)分布,

記作X～N(μ，)

式中的μ是正態(tài)隨機變量X的均值,即E(X)=μ

式中的是正態(tài)隨機變量X的方差,即D(X)=第二十六頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期三關(guān)于密度函數(shù)的圖形1)圖形是關(guān)于x=μ

對稱的鐘形曲線，

且峰值在x=μ處取得。2)方差越小，曲線峰值越大，曲線

越狹長；方差越大，曲線越平坦。3)當(dāng)x→±∞時，→0，即以x軸

為漸近線。第二十七頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期三2、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

若正態(tài)分布N(μ

，)中的參數(shù)

μ=0，σ=1時，其分布N(0，1)

稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布