函數(shù)的奇偶性與周期性

§2.3

函數(shù)的奇偶性與周期性例1

判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)＝x3－x；考點(diǎn)一判斷函數(shù)的奇偶性奇函數(shù).非奇非偶函數(shù)奇函數(shù).考點(diǎn)二函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用跟蹤訓(xùn)練3

(1)設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)＝2x2－x，則f(1)等于(

)A.－3 B.－1 C.1 D.3A推廣:當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝____________.

－

2x2-x(2)設(shè)定義在(-b,b)上的函數(shù)f(x)=是奇函數(shù)(a,b∈R,a≠-2),則ab的取值范圍是_______.變式(2013·安徽)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)＝2f(x).若當(dāng)0≤x≤1時(shí),f(x)＝x(1－x),則當(dāng)－1≤x≤0時(shí)，f(x)＝______.例2

(1)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋6)＝f(x)，當(dāng)－3≤x<－1時(shí)，f(x)＝－(x＋2)2；當(dāng)－1≤x<3時(shí)，f(x)＝x.則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2015)等于(

)A.335

B.336

C.1678

D.2012考點(diǎn)三函數(shù)周期性的應(yīng)用B∵f(x＋6)＝f(x)，∴T＝6.f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1，(2)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，并且f(x＋2)＝

，當(dāng)2≤x≤3時(shí)，f(x)＝x，則f(105.5)＝______.2.5=f(1.5)=f(-2.5)變式1:當(dāng)x∈[-1,0]時(shí)，f(x)＝____________.變式2:當(dāng)x∈[1,2]時(shí)，f(x)＝____________.4-x你掌握了作周期函數(shù)圖象的方法了嗎?(2)(2013·天津)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞增.若實(shí)數(shù)a滿足f(log2a)＋

≤2f(1)，則a的取值范圍是(

)C考點(diǎn)四函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用點(diǎn)評(píng):掌握以下兩個(gè)結(jié)論，會(huì)給解題帶來方便：(i)f(x)為偶函數(shù)?f(x)＝f(-x)＝f(|x|).(ii)若奇函數(shù)在x＝0處有意義，則f(0)＝0.易錯(cuò)警示系列3忽視定義域致誤典例：(1)若函數(shù)f(x)＝

在定義域上為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)k＝________.±1(2)已知函數(shù)f(x)＝

則滿足不等式f(1－x2)>f(2x)的x的取值范圍是___________.方法與技巧1.判斷函數(shù)的奇偶性，首先應(yīng)該判斷函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)必要條件.2.利用函數(shù)奇偶性可以解決以下問題①求函數(shù)值；②求解析式；③求函數(shù)解析式中參數(shù)的值；④畫函數(shù)圖象，確定函數(shù)單調(diào)性.3.若對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任一個(gè)自變量的值x都有f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝

或f(x＋a)＝－(a是常數(shù)且a≠0)，則f(x)是一個(gè)周期為2a的周期函數(shù).失誤與