高等數(shù)學(xué)82二重積分的計算法課件

利用直角坐標(biāo)系計算二重積分小結(jié)思考題作業(yè)利用極坐標(biāo)系計算二重積分doubleintegral二重積分的換元法﹡第二節(jié)二重積分的計算法第九章重積分1本節(jié)介紹計算二重積分的方法:二重積分化為累次積分(即兩次定積分).二重積分的計算法2(1)

積分區(qū)域為：其中函數(shù)X－型在區(qū)間上連續(xù).二重積分的計算法一、利用直角坐標(biāo)系計算二重積分3計算截面面積(紅色部分即A(x0))＊二重積分的計算法以D為底,以曲面為頂?shù)那斨w的體積.應(yīng)用計算“平行截面面積為已知的立體求體積”的方法.用二重積分的幾何意義說明其計算法是區(qū)間為曲邊的曲邊梯形.為底,曲線4是區(qū)間為底,曲線為曲邊的曲邊梯形.有:＊二重積分的計算法先對y后對x的二次積分稱為累次積分.5(2)

積分區(qū)域為：Y－型先對x后對y的二次積分也即二重積分的計算法其中函數(shù)在區(qū)間上連續(xù).6特殊地如D是上述矩形域,得即等于兩個定積分的乘積.注D為矩形域:則則a≤x≤b,c≤y≤d二重積分的計算法7穿過區(qū)域且平行于y軸的直線穿過區(qū)域且平行于x軸的直線abdc

計算結(jié)果一樣.又是Y型:(3)積分區(qū)域D既是X型:X型區(qū)域的特點:Y型區(qū)域的特點:與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.但可作出適當(dāng)選擇.二重積分的計算法8(4)若區(qū)域如圖,在分割后的三個區(qū)域上分別使用積分公式.(用積分區(qū)域的可加性質(zhì))D1、D2、D3都是X型區(qū)域則必須分割.二重積分的計算法9例解

積分域既是X型又是Y型法一所圍平面閉區(qū)域.兩曲線的交點二重積分的計算法10？先對x后對y的積分法二二重積分的計算法11例siny2對y的積分而它對x的積分交換積分次序的方法是:改寫D為:oxy分析所以將二次積分先將所給的積分域(1)(2)畫出積分域的草圖(3)計算二次積分不能用基本積分法算出,可用基本積分法算出.交換積分次序.用聯(lián)立不等式表示D:二重積分的計算法12oxy二重積分的計算法13例交換積分次序：解積分區(qū)域:原式=二重積分的計算法14例解原式=交換積分次序：二重積分的計算法15交換積分次序的步驟(1)將已給的二次積分的積分限得出相應(yīng)的二重積分的積分區(qū)域,(2)按相反順序?qū)懗鱿鄳?yīng)的二次積分.并畫出草圖;二重積分的計算法16解二重積分的計算法練習(xí)交換積分次序17又是能否進(jìn)行計算的問題.計算二重積分時,恰當(dāng)?shù)倪x取積分次序十分重要,它不僅涉及到計算繁簡問題,而且凡遇如下形式積分:等等,一定要放在后面積分.二重積分的計算法18例求證左邊的累次積分中,積分域可表為提示定積分與積分變量的記法無關(guān)不能具體計算.所以,是y的抽象函數(shù),證畢.先交換積分次序.二重積分的計算法19例求兩個底圓半徑為R,且這兩個圓柱面的方程分別為及

解

求所圍成的立體的體積.二重積分的計算法?還有別的做法嗎20二重積分的計算法2002年研究生考題,7分練習(xí)計算二重積分其中

解

設(shè)21解計算積分不能用初等函數(shù)表示,先交換積分次序.練習(xí)二重積分的計算法22兩相鄰弧半徑平均值.內(nèi)取圓周上一點其直角坐標(biāo)則設(shè)為二重積分的計算法二、利用極坐標(biāo)系計算二重積分23得即也即極坐標(biāo)系中的面積元素二重積分的計算法24(1)積分區(qū)域D:θ二重積分的計算法θ25(2)積分區(qū)域D(曲邊扇形):二重積分的計算法26極坐標(biāo)系下區(qū)域的面積(3)積分區(qū)域D:

注一般,在極坐標(biāo)系下計算:θ二重積分的計算法27解例寫出積分的極坐標(biāo)二次積分其中積分區(qū)域形式,在極坐標(biāo)系下圓方程為直線方程為二重積分的計算法28解a例計算其中D是由中心在原點,半徑為a的圓周所圍成的閉區(qū)域.在極坐標(biāo)系下二重積分的計算法29解計算所圍成的平面閉區(qū)域.例及直線二重積分的計算法30解雙紐線求曲線所圍成的圖形的面積.例根據(jù)對稱性有在極坐標(biāo)系下二重積分的計算法由得交點面積31將直角坐標(biāo)系下累次積分:化為極坐標(biāo)系下的累次積分.oxy解練習(xí)原式=二重積分的計算法32計算因被積函數(shù)D2極坐標(biāo)例分析故的在積分域內(nèi)變號.D1二重積分的計算法33計算解

積分區(qū)域D關(guān)于x軸對稱,被積函數(shù)關(guān)于y為偶函數(shù).原式=記D1為D的y≥0的部分.則D1練習(xí)二重積分的計算法34

二重積分的計算規(guī)律再確定交換積分次1.交換積分次序:先依給定的積分次序?qū)懗龇e分域D的不等式,并畫D的草圖;序后的積分限;2.

如被積函數(shù)為圓環(huán)域時,或積分域為圓域、扇形域、則用極坐標(biāo)計算;二重積分的計算法35

3.注意利用對稱性質(zhì),數(shù)中的絕對值符號.以便簡化計算;4.被積函數(shù)中含有絕對值符號時,應(yīng)將積分域分割成幾個子域,使被積函數(shù)在每個子域中保持同一符號,以消除被積函二重積分的計算法36例計算分析從被積函數(shù)看,用極坐標(biāo)系要簡單些,但從積分域D的形狀看為宜.用卻又以直角坐標(biāo)系在兩者不可兼得的情況下,應(yīng)以D的形狀來決定用什么坐標(biāo)系,此題用直角坐標(biāo)系.二重積分的計算法37二重積分的計算法38﹡三、二重積分的換元法設(shè)被積函數(shù)在區(qū)域D上連續(xù),若變換滿足如下條件:(1)一對一地變?yōu)镈上的點;(2)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),且雅可比行列式二重積分的計算法39基本要求

注意變換后定限簡便,求積容易．二重積分的計算法40例解所圍成的閉區(qū)域.二重積分的計算法其中D為橢圓作廣義極坐標(biāo)變換41故換元公式仍成立,極坐標(biāo)二重積分的計算法42例解令則即二重積分的計算法43故二重積分的計算法44練習(xí)證明證法一交換積分次序累次積分二重積分的計算法45二重積分的計算法46證明法二令則二重積分的