學案空間中的垂直關系

學案空間中的垂直關系第一頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期二空間中的垂直關系以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點，認識和理解空間中線面垂直的有關性質與判定定理.第二頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期二1.在客觀題、解答題中以特殊幾何體為載體考查線面垂直、面面垂直關系以及邏輯推理能力.2.考查線面角、面面角的方法，考查作圖、證明、計算空間想像能力和推理論證能力。3.近年來開放型問題不斷在高考試題中出現(xiàn)，這說明高考對學生的能力要求越來越高，這也符合新課標的理念，因而在復習過程中要善于對問題進行探究.立體幾何中結合垂直關系，設計開放型試題將是新課標高考命題的一個熱點考向.第三頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期二

1.直線與平面垂直的定義如果直線l與平面α內的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直，記作

.直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面.直線與平面垂直時,它們唯一的公共點P叫做垂足.根據(jù)定義，過一點

直線與已知平面垂直；過一點

與已知直線垂直.l⊥α有且只有一條有且只有一個平面第四頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期二2.判定定理和性質定理（1）判定定理：

，則該直線與此平面垂直.（2）性質定理：

.

一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直垂直于同一個平面的兩條直線平行第五頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期二判定性質圖形條件(b為a內的任一條直線)結論第六頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期二如圖,AB為圓O的直徑,C為圓周上異于AB的任一點,PA⊥面ABC,問:圖中共有多少個Rt△?【分析】找出直角三角形,也就是找出圖中的線線垂直.考點1線線垂直問題第七頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期二【解析】∵PA⊥面ABC,∴PA⊥AC,PA⊥BC,PA⊥AB.∵AB為圓O的直徑,∴AC⊥BC.又∵AC⊥BC,PA⊥BC,PA∩AC=A,∴BC⊥面PAC.∵PC平面PAC,∴BC⊥PC.故圖中有四個直角三角形:△PAC,△PBC,△PAB,△ABC.第八頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期二

【評析】線線垂直可由線面垂直的性質推得,直線和平面垂直,這條直線就垂直于平面內所有直線,這是尋找線線垂直的重要依據(jù).第九頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期二如圖,已知矩形ABCD,過A作SA⊥平面AC,再過A作AE⊥SB交SB于E,過E作EF⊥SC交SC于F.(1)求證:AF⊥SC;(2)若平面AEF交SD于G,求證:AG⊥SD.第十頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期二證明:(1)∵SA⊥平面AC,BC平面AC,∴SA⊥BC,∵四邊形ABCD為矩形,∴AB⊥BC,∴BC⊥平面SAB,∴BC⊥AE,又SB⊥AE,∴AE⊥平面SBC,∴AE⊥SC,又EF⊥SC,∴SC⊥平面AEF,∴AF⊥SC.(2)∵SA⊥平面AC,∴SA⊥DC,又AD⊥DC,∴DC⊥平面SAD,∴DC⊥AG,又由(1)有SC⊥平面AEF,AG平面AEF,∴SC⊥AG,∴AG⊥平面SDC,∴AG⊥SD.第十一頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期二如圖所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分別是AB，PC的中點.（1）求證：MN⊥CD；（2）若∠PDA=，求證：MN⊥平面PCD.考點2線面垂直【分析】（1）因M為AB中點，只要證△ANB為等腰三角形，則利用等腰三角形的性質可得MN⊥AB.（2）已知MN⊥CD，只需再證MN⊥PC，易看出△PMC為等腰三角形，利用N為PC的中點，可得MN⊥PC.第十二頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期二【證明】(1)如圖,連接AC，AN，BN，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，在Rt△PAC中，N為PC中點，∴AN=PC.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，從而在Rt△PBC中，BN為斜邊PC上的中線，∴BN=PC.∴AN=BN,∴△ABN為等腰三角形,又M為底邊的中點,∴MN⊥AB,又∵AB∥CD,∴MN⊥CD.第十三頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期二(2)連接PM,CM，∵∠PDA=45°,PA⊥AD,∴AP=AD.∵四邊形ABCD為矩形,∴AD=BC，∴PA=BC.又∵M為AB的中點，∴AM=BM.而∠PAM=∠CBM=90°,∴PM=CM.又N為PC的中點，∴MN⊥PC.由（1）知，MN⊥CD，PC∩CD=C,∴MN⊥平面PCD.第十四頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期二

【評析】垂直問題的證明，其一般規(guī)律是“由已知想性質，由求證想判定”，也就是說，根據(jù)已知條件去思考有關的性質定理；根據(jù)要求證的結論去思考有關的判定定理，往往需要將分析與綜合的思路結合起來.第十五頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期二如圖所示,Rt△ABC的斜邊為AB，過A作AP⊥平面ABC，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F.求證：PB⊥平面AEF.第十六頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期二證明：AP⊥平面ABCAP⊥BCBC⊥ACAP∩CA=AAF⊥PCAE⊥PBBC⊥AFAF⊥面PBCAF⊥PBBC∩PC=CAF∩AE=ABC⊥面APCAF面APCPB⊥面AEF.第十七頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期二考點3面面垂直如圖，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，圖AB∥CD,AB=4,BC=CD=2,AA1=2,E,E1分別是棱AD,AA1的中點.（1）設F是棱AB的中點，證明：直線EE1∥平面FCC1;（2）證明：平面D1AC⊥平面BB1C1C.第十八頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期二【證明】（1）證法一：取A1B1的中點為F1.連結FF1,C1F1.由于FF1∥BB1∥CC1,所以F1∈平面FCC1,因此平面FCC1即為平面C1CFF1.連結A1D,F1C,由于A1F1D1C1CD,所以四邊形A1DCF1為平行四邊形，因此A1D∥F1C.又EE1∥A1D,得EE1∥F1C.而EE1平面FCC1，F(xiàn)1C平面FCC1，故EE1∥平面FCC1.【分析】證明線面平行，可轉化為證線線平行或面面平行，故由條件尋求轉化的關系；而證明面面垂直，一般用判定定理證明.第十九頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期二證法二：因為F為AB的中點，CD=2,AB=4,AB∥CD,所以CDAF，因此四邊形AFCD為平行四邊形，所以AD∥FC.又CC1∥DD1,FC∩CC1=C,FC平面FCC1,CC1平面FCC1,AD∩DD1=D,AD平面ADD1A1,DD1平面ADD1A1,所以平面ADD1A1∥平面FCC1.又EE1平面ADD1A1，所以EE1∥平面FCC1.故平面D1AC⊥平面BB1C1C.第二十頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期二(2)連結AC，在△FBC中，F(xiàn)C=BC=FB,又F為AB的中點，所以AF=FC=FB.因此∠ACB=90°,即AC⊥BC.又AC⊥CC1，且CC1∩BC=C,所以AC⊥平面BB1C1C.而AC平面D1AC,故平面D1AC⊥平面BB1C1C.第二十一頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期二

【評析】證明線面垂直的方法：證明一個面過另一個面的垂線，將證明面面垂直轉化為證明線面垂直，一般先從現(xiàn)有直線中尋找，若圖中不存在這樣的直線，則借助中點、高線與添加輔助線解決.第二十二頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期二第二十三頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期二第二十四頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期二第二十五頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期二第二十六頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期二1.一條直線垂直于平面內的兩條直線，則這條直線不一定垂直于這個平面.

2.直線和平面垂直判定定理中“平面內的兩條相交直線”是不能轉換為“平面內的無數(shù)條直線”之類的條件的.

3.兩個平面垂直是通過這兩個平面所成的二面角的度數(shù)來定義的，同時也給我們提供了一種證明方法：求二面角法.第二十七頁，共二十九頁，編輯