等腰三角形證明以及輔助線做法

巧用“兩線合一”構(gòu)建且證明等腰三角形問題學(xué)習(xí)了等腰三角形的三線合一后，筆者認(rèn)為，可以根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況，補(bǔ)充“三線合一”的逆命題的教學(xué)，因?yàn)檫@種逆命題雖然不能作為定理用，但它在解題中非常常見的。掌握了它，可以為我們解題增加一種重要思路。它有以下幾種形式：

①一邊上的高與這邊上的中線重合的三角形是等腰三角形．（線段垂直平分線的性質(zhì)）

②一邊上的高與這邊所對(duì)角的平分線重合的三角形是等腰三角形．

③一邊上的中線與這邊所對(duì)角的平分線重合的三角形是等腰三角形.

因此，三角形“一邊上的高、這邊上的中線及這邊所對(duì)角的平分線”三線中“兩線合一”就能證明它是等腰三角形．為了便于記憶，筆者簡言之：兩線合一，必等腰。本文重點(diǎn)利用該逆命題作為一種思路正確地添加輔助線，構(gòu)建等腰三角形且證明之來解決問題。

一、我們先來證明“三線合一”性質(zhì)的逆命題三種情形的正確性：

證明①：已知:如圖1，△ABC中，AD是BC邊上的中線，又是BC邊上的高。求證：△ABC是等腰三角形。分析：AD就是BC邊上的垂直平分線，利用線段垂直平分線的性質(zhì)，可以推出AB=AC，所以△ABC是等腰三角形。具體證明過程略。證明②：已知:如圖1，△ABC中，AD是∠BAC的角平分線，AD是BC邊上的高。求證：△ABC是等腰三角形。分析：利用ASA的方法來證明△ABD≌△ACD，由此推出AB=AC得出△ABC是等腰三角形。具體證明過程略。證明③：已知:如圖2，△ABC中，AD是∠BAC的角平分線，

AD是BC邊上的中線。求證：△ABC是等腰三角形。方法一：分析：要證△ABC是等腰三角形就是要證AB=AC，直接通過證明這兩條線段所在的三角形全等不行，那就換種思路，經(jīng)驗(yàn)告訴我們，在有中點(diǎn)的幾何證明題中常用的添輔助線的方法是“倍長中線法”（即通過延長三角形的中線使之加倍，以便構(gòu)造出全等三角形來解決問題的方法），即延長AD到E點(diǎn)，使DE=AD，由此問題就解決了。證明：如圖2，延長AD到E點(diǎn)，使DE=AD，連接BE

在△ADC和△EDB中

AD=DE

∠ADC=∠EDB

CD=BD

∴△ADC≌△EDB

∴AC=BE,∠CAD=∠BED

∵AD是∠BAC的角平分線

∴∠BAD=∠CAD

∴∠BED=∠BAD

∴AB=BE

又∵AC=BE

∴AB=AC

∴△ABC是等腰三角形。方法二：分析：上面的“倍長中線法”稍微有點(diǎn)麻煩，經(jīng)驗(yàn)告訴我們，遇到角的平分線，我們可以利用角的平分線的性質(zhì)：過角的平分線上一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，從而構(gòu)造出了高，再利用面積公式開辟出新思維。具體做法是：如圖2，

過點(diǎn)D作DF⊥AB，

DE⊥AC垂足分別為F、E。又因AD是∠BAC的角平分線，所以DF=DE。

因?yàn)锽D=DC，利用“等底同高的三角形面積相等”的原理，所以=，再根據(jù)“等積三角形高相等則底也相等”，因?yàn)?==，又因DF=DE，所以AB=AC，可見“面積法”給解題帶來了簡便，這種方法也正是被人們易忽視的。求證：

EF∥AB，EF=(AC-AB)分析：由已知可知，線段AE既是∠BAC的角平分線，又是EC邊上的高，即“兩線合一”，就想到把AE所在的等腰三角形構(gòu)造出來，因而就可添輔助線：分別延長CE、AB交于點(diǎn)G。

簡單證明：由所添輔助線可證△AGE≌△ACE，得出△AGC是等腰三角形，AG=AC∴EG=CE

又∵點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)∴EF是△BGC的中位線∴EF∥AB，EF=BG=(AG-AB)=(AC-AB)3、逆命題③應(yīng)用：例5

已知：如圖8，△ABC中，AD是它的角平分線，且BD=CD，DE∥AC

、DF∥AB分別與AB、AC相交于點(diǎn)E，F(xiàn)。求證：DE=DF

分析：根據(jù)已知條件，利用相似性知識(shí)，可證：點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB、AC的中點(diǎn)（初中階段不能用三角形的中位線的逆定理），又因點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，再利用三角形中位線的性質(zhì)可知，DE=AC，DF=AB，可見只要證明AC=AB，題目所求證的結(jié)論就可得證。因?yàn)锳D既是∠BAC的角平分線，又是BC邊上的中線，即“兩線合一”，

所以△ABC是等腰三角形可證，方法見逆命題③的證明。證明：過程略。還有的題目沒有直接給出“兩線合一”的條件，而是需要證明其中一個(gè)條件或者通過作輔助線構(gòu)建另一個(gè)條件，使題目符合“兩線合一”思路。例6

如圖9，梯形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中點(diǎn)，DE平分∠ADC，求證：AD=CD+AB例7

分析：拿到這個(gè)題目，學(xué)生的思維很活躍，有的用“截長補(bǔ)短法”；有的用“角的平分線性質(zhì)”；有的用“梯形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題”的方法；筆者發(fā)現(xiàn)有幾個(gè)學(xué)生延長DC、AE相交于點(diǎn)F，易證△ABE≌△FCE，所以

AB=CF，AE=EF，可見只要證明AD=FD，題目所求證的結(jié)論就可得證。可是學(xué)生想到這一步，思維受阻：DE此時(shí)既是∠ADC的角平分線，又是AF邊上的中線，△DAF肯定是等腰三角形，就是不知道怎么證明。可見，學(xué)生如果有“兩線合一，必等腰”的思維和掌握了它的證明方法，那么此法是可行。只是此法用于這個(gè)題目較為麻煩、不可取，但是對(duì)于學(xué)生的思維火花還是要給予肯定的。由于筆者在研究過程中，發(fā)現(xiàn)逆命題③的應(yīng)用不是很多，所以在此就不過多的舉例。

三、請讀者小試牛刀

學(xué)習(xí)了以上“兩線合一，必等腰”的新思路，筆者最后再一次警告讀者：由于“三線合一”性質(zhì)的逆命題①與線段垂直平分線的性質(zhì)相吻合，所以可直接應(yīng)用；但是運(yùn)用逆命題②或③添加輔助線構(gòu)造的等腰三角形必須先要證明，不能作為定理用，切記切記！謹(jǐn)防與“三線合一”性質(zhì)搞混淆。請讀者試解下面問題（前2題提示，后3題不予提示）1、已知，如圖10，△ABC中，∠BAC＝

90°，

AD⊥BC于D，∠ABC的平分線交AD于E，交AC于P，∠CAD的平分線交BP于Q。求證：△QAD是等腰三角形。（提示：可證∠AQB=90°，延長AQ。此題把逆命題②與直角三角形的性質(zhì)綜合應(yīng)用）解法：AD⊥BC于D,∠ADF=∠ADB=90°,∠ABC+∠BAD=90°,∠CAD+∠BAD=90°,∠ABC=∠BAD∠ABC/2=∠BAD/2,∠DBE=∠QAE,∠BED=∠AEQ,[對(duì)頂角]，故∠BDE=∠AQE=90°,∠ABQ=∠FBQ,BQ=BQ,∠BQA=∠BQF=90°,RT△BQA≌RT△BQF,[ASA]AQ=FQ,Q為RT△ADF斜邊AF的中點(diǎn)，AQ=DQ,△QAD是等腰三角形.2、如圖（圖略，讀者自己畫），在△ABC中（AB≠AC），M為BC的中點(diǎn)，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，BE⊥AD于E，CF⊥AD于F．求證：ME=MF．（提示：延長BE、CF．）

3、如圖（圖略），BE、CF是△ABC的角平分線，AM⊥CF于M，AN⊥BE于N．求證：MN∥BC．（畫圖時(shí)，注意AB≠AC）解法∵BE為∠ABC的角平分線，BE⊥AG，

∴∠BAM=∠BGM，

∴△ABG為等腰三角形，

∴BM也為等腰三角形的中線，即AM=GM．

同理AN=DN，

∴MN為△ADG的中位線，

∴MN∥BC．4、如圖（圖略），已知梯形

ABCD中，AB∥CD，∠C的平分線CE⊥AD于E，且DE=2AE，CE把梯形ABCD分成兩部分，求這兩部分面積之比．（畫圖時(shí)，注意AB為上底，CD為下底，E點(diǎn)在線段A