2022湖南長沙中考數學試卷、答案解析

2022年湖南長沙中考數學

一、選擇題（每小題3分，共30分，下列各小題均有四個選項，其中只有一個是

正確的）

1.一6的相反數是（）

A.--B.-6C.-D.6

66

2.如圖是由5個大小相同的正方體組成的幾何體，該幾何體的主視圖是（）

正面

3.下列說法中，正確的是（）

A.調查某班45名學生的身高情況宜采用全面調查

B.“太陽東升西落”是不可能事件

C.為了直觀地介紹空氣各成分的百分比，最適合使用的統(tǒng)計圖是條形統(tǒng)計圖

D.任意投擲一枚質地均勻的硬幣26次，出現正面朝上的次數一定是13

4,下列計算正確的是（）

A.a7^-a5=a2B.5a—4a=1

C.3a2-2a3=6a6D.（a—b）2=a2—b2

5.在平面直角坐標系中，點（5,1）關于原點對稱的點的坐標是（）

A.（-5,1）B.（5,-1）C.（l,5）D.（-5,-1）

6.《義務教育課程標準（2022年版）》首次把學生學會炒菜納入勞動教育課程，并

做出明確規(guī)定。某班7名學生已經學會炒的菜品的種數依次為3,5,4,6,3,

3,4.則這組數據的眾數和中位數分別是（）

A.3,4B.4,3C,3,3D.4,4

7.為落實“雙減”政策，某校利用課后服務開展了主題為“書香滿校園”的讀

書活動.現需購買甲，乙兩種讀本共100本供學生閱讀，其中甲種讀本的價格為

10元/本，乙種讀本的價格為8元/本，設購買甲種讀本x本，則購買乙種讀本的

費用為)

A.8x元B.10(100—X)元C.8(100—X)元D.(100—8x)元

8.如圖，AB//CD,AE//CF,NBAE=75。,則NOCF的度數為)

A.650B.700C.75°D.105°

9.如圖，PA,尸8是。。的切線，/、B為切點,若乙4。8=128。，則/尸的度數

為)

A.320B.520

10.如圖，在△Z8C中，按以下步驟作圖：

①分別以點/、8為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于尸、0兩點;

②作直線尸0交Z8于點。；

③以點。為圓心，長為半徑畫弧交P。于點M、連接ZM、BM.

若則的長為)

A.4B.2C.V3D.V2

二、填空題（每小題3分，共18分）

11.若式子五二正在實數范圍內有意義，則實數x的取值范圍是.

12.分式方程工2的解為______-

xx+3

13.如圖，4、B、。是QO上的點，OCUB,垂足為點。，且。為OC的中點,

若0A=7,則8c的長為.

14.關于x的一元二次方程/+2》+片0有兩個相等的實數根，則實數/的值

為.

15.為了解某校學生對湖南省“強省會戰(zhàn)略”的知曉情況，從該校全體1000名

學生中，隨機抽取了100名學生進行調查，結果顯示有95名學生知曉.由此，估

計該校全體學生中知曉湖南省“強省會戰(zhàn)略”的學生有名.

16.當今是大數據時代，“二維碼”具有存儲量大、保密性強、追蹤性高等特點,

它已被廣泛應用于我們的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期間，區(qū)區(qū)

“二維碼”已經展現出無窮威力，看似“碼碼相同”，實則“碼碼不同”.通常，

一個“二維碼”由1000個大大小小的黑白小方格組成，其中大約80%的小方格

專門用做糾錯碼和其他用途的編碼，這相當于1000個方格中只有200個方格作

為數據碼.根據相關數學知識，這200個方格可以生成22?個不同的數據二維碼.

現有四名網友對22。。的理解如下：

YYDS（永遠的神）：22皿就是200個2相乘，它是一個非常非常大的數；

DDDD（懂的都懂）：220。等于2002；

JXND（覺醒年代）：22。。的個位數字是6；

QGYW（強國有我）：我知道2。曰024,103=iooo,所以我估計2?。。比1（）60大。

其中對22。。的理解錯誤的網友是（填寫網名字母代號）.

三、解答題（本大題共9個小題，第17、18、19題每小題6分，第20、21題每

小題8分，第22、23題每小題9分，第24、25題每小題10分，共72分。解答

應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）

17.（6分）計算：|-4|+Q）-1-（V2）2+20350.

18.（6分）解不等式組：］：。>一：一：‘義

（2（x-1）<6.@

19.(6分)為了進一步改善人居環(huán)境，提高居民生活的幸福指數.某小區(qū)物業(yè)公司

決定對小區(qū)環(huán)境進行優(yōu)化改造。如圖，Z8表示該小區(qū)一段長為20m的斜坡，坡

角N8/Z>30。，BD上4D于點D。為方便通行，在不改變斜坡高度的情況下，把

坡角降為15%

(1)求該斜坡的高度8。；

(2)求斜坡新起點C與原起點/之間的距離。(假設圖中C,A,。三點共線)

20.(8分)2022年3月22日至28日是第三十五屆“中國水周”，在此期間，某

校舉行了主題為“推進地下水超采綜合治理，復蘇河湖生態(tài)環(huán)境”的水資源保護

知識競賽。為了了解本次知識競賽成績的分布情況，從參賽學生中隨機抽取了

150名學生的初賽成績進行統(tǒng)計，得到如下不完整的統(tǒng)計圖表。

(2)請補全頻數分布直方圖；

(3)若某班恰有3名女生和1名男生的初賽成績均為99分，從這4名學生中隨機

選取2名學生參加復賽，請用列表法或畫樹狀圖法求選出的2名學生恰好為一名

男生、一名女生的概率。

21.(8分)如圖，ZC平分N8/。，CBA.AB,CDA,AD,垂足分別為8,D.

（1）求證：4ABC注AADC；

⑵若/8=4,8=3,求四邊形Z8CD的面積。

22.（9分）電影《劉三姐》中，有這樣一個場景，羅秀才搖頭晃腦地吟唱道：“三

百條狗交給你，一少三多四下分，不要雙數要單數，看你怎樣分得均？”該歌詞

表達的是一道數學題。其大意是：把300條狗分成4群，每個群里，狗的數量都

是奇數，其中一個群，狗的數量少，另外三個群，狗的數量多且數量相同，應該

如何分？請你根據題意解答下列問題：

（1）劉三姐的姐妹們以對歌的形式給出答案：“九十九條打獵去，九十九條看羊

來，九十九條守門口，剩下三條給財主.”請你根據以上信息，判斷以下三種說

法是否正確，在題后相應的括號內，正確的打“4”，錯誤的打“x”.

①劉三姐的姐妹們給出的答案是正確的，但不是唯一正確的答案。（）

②劉三姐的姐妹們給出的答案是唯一正確的答案。（）

③該歌詞表達的數學題的正確答案有無數多種。（）

（2）若羅秀才再增加一個條件：”數量多且數量相同的三個群里，每個群里狗的

數量比數量較少的那個群里狗的數量多40條”，求每個群里狗的數量。

23.（9分）如圖，在口/BC。中，對角線4C,8。相交于點O,AB=AD.

⑴求證：ACLBD-,

（2）若點E,尸分別為ND,ZO的中點，連接E尸=|,A0=2,求8。的長及四

邊形Z8C。的周長。

24.（10分）如圖，四邊形N8C。內接于OO,對角線NC,8。相交于點￡,點、F

在邊/。上，連接EF。

(1)求證：/\ABEs/\DCE.

(2)當比=曲，NDFE=2NCDB時,翌一蕓=__

BECE^75

—9_______.(直接將結果填寫在相應的橫線上)

(3)①記四邊形N8CZ>,/\ABE,XCDE的面積依次為S,S,S2,若滿足遍=店+醫(yī),

試判斷△Z8E,△CDE的形狀，并說明理由。

②當DC=(fB,AB=m,AD=n,CD=p時，試用含加，n,p的式子表示4￡CE

25.(10分)若關于x的函數乃當，一淮纖|時，函數》的最大值為初，最小值為

N,令函數〃」等，我們不妨把函數〃稱為函數y的“共同體函數”。

⑴①若函數產1044X,當尸1時，求函數P的“共同體函數”力的值；

②若函數嚴自+b(后0,k,b為常數)，求函數歹的“共同體函數”〃的解析式。

(2)若函數尸!(應1),求函數y的“共同體函數”。的最大值。

(3)若函數尸一/+4x+鼠是否存在實數匕使得函數y的最大值等于函數y的“共

同體函數”。的最小值？若存在，求出左的值；若不存在，請說明理由。

2022年湖南長沙中考數學

(參考答案)

l.D2.B3.A4.A5.D6.A7.C8.C9.B10.B

1.D求一個數的相反數，只需改變這個數前面的符號，所以一6的相反數為6.

2.B從正面看，得到該幾何體的主視圖，為選項B中的圖形.

3.A“太陽東升西落”是必然事件，B錯誤；為了直觀地介紹空氣各成分的百

分比，最適合使用的統(tǒng)計圖是扇形統(tǒng)計圖，C錯誤；任意投擲一枚質地均勻的硬

幣26次，出現正面朝上的次數不一定是13,D錯誤.

4.Aa,-^-a5=a1'5=a2,A正確；5a-4a=a,B錯誤；3a2-2a3=3x2xa2+3=6cz5,C錯

誤；(a—b)2=a2+b2—lab,D錯誤.

5.D由“關于原點對稱的點的橫、縱坐標都互為相反數”知，點(5,1)關于原

點對稱的點的坐標為(-5,-1).

6.A眾數是一組數據中出現次數最多的數據，易知這組數據的眾數是3；將這

組數據按從小到大的順序排列為3,3,3,4,4,5,6,易知這組數據的中位數

為4.

7.C由題意知，購買乙種讀本的數量為(100—x)本，又因為乙種讀本的價格為8

元/本，所以購買乙種讀本的費用為8(100—x)元.

8.C設ZE與8的交點為H〃CO,/DHE=ZBAE=15°VAE//CF,

ZDCF=ZDHE=15°.

9.B,；PA、P8是。。的切線，A.B為切點，,ZPAO=ZPBO=90°,：.NP=360。

-ZPAO-ZPBO-ZAOB=360o-900-90°-128°=52°.

10.B由題意知，尸。垂直平分線段Z8,AD=DM,：.AD=DM=^-AB=^2,

ZADM=90°,為等腰直角三角形，:.AM=gD=2.

11.答案x>19

解析由題意得x—19K),解得應19.

12.答案x=2

解析分式方程兩邊同乘x(x+3),得2(x+3)=5x.解得x=2.經檢驗，-2是原分式

方程的解.

13.答案7

解析由得AAOD與ABCD均為直角三角形,又二?點。為

OC的中點，：.OD=DC,.，.RtA^0Z)^RtA5CD,：.BC=OA=1.

14.答案1

解析因為關于x的一元二次方程d+2》+片0有兩個相等的實數根，所以/=22—

4片0,解得片1.

15.答案950

解析1000x*950(名).

16.答案DDDD

解析根據塞的意義易知，22。。就是200個2相乘，它是非常大的數，YYDS理

解正確；易知22。。>2002,DDDD理解錯誤;2』2,22=4,23=8,24=16,25=32,

2(>=64,……,所以個位數字循環(huán)節(jié)為4,200+4=50,所以22。。的個位數字為6,

JXND理解正確；因為2i°=l024,103=1000,所以所以⑵乎見也產,

即2200>1060,QGYW理解正確.

17.解析原式=4+3—2+1=6.

18.解析解不等式①，得4一2,

解不等式②，得立4,

二不等式組的解集為一2〈爛4.

19.解析于點。，AZBDA=90°

在中，sinNBAD旦,VZBAD=30°,AB=20m,

AB

1

：.BD=ABsm30°=20x^=10(m).

???該斜坡的高度為10m.

(2)；/6/。是4。18的外角，.../比1。=/。+/。8/,又NB4D=30。,ZC=15°,

/.ZCBA=ZBAD~ZC=15°,：.ZCBA=ZC,：.CA=AB.

又,.,Z8=20m,/.CA=20m,

斜坡新起點C與原起點A之間的距離是20m.

20.解析(1)30；0.3；0.4.

々=150x0.2=30,Z?^4^5=0.3,c=6-0^=0.4.

150150

(2)補全頻數分布直方圖如圖所示：

頻數(學生人數)

60

50

40

30

20

10

60708090100成績/分

(3)將3名女生分別表示為4、/2、4,男生表示為4,畫樹狀圖如圖:

4A2A3

/T\不小

A2A3BAtA3BAtA2B

共有12種等可能的結果，其中恰好為一名男生、一名女生的結果有6種，所以

選出的2名學生恰好為一名男生、一名女生的概率為*4

21.解析⑴證明：:4C平分NB4D,；.NB4C=ND4C,^'：CB±AB,CDLAD,

，ZB=ZD=90°,

Z.BAC=Z.DAC,

在△ABC與△/OC中，2B=ND,

AC=AC,

AABC^AADC.

(2)V/\ABC^/\ADC,且48=4,CD=3,

??AD=AB—4)SAABUS&ADC.

又,：CDL4D,：.S&ADC^ADCD=^X4X3=6.

***5四邊形43co=2S44OC=2X6=12.

22.解析⑴①Y②x③x

提示：設其中3個狗群中狗的數量均為a,另一個狗群中狗的數量為b,a,b均

為奇數，則3a+b=300,利用賦值法可知，當6=9,a=97時,滿足題意；當a=21,

b=93時，也滿足題意.據此可判斷說法的正誤.

(2)設數量少的群里有x條狗，則數量多的三個群里，每一個群里有(x+40)條狗，

由題意可得3(x+40)+x=300,解得x=45,x+40=45+40=85.

答：數量多的三個群里分別有85,85,85條狗，數量少的群里有45條狗.

23.解析(1)證明：?.?四邊形/BCD為平行四邊形，且48=/。，

四邊形ABCD是菱形，

⑵?"、尸分別為的中點，.是的中位線，片,.?.O0=2EE=3,

?.?四邊形是平行四邊形，

：.OB=OD,：.BD=2OD=6.

,JACLBD,：.ZAOD=90°,

在Rt/^AOD中，由勾股定理得AD=y/AO2+OD2=yj22+32=V13.

二四邊形ABCD的周長為

24.解析(1)證明：?.?四邊形/8CQ內接于OO,

，NACD=/ABD,

XV/DEC=/AEB,

：.AABEsADCE.

如圖所示，設NCDB=a,

\'DC=CB,ZDFE=2ZCDB,

：./DAC=/BAC=/CDB=a,

：.ZDAB=2ZCDB=ZDFE=2a.

J.EF//AB,

NFEA=NBAC=ZDAC=a,FA=FE.

,AF十FE_EF卜AF_DF十

**ABADABADDAADAD

1.11111

ABADAFABADAF

(3)①都是等腰三角形.

理由：記△8CE的面積依次為S3,S4,

?卓一合,.,.5251=5354.

S]BES4

由巡=a+居兩邊平方得S=SI+S2+2店五

/.S=Sl+S2+S3+S4=Sl+S2+2JS1S2，

:.S3+S卡2塔瓦=2塔冢，酉己方得(店一店)2=0.

?"J$3=JS4，??5,3=5,4,

又???{2囂::北熱?△的sZXSCE

?AE_DE_曬

■*BECE754'

：.AE=BE,DE=CE,

:."BE,△COE都是等腰三角形.

②?.?比=/，：.ZCAD=ZCAB,

?("""B—Z.DAC,.AABESAACD

"t^EBA=乙DCA；.4ABE^ACD.

二,又“：AB=m,AD=n,CD=p,

，/一，：1

ACAD

ACAE=ABAD=mn.

又叱篇-部：4DCsADEC.

VZ_/1ULz-Z-LzL*131

???ACDC，

DCEC

：.ACCE=DC1=p2.

+AC1=mn+p1.

x可得力c^/acE三〃勿火2