2022-2023學年山東省東營市高二年級下冊學期開學摸底檢測數學試題含答案

2022-2023學年山東省東營市高二下學期開學摸底檢測數學試題

一、單選題

1.已知："（°,9,8（0,-4）,C（4,0）；E（°，2）,尸（0,-2）,一束光線從尸點出發(fā)射到8c上的。

點經2C反射后，再經/C反射，落到線段NE上（不含端點），則戶7）斜率的取值范圍是（）

【分析】根據光線的入射光線和反射光線之間的規(guī)律，可先求尸點關于直線8c的對稱點P,再求

P關于直線AC的對稱點M由此可確定動點D在直線BC上的變動范圍，進而求的其斜率的取值范

圍.

"-1

a

b-2ci

設廠（0,-2）關于直線8c的對稱點為尸（a,b）,貝一亍一5

fa=2

解得"=-4,故尸GT）,

同理可求,G"4）關于直線NC的對稱點為"（8,2）,

連接交/C于汽，

（y=2

而施V方程為尸2,聯立卜=-X+4得N點坐標為N（2,2）,

連接尸分別交BC于H，G,

尸/方程為：N=-4X+4,和直線8c方程夕=x-4聯立，

雇，烏

解得，點坐標為M5,

PN的方程為尸2,和直線8c方程y=x-4聯立解得G（2,-2）,

連接尸G,尸"，則”,G之間即為動點D點的變動范圍，

工+2]

kfG=kpH=-

而5,

（一二,0）

故ED斜率的取值范圍是4,

故選B.

2.己知點尸32）,點加是圓G：（x-1）2+V=l上的動點，點%是。2：/+（k2）2=1上的動點，則

|/WH尸"I的最大值是（）

A.5-2&B.5+2及c.2>/2-2D.3-272

【答案】A

【解析】由圓外的點和圓上的點的連線長度的最值關系，轉化為求歸M-TPML,

【詳解】由條件可知IPNHPMI的最大值是|PNLT尸Mmi?,

|PNL=KI+1=J（3-0T+（2-2）2+1=4,

22

I戶閘mm=IPC11=7（3-l）+（2-0）-1=272-1

9

所以沖|一|PW的最大值是4-（2&-1）=5-2夜

故選：A

【點睛】結論點睛：本題第二問考查與圓的幾何性質有關的最值，具體結論如下:

（1）設°為圓的圓心，半徑為「，圓外一點A到圓上的距離的最小值為

\A°\-r,最大值為陷+:

（2）過圓內一點的最長弦為圓的直徑，最短弦是以該點為中點的弦；

（3）記圓的半徑為『，圓心到直線的距離為〃，直線與圓相離，則圓上的點到直線的最大距離為

d+r,最小值為

3.位于德國東部薩克森州的萊科勃克橋（如圖所示）有“仙境之橋”之稱，它的橋形可近似地看成

拋物線，該橋的高度為〃，跨徑為。，則橋形對應的拋物線的焦點到準線的距離為

【答案】A

【分析】根據題意，以橋頂為坐標原點，橋形的對稱軸為夕軸建立直角坐標系X。7,則拋物線的頂

點坐標是（0,0）,并且過［2）,利用待定系數法求P即可.

【詳解】以橋頂為坐標原點，橋形的對稱軸為卜軸建立直角坐標系X。,，

2/、I_,-7z"=2hpp=a

結合題意可知，該拋物線k二-24（。＞0）經過點（2'人則4-，解得一8〃，故橋形對應

_a2

的拋物線的焦點到準線的距離為'一還.故選A.

【點睛】本題考查拋物線的簡單性質的應用，涉及了待定系數法求拋物線解析式的知識，注意建立

數學模型，培養(yǎng)自己利用數學知識解決實際問題的能力，難度一般.

4.拋物線有一條重要的性質：平行于拋物線的軸的光線，經過拋物線上的一點反射后經過它的焦

點.反之，從焦點發(fā)出的光線，經過拋物線上的一點反射后，反射光線平行于拋物線的軸.已知拋

物線V=8x,從點"（4,必）發(fā)出一條平行于X軸的光線，經過拋物線兩次反射后，穿過點8（4，%）,

則光線從A出發(fā)到達B所走過的路程為（）

A.8B.10C.12D.14

【答案】C

【分析】利用拋物線的定義求解.

焦點為/口，。），設光線第一次交拋物線于點第二次交拋物線于點",

4E過焦點F,準線方程為：》=-2,

作AA"垂直于準線于點A",作BB"垂直于準線于點B”,

則⑷1+MM+忸到，

=\AA'\+\A'F\+\B'F\+\B'B\

=\AA'\+\A'A"\+\B'B"\+\B'B\

=陽1+網=6+6=12

故選：C

5.對于一切實數X,令國為不大于x的最大整數，則函數/（x）=b］稱為高斯函數或取整函數.若

〃eN*,為數列也｝的前"項和，則$3,=（）

1

%——n%+一〃

A.22B.22

,—9n2——3n

C.3"-2"D.22

【答案】A

【分析】根據高斯函數的性質以及數列求和公式進行計算.

【詳解】解：由題意，當〃=3々，〃=3&+1,〃=3"2(%eN+)時，均有一15廣5

故可知：

Sin=0+0+1+1+1+2+2+2+3+3+3+?—1)+(〃-1)+(〃-l)+"=3x-------x(〃-1)+〃

=-3n2—1n

22.

故選：A

1q+a,+-----卜a”=一(aa4)

6.若正項數列f佃/中，2%,nwN*,則%以的值是()

A.72021-72020B.V2021+V2020

cV2022-V202TDV2022+V202T

【答案】A

2S“--a“4----

【分析】設％+電+%+???+%=*,則％,利用《,=5,,-5"〃22)變形，可得數列

｛S；｝是首項為5；=1,公差為1的等差數列，求出5,,=6，由此再求出見，可得七以.

2S〃=Q“4----

【詳解】設4+02+/+,一+?！?5”，則%,

C1

2〃]=qH----2

當〃=i時，％,得q=1,因為所以囚=1,

2sli=S?-S,i+---S"+S”_]=---

當〃22時，￥得工fl,

得s：-s3=i,所以數列BN是首項為s：=i,公差為1的等差數列，

所以S：=l+(〃-l)xl=〃，因為數列口｝是正項數列，所以邑＞°,所以S”=6,

所以當“22時，a“=S“-S.T=4-V^T,

又〃=1時，％=1也適合上式，

所以%=G7n-l(4wN*),

所以a2O2i=J2021-V2020

故選：A

【點睛】關鍵點點睛：利用%=’—S，，T("22)變形，得到數列｛S：｝是首項為W=1,公差為1的等

差數列，求出S，是解題關鍵.

/(x)=4"(I

7.函數/在點12J處的切線與坐標軸圍成的圖形面積是()

39

A.12B.9C.4D.2

【答案】D

【分析】先利用/G)的導函數求出切線的斜率，即可求出解析式，即可求出截距，最后求出面積.

f-U-16j；-4=-16-|x--|

【詳解】由題，'V,V2J，所以切線為I2九整理得

3139

__x_x12=_

y=-16x+12(易得切線的截距為4和12,圍成的圖形為直角三角形，故所求面積為24-2,

故選：D

8.設函數l-U-l)\x<l)若關于x的方程［〃x)『+W(x)T-機=°恰好有4個不相等的實

數解，則實數”的取值范圍是()

【答案】B

【分析】方程化為〃x)=l或〃x)=一機-1,由導數確定函數/(')的單調性、極值，結合函數圖象

可得參數范圍.

【詳解】因為兇幻「+切口)-1-〃7=°恰好有4個不相等的實數解，

所以(/(x)+機+l)(/(x)-1)=0恰好有4個不相等的實數解，

所以〃x)=l或〃X)=-"L1共有4個解,

設心)=4(x>l)則如)=審

所以xe(l,e)時，h\x)>0；〃(x)單調遞增,

xe(e,+oo)時，以x)<0,例x)單調遞減，

M⑴=0,

,,、門〃(x)e°」；

當xf+8時，〃(x)->0,所以Lej

設g(x)=-(xT)\(x<l),

則g'(x)=-3(x-<0,g(x)為單調減函數，

且x--8時，g(x)->+8,g⑴=0,g(x)e(0,+oo)

作出函數/(X)的圖象如圖所示：

由圖可知〃x）=l只有-一解，

要（/（尤）+機+1）（/（、）-1）=0恰好有4個不相等的實數解，

即要=恰有3解，

0<-m-1<—

所以e,

,1,

-1—<m<-1

即e,

故選：B.

【點睛】方法點睛：利用導數研究方程解的個數問題的方法是方程轉化為〃外="的形式，然后利

用導數確定函數的性質（單調性、極值、函數的變化趨勢），作出函數的大致圖象及直線y二。觀察

圖象可得解的個數的結論.

二、多選題

9.已知過點尸,2）的直線/與圓C：（x-3）、（y-3）2=4交于48兩點，0為坐標原點，則（）

A.恒川的最大值為4

B""四的最小值為0

C.點°到直線/的距離的最大值為26

376

D.△產℃的面積為〒

【答案】AC

【分析】求得圓C的圓心坐標為C（3,3）,半徑為『=2,結合圓的性質和圓的弦長公式，準線判定,

即可求解.

【詳解】由題意，圓。：口-3）2+3-3）2=4的圓心坐標為0（3,3）,半徑為『=2,

又由點P（4,2）在圓C內部，

因為過點尸G2）的直線/與圓C：&-3）2+（y-3『=4交于48兩點，

所以的最大值為2r=4,所以A正確；

因為|PC|=7（4-3）2+（2-3）2=及,

當直線/與PC垂直時，此時弦以田取得最小值，

最小值為?冽=2用一（揚2=2近,所以B錯誤；

當直線/與。尸垂直時，點°到直線/的距離有最大值，

且最大值為沖=J（4-0y+（2-0）2=2色所以c正確；

3-02-3

由自'=口=1'即°=口=_1,可得壇C.即c=_l,即0C_LPC,

-|OC|-|PC|=-x3>/2xV2=3

所以△「℃的面積為2，所以口錯誤.

故選：AC.

C-=1

10.已知雙曲線，84的左、右頂點分別為48,點p是c上的任意一點，則下列結論正確

的是（）

,網>也

A.若直線y=.與雙曲線C無交點，貝〃2

B.焦點到漸近線的距離為2

8

c.點尸到兩條漸近線的距離之積為§

D.當戶與"，8不重合時，直線尸4尸8的斜率之積為2

【答案】BC

【分析】由雙曲線的漸近線可以判斷A；

求出雙曲線的漸近線和焦點，進而根據點到直線的距離判斷B；

設點p（x'y）,進而求出該點到兩條漸近線的距離之積，并結合點在雙曲線上進行化簡，然后判斷

c；

求出尸4尸8的斜率之積，并結合點在雙曲線上進行化簡，然后判斷D.

V=i--x,川之--

【詳解】對A,雙曲線的漸近線方程為2,若直線夕=船與雙曲線C無交點，貝『2.A

錯誤；

對B,由A漸近線方程為x土及卜=°,焦點為62退，°）,則焦點到漸近線的距離

P(-----=1x~—2y2=8

對C,設點Y刃，則84，點。到兩條漸近線的距離之積為

卜+同IXk一與I_|X2-2/|_8

M⑸3§

?v-zJLL.Tvtj,

(2\

/r\/r\/、y2=41——&工±2及)

對D,易得"?&，0)B(2a,0),由c點尸GM滿足I8),所以直線尸/，尸8的

(x2}

yyzy=I8J=_j_

22

斜率之積為x+2&x-141x-Sx-85.D錯誤.

故選：BC.

±

11.已知數列｛""｝是公差為d的等差數列，若存在實數d,使得數列NJ滿足：可以從中取出無

限多項，并按原來的先后次序排成一個等差數列，則下列結論正確的是（）

A.符合題意的數列｛“"｝有無數多個

B.符合題意的實數”有無數多個

C.符合題意的數列｛%｝僅有一個

D.符合題意的實數〃僅有一個

【答案】AD

【分析】設從數列抽出的無限多項按原來的先后次序構成數列｛a｝,分別在d=。，d>°,

d<0時探究數列也J是否為等差數列，由此判斷各選項的對錯.

【詳解】設抽出的無限多項按原來的先后次序構成等差數列｛"｝,

①若”=。：此時只需｛“"｝為任意非零常數列即可；

②若1>0：則也｝中只存在有限負數項，即存在MWN',當">乂時，a?>Ot則當〃時，

也，｝中均為正項，而另一方面，由上可知心/中公差"'<0,因此存在MwN,當">代時，

也｝中均為負項，取〃=max｛M，M｝,可知此時矛盾，故d>0舍去；

③若〃<°：同②可知需舍去.

綜上，符合題意的數列｛%｝為任意非零常數列，〃=。,

故選：AD.

12.已知函數［0）=^一加8黃，/'（x）為/（x）的導函數，則下列說法正確的是（）

A.當機=1時，/（X）在（°'+8）單調遞增

B.當加=1時，/。）在（°J（°））處的切線方程為了=》

C.當，"=T時，/'（X）在（°，4*00）上至少有一個零點

JJ

D.當切=-1時，/（X）在（2J上不單調

【答案】ABD

【分析】A.代入機=1,求/'（X）,根據指數函數和正弦函數在（Q+8）上的值域即可判斷,‘（X）的

正負，由此可判斷/（X）在+8）上的單調性；

B1代入加=1,求./（0）和/'（°）,根據導數的幾何意義和直線的點斜式方程即可求切線方程：

C代入皿=一1,求/"）,令9（x）=/'（x）,求“（X）,根據。'（X）在（°，+8）上的正負判斷

/‘（X）的單調性，根據/'（X）單調性可判斷其在［°，內）上是否有零點；

,3乃,,3萬

DU判斷“（X）在一彳，一萬）上的正負，由此判斷/'（X）的單調性，由此可判斷/'（X）在一萬，

（-四

一萬）上有零點，故可判斷.危）在2,一幻上不單調.

［詳解］①當m=1時，/（x）=e'-cosx,/'（x）=e、+sinx.

當x>0時，e，>1,一IWsinxWl,.,./'（x）>0,Mx）在（Q+8）上單調遞增，故A正確;

???/（0）=0,.?./,（X）在（°J（°））處的切線方程為尸X,故B正確；

②當用=_］時，/（x）=e、+cosx,7'（x）=e'-sinx,

令e（x）=7'（x）,貝［jd（x）=e、-cosx,

當x>0時，ev>1,—1<COSLT<1,"（x）>0,???e（x）=7'（x）在（0，+8）上單調遞增，

.,.當QO時，/'（x）y（°）=i,在［。，的）上無零點，：.c錯誤:

當?，一幻時，8殳<0,e、>0,.?.d（x）=e、-cosx>0,

,3汽

...9（x）=7'（x）在（一萬，-為單調遞增，

又〔2J,而f（F）=e>0,

xu（3.

...由零點存在定理可知，存在唯一2,一幻，使得/'（/）=°,

3乃

當E,%）時，/'。。）<°,/（X）單調遞減，

當xe（x0,-乃）時，/（%）>0,/（x）單調遞增，

3冗

.../（X）在一萬，-7）上不單調，故D正確.

故選：ABD.

三、填空題

13.若不等式-顯的解集為［“向，且b-=2,貝必=

【答案】2+貶制亞+2

【分析】設/（"）,g（x）-%（x+l）-0,則可根據兩個函數的圖象的位置關系求得上的值.

【詳解】設丁=/。）="-》2,P（x,y）

y>0

則［），+/=4,故|尸?！?4即|尸0|=2,

結合）2?？傻檬谝栽c為圓心，半徑為2的半圓上（如圖所示），

所以的圖象為如圖所示的半圓，其中8（0,2）

而g(x)=Hx+D—&的圖象為過'(id)的動直線，

因為不等式J4--<k(x+\)-y/2的解集為[a,b],

故/(x)的圖象不在gG)圖象上方的點的橫坐標的集合為{Xi""》"},

若4>0,結合圖象可得人=2,故”=0,故且々)的圖象過B,

故此時2=k-V2即4=2+V2,

若左<0,結合圖象可得此時“一"7一(一2)=1,這與bi=2矛盾，

若“=°,結合圖象可得故/(X)的圖象不在g(')圖象上方的點的橫坐標的集合為空集,

故答案為：2+0

【點睛】思路點睛：對于含參數的不等式的解的問題，可根據不等式的形式將解的問題轉化為熟悉

函數圖象的位置關系問題，結合動態(tài)討論求出參數滿足的要求.

~2+=I("l>b]>0)

14.已知離心率為弓的橢圓a：qb;和離心率為,的雙曲線。2：

?皆=1（%>0也>0）

有公共的焦點，其中片為左焦點，尸是G與a在第一象限的公共點.線段

PR的垂直平分線經過坐標原點，則4<+?的最小值為.

9

【答案】2##4.5

【分析】設名為右焦點，半焦距為。，PF\=x,PF1=y,由題意，PKg,則

J_+J__2

/+/=獷"+二？％"-%?々，所以Q"j+(2%)一=24?,從而有,最后利用均

值不等式即可求解.

【詳解】解：設名為右焦點，半焦距為c,PK=x,PF]=y,由題意，PF,lPF2t則

222

x+y=4c,x+y=2a^x—y=2a2

1J_

所以（2%）+（2aj=2-4?,即片說,

（4e：+e；G+!=5+苔+225+2^^^=9e=^=—

故I。e2Je2e,\e2q，當且僅當-2時取等，

4e；+e；》一

所以一2,

9

故答案為：2.

S〃+2-%+1=3

15.設數列,J滿足4=2,%=6,%=12,數列｛%｝前八項和為S“，且，—,+1（

“wV且"22）.若團表示不超過X的最大整數，”14」，數列也｝的前〃項和為北，則

芍叱的值為.

【答案】2023

【分析】根據遞推公式，可知｛%「4｝從第2項起是等差數列，可得°川-勺=2〃+2,再根據累加

'=[婦斗1[=四=2

法，可得《LNG+D,由此可得當〃N2時，L/」，又‘q，由此即可求出

與022

【詳解】當"22時，S,,「S“+1

..%+2+4，m+/+1=3

｛。向-見｝從第2項起是等差數列.

乂??,q=2a2=6a3=12/.(a3-a2)-(a2-^)=2

aM+]-an=4+2(w-l)=2/7+2

當〃22時,

an--an-\)+(%-%-2)+…+(。2-％)+T

=2/14-2(/2-1)+???+2x2+2=2x〃？1)=/?(/?+l)

(〃+l)2_〃+l

an〃(/?>2),

%=[一]="[

.■.當〃N2時，La"」L"-.

??6-0+1)2-2

?<./]——乙

又a<,

20232

,?,T12022+…+—=2+2021=2023

,。2022_

故答案為：2023

16.已知函數兀0=欠3+312_6以+6在尸2處取得極值9,貝ija+2A.

【答案】-24

【分析】根據/0)=°和八2)=9列式可解得結果.

【詳解】/。)=3收+6片6。，

因為負x)在x=2處取得極值9,

J/X2)=0J12a+12-6Q=0[a=-2

所以伍2)=9,即卜+12—12a+b=9,解得上T

所以a+2b=—2—22=—24,

故答案為：-24

四、解答題

17.如圖，在平面直角坐標系中，已知矩形"8CO的長為2,寬為1,AB,邊分別在x軸、

P軸的正半軸上，A點與坐標原點重合，將矩形折疊，使A點落在線段℃上，設此點為力.

(1)若折痕的斜率為-1,求折痕所在的直線的方程；

(2)若折痕所在直線的斜率為人,(人為常數)，試用左表示點/的坐標，并求折痕所在的直線的方

程；

(3)當-2+"(k<0時，求折痕長的最大值.

D----------1

I

■fflao-------

［答案］（1），=-x+l；（2）'-N萬+耳；（3）2（V6-V2）

【詳解】試題分析：（1）若折痕的斜率為-1時;由于A點落在線段0C上，可得折痕必過點

1

y=一

即可得出：（2）當左=°時，此時A點與。點重合，折痕所在的直線方程2,當

左時，將矩形折疊后A點落在線段℃上的點記為GO，1），可知A與G關于折痕所在的直線對

稱，有限?卜=-1,故G點坐標為G（-%，1）,從而折痕所在的直線與°G的交點坐標即線段°G的

中點為"，即可得出；（3）當左=°時，折痕為2,當-2+Qsk<°時，折痕所在直線交8c于點

J.?k21）A2+l）

E\2,2k+-+-F0,

12s,交了軸于i2A利用兩點之間的距離公式、二次函數的單調性即可得

出.

試題解析：（1）?.?折痕的斜率為-1時，A點落在線段OC上

二折痕必過點0（°」）

??.直線方程為y=-x+i

1

y——

（2）①當上=°時，此時A點與。點重合，折痕所在的直線方程.2.

②當心°時，將矩形折疊后A點落在線段比上的點記為G0』），（0<八2）

則A與G關于折痕所在的直線對稱，有勺G.%=T,即“=-k.

??.G點坐標為G（F1），（-24X。）

從而折痕所在的直線與°G的交點坐標即線段°G的中點為I22人折痕所在的直線方程

1Vkyk21、

，一5=個+或/=依+萬+5（z_2"<O）.

2

b1

y=kx\-----F—（-2<Z:<0）

綜上所述，由①②得折痕所在的直線方程為：.22、7.

（3）當斤=°時，折痕長為2.

r-E2,2k-\H—F\0,-------

當-2+j34%<0時，折痕所在直線交8c于點I22人交y軸于12）.

.21(J2<\

^=|￡F|2=22+--2k+^2+l\=4+4左244+4。一46)=32-16g

L」，

叱心i/1Vlet..732-1673=278-2712=2(76-V2)>2

.,.折痕長的最大值為').

???綜上所述，折痕長度的最大值為2心一&)

點睛：本題考查了關于折疊問題轉化為軸對稱問題，考查了直線的方程、中點坐標公式、相互垂直

的直線斜率之間的關系、兩點之間的距離公式、二次函數的單調性，考查了推理能力和計算能力，

屬于難題

18.滴水湖又名蘆潮湖，呈圓形，是上海浦東新區(qū)南匯新城的中心湖泊，半徑約為&千米.一“直

角型''公路4-8-C(即N818C)關于對稱且與滴水湖圓0相切，如圖建立平面直角坐標系.

(1)求直線8c的方程；

(2)現欲在湖邊和“直角型”公路4-8-C圍成的封閉區(qū)域內修建圓形旅游集散中心，如何設計才能使得

旅游集散中心面積最大？求出此時圓心Q到湖中心。的距離.

［答案］(1)^=一工+2

(2)設計見解析，此時圓心Q到湖中心O的距離G向4K

【分析】(1)根據圖象設直線方程，根據直線與圓相切求解參數：

(2)計算圓Q與湖相切，與直角公路相切時的長度即可.

【詳解】(1)由題可得直線8c的傾斜角135。，設直線8c的方程V=-x+8力與圓相切,

4=&,6=2

亞

所以直線8c的方程V=-x+2

（2）若要使旅游集散中心面積最大，則應設計為圓&與湖相切，且與直角公路相切,

設此時1。。1=＜。＜2,則圓。i半徑"-"忸q|=2-a,

a—y/2=-^-（2-a）廠

由NC8O=45”可得2'’，解得。=4&-4,

所以此時圓心到湖中心O的距離為G及一9km.

19.已知拋物線E的頂點在原點，焦點為尸（2，°）,過焦點且斜率為人的直線交拋物線于尸，2兩點,

（1）求拋物線方程；

⑵若閥=2性|,求人的值；

（3）過點76°）作兩條互相垂直的直線分別交拋物線E于4鳳C,。四點，且“，N分別為線段

"8,8的中點，求△麗的面積最小值.

【答案】（1）V=8x

（2）±20

⑶16

【分析】（1）根據焦點坐標可直接得到拋物線方程；

（2）由歸刊=2|尸。|可得力,設0°”一7）+2,與拋物線方程聯立可得韋達定理的形式，由

5+及）2=J及+2=一

M%%%/可構造方程求得J

（3）設"8：x="9+f,m-，與拋物線方程聯立，結合韋達定理可得中點M，N坐標,

進而表示出皿網，由工2復研叫利用基本不等式可求得最小直

【詳解】（1）.??拋物線￡的頂點在原點，焦點為“（2，°）,??.拋物線方程為：）'2=8x；

⑵由題意知：心0,可設直線。（占*）,OH，%）,

A_

:附=2|尸0|,乂=-2為，即力=2，

1r8

x=-y+2必+%二

,k8

v2_oy2y_]6=0

由j一取得：kNM=T6

.（必+%）24+2乂％+只=M?%?2=4」

必力乂乃必Mk?,即一廬

解得：k2=8,：.k=±2y/2.

(3)由題意知：直線“民CD的斜率均存在,

不妨設"8：x="沙+，，4&凹）,。（七，%），“小，%），

CD:x=---y+t

則加；

[x=my-￥t

由[y，=8x得：y2-Smy-St=0,則A=64〃尸+32/〉0,gp2m2+r>0.

...y}+y2=8my1y2=-8/x]+x2=〃?（y+y2）+2t=8〃/+2t

(當且僅當

，，&-,

",即，”=±1時取等號),

，A7A，N面積的最小值為16.

20.在①邑=6,55=15；②公差為1,且生，%，6成等比數列；③6=1,%+%+%+&=16,

三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并給出解答.

問題：己知等差數列｛“"｝的前〃項和為s”，且滿足

(1)求數列"J的通項公式；

⑵令C,=[lg"J其中㈤表示不超過X的最大整數，求0+。2+…+，2。22.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

【答案】(1嚴=〃

(2)4959

J3q+3d=6

【分析】(1)選①，設等差數列｛“"｝中，公差為“，進而得上外+崎^二匕，解方程得4="=[,再

求通項公式即可；

選②，由題知=進而解得丹=1,再求通項公式即可；

選③，由題知4％+12”=16,即4+121=16,解得d=1,再求通項公式即可；

(2)由題知J叩再結合9=?]=。，R)=[lglO]=l,0Mgi00]=2,

qooo=Rgi°°°]=3求解即可

【詳解】(1)解：選①

設等差數列血｝中，公差為/因為$3=6,￡=15,

所以15%+10d=15,解得q="=1,

所以為=%+(〃-1)”=〃，

選②

因為等差數列｛""｝中，公差為1,且出，4，仆成等比數列，

所以。2a8=3,即(q+1)(4+7)=(%+3)；解得q=l

所以%=q+(〃T)d=“

選③

因為等差數列｛""｝中，％=1,+%+6+&=16,

所以4q+12d=16,即4+12"=16,解得1=1

所以《，=q+(〃-1)”=〃

(2)解:由⑴知c"=[lga“Hlg〃],

因為C1=[lgl]=°,%=[lgio]=l,qoo=[lgl00]=2,clow=[lglOOO]=3>

所以當1WW9時，%=0,

當10?〃W99時，。〃=1,

當100。(999時，c〃2

當1000<n<2022時，=3,

所以9+G+…+C2022=0+90x1+900x2+（2022-999）x3=4959

21,設函數/6）=/+（0-2）x_°lnx（aeR）

（1）若〃=1,求/（*）的極值：

（2）討論函數/（'）的單調性：

123n?

合+鏟+不+■??+而y<m(〃+i)

(3)若〃eN*,證明:

【答案】（1）0,無極大值；（2）詳見解析；（3）詳見解析.

f、（、=?-1=（2x+l）（x-l）

【解析】⑴由。=1得到”、一一=X,然后分別令/再根

據極值的定義求解.

(2x+a)(x-1)aa

f'(x)=2x--+(tz-2)=(/x>0八)、八0n<—<1i—=1s—>1A

(2)由、/x、)x'),分20,2,2,2,由

/(x)<0求解.

⑶根據（1）知/（x）=』-x-/"x在（0,1）上為減函數，得到x2-x-/〃x>/（l）=0,即x2-x>/〃x,

然后令”-〃+1,得到"+1（"+1y，再利用不等式的性質求解.

【詳解】（1）/G）的定義域為（°'+“）,

a)=21」=婦31

當"1時,XX

若/則X>1,

若/'(x)<0,則0<》<1

'/（x）在（0,1）上單調遞減，在（1，+8）上單調遞增.

??/。）極小值=/（1）=0,沒有極大值.

⑵/'（x）=2x-^+（a-2）=>0）

r當時，若/'（x）>0,則x>l,

若/'（x）<。，則0<x<l,

/（x）在（°/）上單調遞減，在（1，+°°）上單調遞增,

0<—<1

20當2,即-2<〃<0時，

na

若/'（x）>0,則<、<一5或x>l,

若尸（x）<。，則一>“

f￡］）a

'?、）在12,J上單調遞減，在9一5）,0，+8）上單調遞增

3。當2-,即°=-2時，/'（X）*°恒成立，

'/（x）在（°，+00）上單調遞增.

_￡>1

4°當2,即“<-2時，

若/則0<x<l或"一5；

若?。?lt;。,則KM

'在2上單調遞減，在'八2上單調遞增

綜上所述：「當。<-2時，/（'）在。'-5）上單調遞減，在（0'"-5'+⑹上單調遞墻

2。當4=-2時，/、%）在（0，+8）上單調遞增；

3。當-2<"0時，"x）在l2J上單調遞減，在I21上單調遞增

4。當。20時，"x）在（0,1）上單調遞減，在（1，廿°）上單調遞增；

（3）由⑴知/（x）=--x-/"x在（°』）上為減函數，

?*-X￡(0,1)時.x2-X-Inx>/(1)=0

/.x2-x>Inx

2

x=_2?_X-X=--^4

令〃+l,得(〃+l)

n.n.n+\

>tn-----=-In------

■■(—)2〃+1n

.n+\n

In----->--------

即"(〃+l)-7

.n4-1n

13243In----->

n("+1)2,

將以上各式左右兩邊相加得:

In2