信號與線性系統(tǒng) 課件 Lecture2.1

信號與線性系統(tǒng)主講教師：吳赟電話：67792332（辦）Email:wuyun_hit@1知識點(diǎn):

信號的分類；信號的簡單處理；系統(tǒng)的分類。重點(diǎn)與難點(diǎn):

能量信號和功率信號的判定；

LTI系統(tǒng)的判定。上講回顧2第二章連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析本章介紹連續(xù)時間信號的時域分解和LTI連續(xù)時間系統(tǒng)響應(yīng)的時域求解。詳細(xì)闡述沖激信號及其特性；系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)及沖激響應(yīng)。重點(diǎn)介紹卷積積分以及利用其計算系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。3

時域分析方法:不涉及任何變換，直接求解系統(tǒng)的微分、積分方程式，這種方法比較直觀，物理概念比較清楚，是學(xué)習(xí)各種變換域方法的基礎(chǔ)。

本課程中我們主要討論輸入、輸出描述法。2.1引言4系統(tǒng)分析過程

經(jīng)典法:前面電路分析課里已經(jīng)討論過，但與(t)有關(guān)的問題有待進(jìn)一步解決--h(t)；

卷積積分法:

任意激勵下的零狀態(tài)響應(yīng)可通過沖激響應(yīng)來求。(新方法)

5本章知識點(diǎn)線性系統(tǒng)完全響應(yīng)的求解；沖激響應(yīng)h(t)的求解；卷積的圖解說明；卷積的性質(zhì)；零狀態(tài)響應(yīng)=f(t)

h(t)。

重點(diǎn)難點(diǎn)卷積積分求沖激響應(yīng)h(t)

6一．物理系統(tǒng)的模型許多實(shí)際系統(tǒng)可以用線性系統(tǒng)來模擬。若系統(tǒng)的參數(shù)不隨時間而改變，則該系統(tǒng)可以用線性常系數(shù)微分方程來描述。7二．微分方程的列寫根據(jù)實(shí)際系統(tǒng)的物理特性列寫系統(tǒng)的微分方程。對于電路系統(tǒng)，主要是根據(jù)元件特性約束和網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浼s束列寫系統(tǒng)的微分方程。

元件特性約束：表征元件特性的關(guān)系式。例如二端元件電阻，電容，電感各自的電壓與電流的關(guān)系，以及四端元件互感的初、次級電壓與電流的關(guān)系等等。網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浼s束：由網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)決定的電壓電流約束關(guān)系,KCL,KVL.

8三．n階線性時不變系統(tǒng)的描述若系統(tǒng)為時不變的，則a，b均為常數(shù)，此方程為常系數(shù)的n階線性常微分方程。階次：方程的階次由獨(dú)立的動態(tài)元件的個數(shù)決定。

一個線性系統(tǒng)，其激勵信號與響應(yīng)信號之間的關(guān)系，可以用下列形式的微分方程式來描述

9例2.1-1如圖2.1-1所示的RLC串聯(lián)電路，e(t)為激勵信號，響應(yīng)為i(t)，試寫出其微分方程。

10上式是一個微、積分方程，對方程兩邊求導(dǎo)，并代入系數(shù)，整理為這是二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型——二階線性微分方程。解:這是有兩個獨(dú)立動態(tài)元件的二階系統(tǒng)，利用KVL定理列回路方程，可得11四．求解系統(tǒng)微分方程經(jīng)典法雙零法零輸入：可利用經(jīng)典法求零狀態(tài)：利用卷積積分法求解變換域法12解的形式:全響應(yīng)=齊次解rh(t)+特解rp(t)1.齊次解rh(t):特征方程(特征根)a.特征根無重根時:b.特征根有重根時,以為k重根,其他皆為單根為例:經(jīng)典法13特解是滿足微分方程并和激勵信號形式有關(guān)的解。表1列出了幾種激勵及其所對應(yīng)特解的形式。備注A（常數(shù)）BA（待定常數(shù)）

不等于特征根

等于特征單根

重特征根

所有特征根均不等于零

重等于零的特征根激勵特解或等于B有所有特征根均不等于2.14齊次解往往稱為系統(tǒng)的自然響應(yīng)或者固有響應(yīng),函數(shù)形式僅取決于系統(tǒng)本身的參數(shù)(特征值),但是系數(shù)ci與激勵有關(guān);而特解稱為受迫響應(yīng)或者強(qiáng)迫響應(yīng),完全由激勵信號決定.*齊次解以及特解中的待定系數(shù)的確定:①特解系數(shù)可將特解回代方程得到②齊次解系數(shù)由初始值決定15例2.1-2：描述某系統(tǒng)的輸入輸出方程為已知求系統(tǒng)的響應(yīng)求系統(tǒng)響應(yīng)將代入上式得c=2故解：求系統(tǒng)的特征根則系統(tǒng)的響應(yīng)為16例2.1-3描述某系統(tǒng)的微分方程為r

''(t)+5r'(t)+6r(t)=e(t)求當(dāng)e(t)=2e-t，t≥0；r(0)=2，r'(0)=-1時的全解；解:特征方程為λ2+5λ+6=0,其特征根λ1=–2，λ2=–3。所以,齊次解為:r

h(t)=c1e–2t+c2e–3t由表1可知，當(dāng)f(t)=2e–t時，其特解可設(shè)為rp(t)=Be–t將其代入微分方程得Be–t+5(–Be–t)+6Be–t=2e–t

解得B=1于是特解為rp(t)=e–t全解為：r(t)=rh(t)+rp(t)=c1e–2t+c2e–3t+e–t其中待定常數(shù)c1,c2由初始條件確定。r(0)=c1+c2+1=2，r'(0)=–2c1–3c2–1=–1解得c1=3，c2=–2最后得全解r(t)=3e–2t–2e–3t+e–t,t≥0172.2

算子方程一、算子定義微分算子：

積分算子：

注：利用算子可以將電路中的電感和電容伏安特性記為：

18二、算子運(yùn)算法則1.算子多項式可進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算；如：

(p+1)(p+2)=p2+3p+22.微分和積分運(yùn)算次序不能任意顛倒；3.算子方程兩邊p的公因子不能隨意消去。19三、算子方程舉例一般系統(tǒng)：算子方程：20簡記為：或：其中：H(p)稱為轉(zhuǎn)移算子或算子形式系統(tǒng)函數(shù)。D(p)就是齊次方程的特征多項式。因此，零輸入響應(yīng)就是齊次方程D(p)r(t)=0的解。21例2.2-1求例2.1-1激勵為e(t)，響應(yīng)為i(t)的系統(tǒng)傳輸算子H(p)。

解

例2.2-1的算子方程為

(p2+5p+6)i(t)=pe(t)則由可得222.3系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)若系統(tǒng)在t=0時未施加輸入信號，但由于t<0時系統(tǒng)的工作，可以使其中的儲能元件蓄有能量，而這能量不可能突然消失，它將逐漸釋放出來，直至最后消耗殆盡。零輸入響應(yīng)正是由這種初始的能量分布狀態(tài)，即初始條件所決定的。求零輸入響應(yīng)對應(yīng)于解齊次方程：

D(p)r(t)=0231.一階系統(tǒng)其中注：0-表示激勵接入之前的瞬時；0+表示激勵接入之后的瞬時。24系統(tǒng)的狀態(tài)：起始狀態(tài)：決定了激勵接入之前的瞬時0-系統(tǒng)的狀態(tài)。初始狀態(tài)：決定了激勵接入之后的瞬時0+系統(tǒng)的狀態(tài)。初始條件：決定了完全響應(yīng)。25對于零輸入響應(yīng)，對于零狀態(tài)響應(yīng)，0-未接入激勵，故因此，系統(tǒng)狀態(tài)的關(guān)系為：26

2.二階齊次微分方程的一般算子形式為

(p-λ1)(p-λ2)r(t)=0

根據(jù)下式確定常數(shù)c1和c2

rzi(0-)=c1+c2

rzi'(0-)=λ1c1+λ2c2

27若（p-λ)2=0，特征根相同，則是二階重根，此時二階齊次微分方程解的形式為

rzi(t)=c1eλt+c2teλt

t≥0283.n階系統(tǒng)求解零輸入響應(yīng)由如下兩步構(gòu)成

1)

確定系統(tǒng)的自然頻率令D(p)=0，將p看成一個代數(shù)量，解得其n個特征根。2)確定零輸入響應(yīng)的形式解：如果沒有重根，則可以確定其形式解為：29若有一個k重根，其余非重根。則：30一般的初始條件為已知零時刻的響應(yīng)及其各階導(dǎo)數(shù)

,帶入形式解中就可以確定待定系數(shù)。3)根據(jù)初始條件，確定待定系數(shù)定解條件：(2.3-1)31式(2.3-1)可用矩陣形式表示為(2.3-2)32

常數(shù)c1、...、cn可用克萊姆法則解得，或用逆矩陣表示為33例2.3-1已知系統(tǒng)的傳輸算子H(p)=

2p/(p+3)(p+4)

，

初始條件rzi(0-)=1，

,試求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)。

解

特征根λ1=-3,λ2=-4則零輸入響應(yīng)形式為

rzi(t)=c1e-3t+c2e-4t

t≥0

將r(0-)=1，r'(0-)=2代入，可得rzi(t)=6e-3t-5e-4t

t≥0

解出

c1=6

c2=-5

1=c1+c2

2=-3c1-4c234例2.3-2

圖2-1(P24)所示RLC串聯(lián)電路中，設(shè)L=1H，C=1F，R=2?。若激勵電壓源為0，且電路初始條件為：(1)i(0-)=0，i'(0-)=1A/s(2)i(0-)=0，uC(0-)=10V。這里電壓降的方向設(shè)與電流i的正方向一致。分別求上述兩種初始條件下電路的零輸入響應(yīng)電流。解：建模

求解解釋35思考與練習(xí)：求下列系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)解：36作業(yè)一：求下列連續(xù)時間LTI系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)。(1)(2)37作業(yè)2：1.P77,2.12.p78,2.42.5382.4 奇異函數(shù)奇異信號（函數(shù)）：函數(shù)本身有不連續(xù)點(diǎn)(跳變點(diǎn))或其導(dǎo)數(shù)與積分有不連續(xù)點(diǎn)的一類函數(shù)統(tǒng)稱為奇異信號或奇異函數(shù)。要求：掌握單位斜變信號、單位階躍信號、單位沖激信號、沖激偶信號等奇異信號。39一、單位斜變信號（斜坡信號、斜升信號）1．

單位斜變信號：2．有延遲的單位斜變信號40二．單位階躍信號1.

定義2.

有延遲的單位階躍信號413.

可代替電路中的開關(guān)，故又稱為開關(guān)函數(shù)42

(a)(b)(c)4.ε(t)給函數(shù)的表示帶來方便435．用單位階躍信號描述其它信號其它函數(shù)用門函數(shù)處理(乘以門函數(shù))，就只剩下門內(nèi)的部分。

符號函數(shù)：(Signum)門函數(shù)：也稱窗函數(shù)44三．單位沖激信號（難點(diǎn)、重點(diǎn)）1.

單位沖激信號的定義2.

單位沖激信號的性質(zhì)45定義1規(guī)則信號取極限矩形脈沖信號：面積1保持不變；脈寬↓；

脈沖高度↑；

窄脈沖集中于t=0處?！锩娣e為1★寬度為0三個特點(diǎn)：46若面積為k，則強(qiáng)度為k。47定義2：狄拉克(Dirac)函數(shù)函數(shù)值只在t=0時不為零；

積分面積為1；

t=0

時，，為無界函數(shù)。

48沖激函數(shù)的性質(zhì)1．抽樣性2．奇偶性3．尺度變換49抽樣性(篩選性)對于移位情況：如果f(t)在t=0處連續(xù)，且處處有界，則有

502.

奇偶性513.對(t