高中數(shù)學(xué)高考第一輪復(fù)習(xí)空間向量及其運(yùn)算優(yōu)質(zhì)課件

第六節(jié)空間向量及其運(yùn)算1.空間向量的有關(guān)概念名稱定義空間向量在空間中,具有_____和_____的量叫作空間向量，其大小叫作向量的_____或___自由向量與向量的_____無關(guān)的向量單位向量長度或模為__的向量(非零向量a的單位向量)零向量長度為__的向量大小方向長度模起點(diǎn)10名稱定義相等向量方向_____且模_____的向量相反向量方向_____而___相等的向量向量a,b的夾角過空間任意一點(diǎn)O作向量a，b的相等向量和，則______叫作向量a，b的夾角，記作________,范圍是［0,π］①當(dāng)〈a,b〉=時(shí),記作_____;②當(dāng)〈a,b〉=0或π時(shí),記作_____相同相等相反?！螦OB〈a,b〉a⊥ba∥b名稱定義平行向量如果表示空間向量的有向線段所在的直線_________或_____,則這些向量叫作_________或_________共面向量平行于同一_____的向量直線的方向向量若A，B是空間直線l上任意兩點(diǎn)，則稱___為直線l的方向向量(與___平行的任意非零向量a也是直線l的方向向量)互相平行重合共線向量平行向量平面名稱定義法向量如果直線l_______平面α,那么把直線l的方向向量a叫作平面α的法向量(所有與直線l_____的非零向量都是平面α的法向量)垂直于平行2.空間向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算

空間向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算是平面向量運(yùn)算的推廣．

如圖，設(shè)a,b是空間任意兩向量，若=a,=b，P∈OC，(1)加法：=____，(2)減法：=____,(3)數(shù)乘：=____(λ∈R).a+ba-bλa(4)空間向量加法、數(shù)乘運(yùn)算滿足的運(yùn)算律①交換律：a+b=____，②結(jié)合律：(a+b)+c=________，λ(μa)=________(λ∈R,μ∈R)，③分配律：λ(a+b)=________(λ∈R).b+aa+(b+c)(λμ)aλa+λb3.共線向量定理與共面向量定理(1)共線向量定理空間兩個向量a與b(b≠0)共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使得______.(2)共面向量定理如果兩個向量a，b_______，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使__________.a=λb不共線p=xa+yb4.空間向量的數(shù)量積(1)定義：a·b=_________________.(2)運(yùn)算律①交換律：a·b=_____；②分配律：a·(b+c)=__________；③λ(a·b)=_________(λ∈R).|a||b|cos〈a,b〉b·aa·b+a·c(λa)·b(3)常用結(jié)論①|(zhì)a|=_____；②a⊥b_______；③cos〈a,b〉=

(a≠0,b≠0).a·b=0判斷下面結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?.(1)空間中任意兩非零向量a,b共面.()(2)在向量的數(shù)量積運(yùn)算中(a·b)·c=a·(b·c).()(3)對于非零向量b,由a·b=b·c,則a=c.()(4)兩向量夾角的范圍與兩異面直線所成角的范圍相同.()【解析】(1)正確.由于向量可平移，因此空間任意兩向量都可平移到同一起點(diǎn)，故空間任意兩向量共面.(2)錯誤.因?yàn)閮蓚€向量的數(shù)量積的結(jié)果是數(shù)量而不是向量，(a·b)·c=λc,a·(b·c)=μa,故(a·b)·c與a·(b·c)不一定相等.(3)錯誤.根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義，a·b=b·c說明a在b方向上的射影與c在b方向上的射影相等，而不是a=c.(4)錯誤.兩向量夾角的范圍是［0，π］，兩異面直線所成角的范圍是(0，］答案：(1)√(2)×(3)×(4)×1.下列命題為真命題的是()(A)分別表示空間向量的有向線段所在的直線是異面直線,則這兩個向量是不共面向量(B)若|a|=|b|,則a,b的長度相等而方向相同或相反(C)若向量滿足且同向,則(D)若兩個非零向量滿足則∥【解析】選D.選項(xiàng)A錯,因?yàn)榭臻g任兩向量平移之后可共面,所以空間任兩向量均共面.選項(xiàng)B錯,因?yàn)閨a|=|b|僅表示a與b的模相等,與方向無關(guān).選項(xiàng)C錯,空間任兩向量不研究大小關(guān)系,因此也就沒有這種寫法.選項(xiàng)D對,∴共線,故∥正確.2.有4個命題：①若p＝xa+yb,則p與a，b共面；②若p與a，b共面，則p＝xa+yb;③若則P，M，A，B共面；④若點(diǎn)P，M，A，B共面，則其中真命題的個數(shù)是()(A)1(B)2(C)3(D)4【解析】選B.①正確，②中若a,b共線，p與a不共線，則p=xa+yb就不成立，③正確，④中若M，A，B共線，點(diǎn)P不在此直線上，則不正確.3.在△ABC中,已知D是AB邊上一點(diǎn),若

則λ的值等于________.【解析】∴答案：4.若則下列結(jié)論中正確的序號是________.①O,P,A,B四點(diǎn)一定共線；②P,A,B共線；③P,A,B不共線；④O,P,A,B不共面.【解析】∵∴∴∴A,B,P三點(diǎn)共線.答案：②考向1

空間向量的線性運(yùn)算【典例1】(1)若P為平行四邊形ABCD所在平面外的一點(diǎn),且G為△PCD的重心,若則x+y+z的值為_______.(2)如圖所示，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點(diǎn)，試用a,b,c表示以下各向量：①②③【思路點(diǎn)撥】(1)先將進(jìn)行分解，求出x，y，z的值，再求x+y+z的值.(2)用已知向量表示未知向量時(shí)，在轉(zhuǎn)化時(shí)要結(jié)合向量的線性運(yùn)算.【規(guī)范解答】(1)如圖,∵G是△PCD的重心,∴(H為CD的中點(diǎn)),∴答案：(2)①∵P是C1D1的中點(diǎn)，∴＝②∵N是BC的中點(diǎn)，∴③∵M(jìn)是AA1的中點(diǎn)，∴又∴=【互動探究】在本例題(2)中，若O為底面ABCD對角線AC與BD的交點(diǎn)，試用a,b,c表示向量【解析】＝＝＝【拓展提升】空間向量線性運(yùn)算的方法及說明幾何表示坐標(biāo)表示加法滿足三角形法則和平行四邊形法則對應(yīng)坐標(biāo)相加減法滿足三角形法則對應(yīng)坐標(biāo)相減數(shù)乘與平面向量數(shù)乘類似把每個坐標(biāo)同乘以常數(shù)說明空間向量的加法與數(shù)乘滿足的運(yùn)算律與平面向量的對應(yīng)運(yùn)算滿足的運(yùn)算律相同【提醒】(1)進(jìn)行向量的加法運(yùn)算時(shí)，若用三角形法則，必須使兩向量首尾相接；若用平行四邊形法則，必須使兩向量共起點(diǎn)．(2)進(jìn)行向量減法時(shí)，必須使兩向量共起點(diǎn)．【變式備選】如圖，已知空間四邊形OABC，其對角線為OB，AC.M，N分別是對邊OA，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段MN上，且MG＝2GN，用基底向量表示向量【解析】∵考向2

共線向量定理、共面向量定理的應(yīng)用【典例2】(1)已知向量a,b且則一定共線的三點(diǎn)是()(A)A，B，D(B)A，B，C(C)B，C，D(D)A，C，D(2)已知E,F,G,H分別是空間四邊形ABCD的邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn),用向量法證明：①E，F(xiàn)，G,H四點(diǎn)共面；②BD∥平面EFGH.【思路點(diǎn)撥】(1)利用三點(diǎn)共線的條件解題即可.(2)①證明根據(jù)共面向量定理即可得到結(jié)論；或證明即可得到四邊形EFGH為平行四邊形，故得四點(diǎn)共面．②證明共線，然后根據(jù)線面平行的判定定理解題即可.【規(guī)范解答】(1)選A.∵∴=2a+4b.又∵∵BD與AB有公共點(diǎn)B，∴A,B,D三點(diǎn)共線.(2)①方法一：∵E,F,G,H分別是空間四邊形ABCD的邊的中點(diǎn)，∴∴∴E,F,G,H四點(diǎn)共面．方法二：∵E,F,G,H分別是空間四邊形ABCD的邊的中點(diǎn)，∴∴FG∥EH且FG=EH，∴四邊形EFGH為平行四邊形．故E,F,G,H四點(diǎn)共面．②由題意知∴∥∴BD∥EH,又BD平面EFGH,EH平面EFGH．∴BD∥平面EFGH．【拓展提升】空間共線向量定理、共面向量定理的應(yīng)用三點(diǎn)(P，A，B)共線空間四點(diǎn)(M，P，A，B)共面對空間任一點(diǎn)O，對空間任一點(diǎn)O，對空間任一點(diǎn)O，對空間任一點(diǎn)O，【變式訓(xùn)練】給出命題：①若a與b共線，則a與b所在的直線平行；②若a與b共線，則存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使b=λa；③若A，B，C三點(diǎn)不共線，O是平面ABC外一點(diǎn)，則點(diǎn)M一定在平面ABC上，且在△ABC的內(nèi)部.上述命題中的真命題是________.【解析】①中向量a與b所在的直線也有可能重合，故①是假命題；②中當(dāng)a=0,b≠0時(shí)，找不到實(shí)數(shù)λ,使b=λa，故②是假命題；可以證明③中A，B，C，M四點(diǎn)共面，因?yàn)?/p>

等式兩邊同時(shí)加上則

即

則共面，又M是三個有向線段的公共點(diǎn)，故A，B，C，M四點(diǎn)共面，M是△ABC的重心，所以點(diǎn)M在平面ABC上，且在△ABC的內(nèi)部，故③是真命題.答案：③考向3

空間向量數(shù)量積的應(yīng)用【典例3】如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=AC=CD=1，∠ACD=90°，把△ADC沿對角線AC折起，使AB與CD成60°角，求BD的長.【思路點(diǎn)撥】由圖形折疊的相關(guān)知識得到折疊后圖形中線段的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，然后用表示，根據(jù)

求解．【規(guī)范解答】∵AB與CD成60°角，∴〈〉=60°或120°，又∵AB=AC=CD=1，AC⊥CD，AC⊥AB，∴===∴或∴BD的長為2或【互動探究】本例中若折起后BD的長為2，求此時(shí)AD與BC所成的角的余弦值.【解析】由已知的夾角為135°，在△BDC中，由余弦定理得∴AD與BC所成角的余弦值為【拓展提升】數(shù)量積的應(yīng)用(1)求夾角:設(shè)向量a,b所成的角為θ，則進(jìn)而可求兩異面直線所成的角.(2)求長度(距離):運(yùn)用公式｜a｜2=a·a，可使線段長度的計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計(jì)算問題.(3)解決垂直問題:利用a⊥ba·b=0，可將垂直問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計(jì)算問題．【變式備選】如圖，一塊礦石晶體的形狀為四棱柱，底面ABCD是正方形，CC1=3，CD=2，且∠C1CB=∠C1CD=60°.(1)設(shè)試用a，b，c表示(2)O為四棱柱的中心，求CO的長.(3)求證：A1C⊥BD.【解析】(1)由得所以(2)O為四棱柱的中心，即O為線段A1C的中點(diǎn).由已知條件，得|a|=|b|=2，|c|=3，a·b=0，〈a,c〉=60°,〈b,c〉=60°.=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c=22+22+32+0+2×2×3×cos60°+2×2×3×cos60°=29.∴A1C的長為所以(3)根據(jù)向量加減法知又∵=(a+b+c)·(a-b)=a2+a·c-b2-b·c=22+2×3×cos60°-22-2×3×cos60°=0,∴A1C⊥BD.【滿分指導(dǎo)】利用基向量進(jìn)行運(yùn)算的規(guī)范解答【典例】(12分)(2013·合肥模擬)如圖所示，已知空間四邊形ABCD的各邊和對角線的長都等于a，點(diǎn)M，N分別是AB，CD的中點(diǎn).(1)求證：MN⊥AB，MN⊥CD.(2)求MN的長.(3)求異面直線AN與CM的夾角的余弦值.【思路點(diǎn)撥】已知條件條件分析空間四邊形ABCD的各邊和對角線的長都相等

的模都相等，且夾角都是60°M，N分別為AB，CD的中點(diǎn)【規(guī)范解答】(1)設(shè)由題意可知，|p|=|q|=|r|=a，且p，q，r三向量兩兩夾角均為60°.①………1分

………2分

…………3分∴即MN⊥AB.同理可證MN⊥CD.………………4分(2)由(1)可知………………5分∴………………7分∴∴MN的長為………………8分(3)設(shè)向量的夾角為θ.∵

………9分

…………………10分又∵∴∴………………11分∴向量的夾角的余弦值為故異面直線AN與CM的夾角的余弦值為

④………………12分【失分警示】(下文①②③④見規(guī)范解答過程)1.(2013·長春模擬)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，給出以下向量表達(dá)式：①②③④其中能夠化簡為向量的是()(A)①②(B)②③(C)③④(D)①④【解析】選A.①②③④2.(2013·寶雞模擬)已知四邊形ABCD滿足：

則該四邊形為()(A)平行四邊形(B)梯形(C)長方形(D)空間四邊形【解析】選D.假設(shè)為平面四邊形，則由已知條件得四邊形的四個外角均為銳角，但在平面四邊形中，任一四邊形的外角和是360°,這與四個外角均為銳角矛盾，故該四邊形是一個空間四邊形.3.(2013·西安模擬)已知a，b，c兩兩夾角都是60°，其模都是1，則|a-b+2c|等于()(A)5(B)6(C)(D)【解析】選C.∵(a-b+2c)2=a2+b2+4c