2021年河南省開(kāi)封市李砦中學(xué)高三數(shù)學(xué)文測(cè)試題含解析

2021年河南省開(kāi)封市李砦中學(xué)高三數(shù)學(xué)文測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若函數(shù)（）有大于零的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)范圍是

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B解：因?yàn)楹瘮?shù)y=e（a-1）x+4x，所以y′=（a-1）e（a-1）x+4（a＜1），所以函數(shù)的零點(diǎn)為x0=，因?yàn)楹瘮?shù)y=e（a-1）x+4x（x∈R）有大于零的極值點(diǎn)，故＝0，得到a<-3,選B2.已知圓O：x2+y2=1，點(diǎn)P為直線x﹣2y﹣3=0上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P向圓O引兩條切線PA，PB，A、B為切點(diǎn)，則直線AB經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（）A．（2，0） B．（3，0） C．（，﹣1） D．（，﹣）參考答案：D【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．【分析】根據(jù)題意設(shè)P的坐標(biāo)為P（2m+3，m），由切線的性質(zhì)得點(diǎn)A、B在以O(shè)P為直徑的圓C上，求出圓C的方程，將兩個(gè)圓的方程相減求出公共弦AB所在的直線方程，再求出直線AB過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：因?yàn)镻是直線x﹣2y﹣3=0的任一點(diǎn)，所以設(shè)P（2m+3，m），因?yàn)閳Ax2+y2=1的兩條切線PA、PB，切點(diǎn)分別為A、B，所以O(shè)A⊥PA，OB⊥PB，則點(diǎn)A、B在以O(shè)P為直徑的圓上，即AB是圓O和圓C的公共弦，則圓心C的坐標(biāo)是（m+，），且半徑的平方是r2=，所以圓C的方程是（x﹣m﹣）2+（y﹣）2=，①又x2+y2=1，②，②﹣①得，（2m+3）x+my﹣1=0，即公共弦AB所在的直線方程是：（2m+3）x+my﹣1=0，即m（2x+y）+（3x﹣1）=0，由得x=，y=﹣，所以直線AB恒過(guò)定點(diǎn)（，﹣），故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線和圓的位置關(guān)系，圓和圓的位置關(guān)系，圓的切線性質(zhì)，以及直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，屬于中檔題．3.已知函數(shù)是以2為周期的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則的值為A．

B．

C．

D．參考答案：答案:D4.集合，集合Q=，則P與Q的關(guān)系是（）P=Q

B．PQ

C．

D．參考答案：C5.雙曲線的漸近線方程是

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C6.一支人數(shù)是5的倍數(shù)且不少于1000人的游行隊(duì)伍，若按每橫排4人編隊(duì)，最后差3人；若按每橫排3人編隊(duì)，最后差2人；若按每橫排2人編隊(duì)，最后差1人．則這只游行隊(duì)伍的最少人數(shù)是(

)A．1025 B．1035 C．1045 D．1055參考答案：C略7.函數(shù)的圖象可看成將函數(shù)的圖象（

）A．向左平移個(gè)單位得到

B．各點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)的原來(lái)的4倍得到C．向右平移個(gè)單位得到

D．各點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短的原來(lái)的倍得到參考答案：A8.命題P：將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到的圖象；命題Q：函數(shù)的最小正周期是，則復(fù)合命題“P或Q”

“P且Q”

“非P”為真命題的個(gè)數(shù)是（

）

A．0個(gè)

B.

1個(gè)

C、2個(gè)

D、3個(gè)參考答案：C9.已知、、均為單位向量，且滿足·=0，則（++）·（+）的最大值是__________.A．

B．3+

C．2+

D．參考答案：C10.已知三棱錐S-ABC中，SA⊥平面ABC，且，.則該三棱錐的外接球的體積為(

)A. B.13π C. D.參考答案：D【詳解】∵，，∴是以為斜邊的直角三角形，

其外接圓半徑，則三棱錐外接球即為以為底面，以為高的三棱柱的外接球，

∴三棱錐外接球的半徑滿足故三棱錐外接球的體積故選D.【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是球內(nèi)接多面體，其中根據(jù)已知求出球的半徑是解答的關(guān)鍵．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，，，

則____；的面積為_(kāi)___. 參考答案：，.試題分析：由余弦定理可得，又∵，∴，.考點(diǎn)：1.切割線定理；2.相交弦定理.12.觀察分析下表中的數(shù)據(jù)：

多面體

面數(shù)（）頂點(diǎn)數(shù)（)

棱數(shù)（)

三棱錐

5

6

9

五棱錐

6

6

10

立方體

6

8

12猜想一般凸多面體中，所滿足的等式是_________.參考答案：

13.若實(shí)常數(shù)，則不等式的解集為

．參考答案：14.若實(shí)數(shù)x,y滿足，則的最小值是______．參考答案：【詳解】由約束條件作出可行域如圖，令,則，由圖可知,當(dāng)直線過(guò)B時(shí)，z有最小值.，解得.∴的最小值是.故答案為：.點(diǎn)睛：線性規(guī)劃的實(shí)質(zhì)是把代數(shù)問(wèn)題幾何化，即數(shù)形結(jié)合的思想.需要注意的是：一、準(zhǔn)確無(wú)誤地作出可行域；二、畫(huà)標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的直線時(shí)，要注意與約束條件中的直線的斜率進(jìn)行比較，避免出錯(cuò)；三、一般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最大或最小會(huì)在可行域的端點(diǎn)或邊界上取得.15.曲線與直線所圍成的封閉圖形的面積是

.參考答案：16.已知向量滿足、之間的夾角為，則=

▲

。參考答案：略17.復(fù)數(shù)=______________.（是虛數(shù)單位）參考答案：

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)為（0，﹣1），離心率e=．（1）求橢圓C的方程；（2）過(guò)M（0，m）（﹣1＜m＜0）的直線L交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，試問(wèn)：在橢圓C上是否存在定點(diǎn)T，使得無(wú)論直線L如何轉(zhuǎn)動(dòng)，以AB為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)T？若存在，求出m的值及點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：【考點(diǎn)】KL：直線與橢圓的位置關(guān)系．【分析】（1）由題意，b=1，=，求出a，b，即可求橢圓C的方程；（2）討論直線l的斜率不存在，設(shè)出直線l的方程，求得圓的方程，求得定點(diǎn)T，討論直線l的斜率存在，設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和圓的性質(zhì)，結(jié)合向量垂直的條件，即可得到存在定點(diǎn)T．【解答】解：（1）由題意，b=1，=，∴a=2，b=1，c=1，∴橢圓C的方程為=1；（2）①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，以AB為直徑的圓的方程為：x2+y2=1②當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，直線l的方程為y=m，此時(shí)以AB為直徑的圓的方程為：x2+（y﹣m）2=2（1﹣m）2，與x2+y2=1聯(lián)立，得y=，∵（x，）在橢圓上，∴=1，∵﹣1＜m＜0，∴m=﹣，∴m=﹣，在橢圓上可能存在定點(diǎn)T（0，1）滿足條件；③斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為：y=kx﹣，A（x1，y1），B（x2，y2），與橢圓方程聯(lián)立，可得（1+2k2）x2﹣kx﹣=0，∴x1+x2=，x1x2=﹣，=（k2+1）x1x2﹣k（x1+x2）+=（k2+1）（﹣）﹣k?+=0，∴過(guò)M（0，﹣）的直線l斜率存在時(shí)，以AB為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)T（0，1），綜上所述，m=﹣時(shí)，過(guò)M（0，﹣）的直線無(wú)論如何轉(zhuǎn)動(dòng)，以AB為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)T（0，1）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓方程的運(yùn)用，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，同時(shí)考查直線和圓的位置關(guān)系，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．19.己知函數(shù)f（x）=（x+l）lnx﹣ax+a（a為正實(shí)數(shù)，且為常數(shù)）（1）若f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；（2）若不等式（x﹣1）f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（1）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為a≤lnx++1在（0，+∞）恒成立，（a＞0），令g（x）=lnx++1，（x＞0），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可；（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為（x﹣1）[（x+1）lnx﹣a]≥0恒成立，通過(guò)討論x的范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．【解答】解：（1）f（x）=（x+l）lnx﹣ax+a，f′（x）=lnx++1﹣a，若f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，則a≤lnx++1在（0，+∞）恒成立，（a＞0），令g（x）=lnx++1，（x＞0），g′（x）=，令g′（x）＞0，解得：x＞1，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜1，故g（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，故g（x）min=g（1）=2，故0＜a≤2；（2）若不等式（x﹣1）f（x）≥0恒成立，即（x﹣1）[（x+1）lnx﹣a]≥0恒成立，①x≥1時(shí)，只需a≤（x+1）lnx恒成立，令m（x）=（x+1）lnx，（x≥1），則m′（x）=lnx++1，由（1）得：m′（x）≥2，故m（x）在[1，+∞）遞增，m（x）≥m（1）=0，故a≤0，而a為正實(shí)數(shù)，故a≤0不合題意；②0＜x＜1時(shí)，只需a≥（x+1）lnx，令n（x）=（x+1）lnx，（0＜x＜1），則n′（x）=lnx++1，由（1）n′（x）在（0，1）遞減，故n′（x）＞n（1）=2，故n（x）在（0，1）遞增，故n（x）＜n（1）=0，故a≥0，而a為正實(shí)數(shù)，故a＞0．20.已知函數(shù)（為常數(shù),且）的圖象過(guò)點(diǎn).（1）求實(shí)數(shù)的值;（2）若函數(shù),試判斷函數(shù)的奇偶性,并說(shuō)明理由.參考答案：此函數(shù)的定義域?yàn)?又,所以函數(shù)為奇函數(shù).略21.已知函數(shù),其中.（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（2）當(dāng)時(shí)，圖象上任意一點(diǎn)處的切線的傾斜角為，且，求a的取值范圍．參考答案：解(1)f′(x)＝－3x2＋2ax，要使f(x)在(0,2)上單調(diào)遞增，則f′(x)≥0在(0,2)上恒成立，------------2分∵f′(x)是開(kāi)口向下的拋物線，∴，∴a≥3.------------6分(2)∵0≤θ≤，∴tanθ＝－3x2＋2ax∈[0,1]．據(jù)題意0≤－3x2＋2ax≤1在(0,1]上恒成立，------------9分由－3x2＋2ax≥0，得a≥x，a≥，

------------11分由－3x2＋2ax≤1，得a≤x＋.又x＋≥(當(dāng)且僅當(dāng)x＝時(shí)取“＝”)，∴a≤

.------------13分綜上，a的取值范圍是≤a≤.

…………14分

略22.某社區(qū)消費(fèi)者協(xié)會(huì)為了解本社區(qū)居民網(wǎng)購(gòu)消費(fèi)情況，隨機(jī)抽取了100位居民作為樣本，就最近一年來(lái)網(wǎng)購(gòu)消費(fèi)金額(單位：千元)，網(wǎng)購(gòu)次數(shù)和支付方式等進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)査.經(jīng)統(tǒng)計(jì)這100位居民的網(wǎng)購(gòu)消費(fèi)金額均在區(qū)間[0,30]內(nèi)，按[0,5]，(5,10]，(10,15]，(15,20]，(20,25]，(25,30]分成6組，其頻率分布直方圖如圖所示.（1）估計(jì)該社區(qū)居民最近一年來(lái)網(wǎng)購(gòu)消費(fèi)金額的中位數(shù)；（2）將網(wǎng)購(gòu)消費(fèi)金額在20千元以上者稱(chēng)為“網(wǎng)購(gòu)迷”，補(bǔ)全下面的列聯(lián)表，并判斷有多大把握認(rèn)為“網(wǎng)購(gòu)迷與性別有關(guān)系”；

男女合計(jì)網(wǎng)購(gòu)迷

20

非網(wǎng)購(gòu)迷45

合計(jì)

100

（3）調(diào)査顯示，甲、乙兩人每次網(wǎng)購(gòu)采用的支付方式相互獨(dú)立，兩人網(wǎng)購(gòu)時(shí)間與次數(shù)也互不.影響.統(tǒng)計(jì)最近一年來(lái)兩人網(wǎng)購(gòu)的總次數(shù)與支付方式，所得數(shù)據(jù)如下表所示：

網(wǎng)購(gòu)總次數(shù)支付寶支付次數(shù)銀行卡支付次數(shù)微信支付次數(shù)甲80401624乙90601812

將頻率視為概率，若甲、乙兩人在下周內(nèi)各自網(wǎng)購(gòu)2次，記兩人采用支付寶支付的次數(shù)之和為，求的數(shù)學(xué)期望.附：觀測(cè)值公式：臨界值表：0.010.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828

參考答案：(1)中位數(shù)估計(jì)為17.5千元.(2)見(jiàn)解析；(3)【分析】(1)利用頻率分布直方圖的中位數(shù)公式求解即可(2)由直方圖知，網(wǎng)購(gòu)消費(fèi)金額在20千元以上的頻數(shù)為，得“網(wǎng)購(gòu)迷”共有35人，列出列聯(lián)表計(jì)算即可得出結(jié)論；(3)設(shè)甲，乙兩人采用支付寶支付的次數(shù)分別為，，據(jù)題意得，，計(jì)算，由，即可求解【詳解】（1）在直方圖中，從左至右前3個(gè)小矩形的面積之和為，后2個(gè)小矩形的面積之和為，所以中位數(shù)位于區(qū)間內(nèi).設(shè)直方圖的面積平分線為，則，得，所以該社區(qū)居民網(wǎng)購(gòu)消費(fèi)金額的中位數(shù)估