《等差數(shù)列》的教學(xué)設(shè)計(jì)

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一．設(shè)計(jì)思想

數(shù)學(xué)是思維的體操，是培養(yǎng)同學(xué)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力及制造能力的載體，新課程提倡：強(qiáng)調(diào)過(guò)程，強(qiáng)調(diào)同學(xué)探究新學(xué)問(wèn)的經(jīng)受和獲得新知的體驗(yàn)，不能在讓教學(xué)脫離同學(xué)的內(nèi)心感觸，必需讓同學(xué)追求過(guò)程的體驗(yàn)?；谝陨鲜煜ぃ谠O(shè)計(jì)本節(jié)課時(shí)，老師所考慮的不是容易告知同學(xué)等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，而是制造一些數(shù)學(xué)情境，讓同學(xué)自己去發(fā)覺(jué)、證實(shí)。在這個(gè)過(guò)程中，同學(xué)在課堂上的主體地位得到充分發(fā)揮，極大的激發(fā)了同學(xué)的學(xué)習(xí)愛(ài)好，也提高了他們提出問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)了他們的制造力。這正是新課程所提倡的數(shù)學(xué)理念。

本節(jié)課借助多媒體輔助手段，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題的情境，讓探索式教學(xué)走進(jìn)課堂，保障同學(xué)的主體地位，喚醒同學(xué)的主體意識(shí)，進(jìn)展同學(xué)的主體能力，塑造同學(xué)的主體人格，讓同學(xué)在參加中學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、學(xué)會(huì)合作、學(xué)會(huì)創(chuàng)新。

二．教材分析

高中數(shù)學(xué)必修五其次章其次節(jié)，等差數(shù)列，兩課時(shí)內(nèi)容，本節(jié)是第一課時(shí)。討論等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式的推導(dǎo)，借助生活中豐盛的典型實(shí)例，讓同學(xué)通過(guò)分析、推理、歸納等活動(dòng)過(guò)程，從中了解和體驗(yàn)等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式。通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)要求理解等差數(shù)列的概念，把握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，并且了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系。

本節(jié)是其次章的基礎(chǔ)，為以后學(xué)習(xí)等差數(shù)列的求和、等比數(shù)列奠定基礎(chǔ)，是本章的重點(diǎn)內(nèi)容。在高考中也是重點(diǎn)考察內(nèi)容之一，并且在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用，它起著承前啟后的作用。同時(shí)也是培養(yǎng)同學(xué)數(shù)學(xué)能力的良好題材。等差數(shù)列是同學(xué)探索特別數(shù)列的開頭，它對(duì)后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，無(wú)論在學(xué)問(wèn)上，還是在辦法上都具有樂(lè)觀的意義。

三．學(xué)情分析

同學(xué)已經(jīng)具有一定的理性分析能力和概括能力，且對(duì)數(shù)列的學(xué)問(wèn)有了初步的接觸和熟悉，對(duì)數(shù)學(xué)公式的運(yùn)用已具備一定的技能，已經(jīng)認(rèn)識(shí)由觀看到抽象的數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程，對(duì)函數(shù)、方程思想體味逐漸深刻。他們的思維正從屬于閱歷性的規(guī)律思維向抽象思維進(jìn)展，但仍需要依靠一定的詳細(xì)形象的閱歷材料來(lái)理解抽象的規(guī)律關(guān)系。同時(shí)思維的嚴(yán)密性還有待加強(qiáng)。

四．教學(xué)目標(biāo)

1．學(xué)問(wèn)目標(biāo)：理解等差數(shù)列概念，把握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系。

2．能力目標(biāo)：培養(yǎng)同學(xué)觀看、歸納能力，應(yīng)用數(shù)學(xué)公式的能力及滲透函數(shù)、方程的思想。

3．情感目標(biāo)：體驗(yàn)從特別到普通，又到特別的認(rèn)知邏輯，提高數(shù)學(xué)猜測(cè)、歸納的能力。

五．重點(diǎn)、難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：等差數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式的推導(dǎo)。

教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)等差數(shù)列概念的理解及學(xué)會(huì)通項(xiàng)公式的推導(dǎo)及應(yīng)用。

六．教學(xué)策略和手段

數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)，是師生之間、同學(xué)之間交往互動(dòng)共同進(jìn)展的過(guò)程，結(jié)合同學(xué)的實(shí)際狀況，及本節(jié)內(nèi)容的特點(diǎn)，我采納的是“問(wèn)題教學(xué)法”，其主導(dǎo)思想是以探索式教學(xué)思想為主導(dǎo)，由老師提出一系列細(xì)心設(shè)計(jì)的問(wèn)題，在老師的啟發(fā)指導(dǎo)下，讓同學(xué)自己去分析、探究，在探究過(guò)程中討論和領(lǐng)會(huì)得出的結(jié)論，從而使同學(xué)即獲得學(xué)問(wèn)又進(jìn)展智能的目的。

教學(xué)手段：多媒體計(jì)算機(jī)和傳統(tǒng)黑板相結(jié)合。通過(guò)計(jì)算機(jī)模擬演示，使同學(xué)獲得感性學(xué)問(wèn)的同時(shí)，為把握理性學(xué)問(wèn)制造條件，這樣做，可以使同學(xué)有愛(ài)好地學(xué)習(xí)，注重力也簡(jiǎn)單集中，符合教學(xué)論中的直觀性原則和可接受性原則。而保留使用黑板則能讓同學(xué)更好的經(jīng)受囫圇教學(xué)過(guò)程。

七．課前預(yù)備

同學(xué)預(yù)習(xí)，老師做好課件并安裝好。

八．教學(xué)過(guò)程

（一）創(chuàng)設(shè)情景，引入概念

設(shè)計(jì)意圖：希翼同學(xué)能通過(guò)日常生活中的實(shí)際問(wèn)題的分析對(duì)照，建立等差數(shù)列模型，體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)覺(jué)和制造的過(guò)程。

師生活動(dòng)：

情景1：

師—把班上同學(xué)學(xué)號(hào)從小到大排成一列：

同學(xué)：52,51,,4,3,2,1

師—這是數(shù)列嗎？你能歸納出它的通項(xiàng)公式嗎？同學(xué)—是，+∈≤≤=Nnnnan,521,

師—把上面的數(shù)列各項(xiàng)依次記為5221,,,,aaaa，填空：

()()()+=+=+=51522312,,,aaaaaa

同學(xué)—填空并歸納出普通邏輯：11+=-nnaa，（2≥n）師—上面這個(gè)邏輯還有其他形式嗎？同學(xué)—或者寫成11=--nnaa，（2≥n）注：要對(duì)強(qiáng)調(diào)2≥n，緣由在于1-n故意義。師—你能用一般語(yǔ)言概括上面的邏輯嗎？同學(xué)—自由發(fā)言，挑選最恰當(dāng)?shù)恼Z(yǔ)言。

上面的數(shù)列已找出這一特別邏輯，下面再觀看一些數(shù)列并也找出它們的邏輯。情景2：看幻燈片上的實(shí)例

（1）2022年北京奧運(yùn)會(huì)，女子舉重共設(shè)置7個(gè)級(jí)別，其中較輕的4個(gè)級(jí)別體重

組成數(shù)列（單位：kg）：48，53，58，63

（2）水庫(kù)的管理員為了保證優(yōu)質(zhì)魚類有良好的生活環(huán)境，定期放水清庫(kù)的方法

清理水庫(kù)中的雜魚。假如一個(gè)水庫(kù)的水位18m，自然放水天天水位下降2.5m，最低降至5m。那么從開頭放水算起，到可以舉行清理工作的那天，水庫(kù)天天的水位組成數(shù)列（單位：m）18，15.5，13，10．5，8，5．5

（3）我國(guó)現(xiàn)行儲(chǔ)蓄制度規(guī)定銀行支付存款利息的方式為單利，即不把利息加入

本金計(jì)算下一期的利息。根據(jù)單利計(jì)算本利和的公式是：本利和=本金?（1+利率?存期）

例如，按活期存入10000元，年利率是0.72%，

那么根據(jù)單利，5年內(nèi)各年末本利和分離是：如下表（假設(shè)5年既不加存款也不取款，且不扣利息稅）

各年末本利和（單位：元）

10072，10144，10216，10288，10360師：上面的三個(gè)數(shù)列又分離有什么邏輯呢？同學(xué)—（1）51=--nnaa，2≥n，+∈Nn

（2）5.21-=--nnaa，2≥n，+∈Nn（3）721=--nnaa，2≥n，+∈Nn師—?dú)w納上面數(shù)列的共同特征：

1nnaad--=（d是常數(shù)），2≥n，+∈Nn，

師—滿足這種特征的數(shù)列無(wú)數(shù)，我們有須要為這樣的數(shù)列取一個(gè)名字？同學(xué)（共同）—等差數(shù)列。

提出課題《等差數(shù)列》

師—給出文字講述的定義（同學(xué)講述，板書定義）：

普通的，假如一個(gè)數(shù)列從其次項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫等差數(shù)列，d為公差，a1為數(shù)列的首項(xiàng)。

*2132431,,,(2,)

nnaadaadaadaadnnN--=-=-=-=≥∈對(duì)定義舉行分析，強(qiáng)調(diào)：①同一個(gè)常數(shù)；②從其次項(xiàng)起。師—這樣的數(shù)列在生活中的例子，誰(shuí)能再舉幾個(gè)？同學(xué)—某劇場(chǎng)前8排的座位數(shù)分離是52，50，48，46，44，42，40，38.同學(xué)—全國(guó)統(tǒng)一鞋號(hào)中成年女鞋的各種尺碼分離是

21，21.5,22,22.5,23,23.5,24,24.5,25

搶答：觀看下列數(shù)列是否為等差數(shù)列

1，2，4，6，8，10，12，……

0，1，2，3，4，5，6，……3，3，3，3，3，3，3……

2，4，7，11，16，……-8，-6，-4，0，2，4，……3，0，-3，-6，-9，……

注：常數(shù)列也是等差數(shù)列，公差是0。

（二）推動(dòng)概念，發(fā)覺(jué)性質(zhì)

設(shè)計(jì)意圖：概括等差中項(xiàng)的概念。總結(jié)等差中項(xiàng)公式，用于發(fā)覺(jué)等差數(shù)列的性質(zhì)。師生活動(dòng)：

師—想一想，一個(gè)等差數(shù)列最少有幾項(xiàng)？它們之間有什么關(guān)系？同學(xué)思量后回答，至少三項(xiàng)，然后教師引導(dǎo)同學(xué)概括等差中項(xiàng)的概念。設(shè)三個(gè)數(shù)bAa,,成等差數(shù)列，則A叫a與b的等差中項(xiàng)。同時(shí)有A-a=b-A,2

2b

aA

baA+=

?+=?說(shuō)明：（1）上面式子反過(guò)來(lái)也成立。

（2）等差數(shù)列中的隨意延續(xù)三項(xiàng)都構(gòu)成等差數(shù)列

++-∈≥+=?Nnnaaannn,2,211，反之亦成立。

（三）探索通項(xiàng)公式

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)詳細(xì)數(shù)列的通項(xiàng)公式，總結(jié)普通等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，體味特別

到普通的數(shù)學(xué)思想辦法。

師生活動(dòng)：

師—對(duì)于一個(gè)數(shù)列，我們最關(guān)懷的是每一項(xiàng)，而這就要求我們能知道它的通項(xiàng)公

式。下面一起來(lái)討論等差數(shù)列的通項(xiàng)公式。

先寫出上面引例中等差數(shù)列的通項(xiàng)公式。再推導(dǎo)普通等差數(shù)列的通項(xiàng)公式。師—若一個(gè)數(shù)列123,,,,,naaaa是等差數(shù)列，它的公差是d，那么數(shù)列{}na

的通項(xiàng)公式是什么？

啟發(fā)同學(xué)：（歸納、猜測(cè)）可用首項(xiàng)與公差表示數(shù)列中隨意一項(xiàng)。

同學(xué)—daa=-12即：daa+=12

daa=-23即：dadaa2123+=+=

daa=-34即：dadaa3134+=+=

……

由此可得：dnaan)1(1-+=師—從第幾項(xiàng)開頭歸納的？同學(xué)—其次項(xiàng)，所以n≥2。師—n=1時(shí)呢？

同學(xué)—當(dāng)n=1時(shí)，等式也是成立，因而等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

dnaan)1(1-+=（+∈Nn）

師—很好!

（歸納、猜測(cè)，培養(yǎng)同學(xué)合理的推理能力）還有沒(méi)有其他的推導(dǎo)辦法？同學(xué)—還可用下面的辦法歸納：

當(dāng)n=1時(shí)，等式也是成立，因而等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

dnaan)1(1-+=（+∈Nn）

師—我們把這種辦法稱為迭代法。還有其他的推導(dǎo)辦法嗎？

（同學(xué)面露難色）啟發(fā)：看辦法一的第一個(gè)式子

daa=-12

daa=-23

daa=-34

……

1nnaad--=有何邏輯？

同學(xué)—可以用累加的辦法，左邊累加后得1naa-，右邊累加的d+d+d+……+d共

122331223(1)nnnnnnaadaddadaddadand

=+=++=+=++=++=+-

n-1個(gè)即1naa-=d+d+d+…….+d

1naa-=（n-1）d

dnaan)1(1-+=

師—這種辦法叫累加法

總結(jié)通項(xiàng)公式的推導(dǎo)辦法：遞推歸納法；迭代歸納法；累加法。

注：通項(xiàng)公式中含有1,,,nadna四個(gè)量，其中1,ad為基本量，當(dāng)1,ad確定后，通項(xiàng)

公式就確定了。(四).通項(xiàng)公式的應(yīng)用

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)詳細(xì)問(wèn)題，分析等差數(shù)列通項(xiàng)公式中的四個(gè)量，已知什么？求什

么？怎么求？提高同學(xué)分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力。

例1：（1）求等差數(shù)列8，5，2…的第20項(xiàng)？

（2）-401是不是等差數(shù)列-5，-9，-13…的項(xiàng)？假如是，是第幾項(xiàng)？（3）已知等差數(shù)列{}na中，35,20225-=-=aa，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式。分析：（1）中求第20項(xiàng)，需要知道什么呢？——首項(xiàng)和公差

（2）中怎樣推斷-401是不是數(shù)列中的項(xiàng)呢？——先求通項(xiàng)公式，再推斷

是否存在正整數(shù)n，使得-401=na成立。

（3）中已知兩項(xiàng)，求通項(xiàng)公式的關(guān)鍵還是先求首項(xiàng)和公差。這里可以通

過(guò)列方程組求解。

答案：(1)4920-=a；(2)-401是這個(gè)數(shù)列的第100項(xiàng)；(3)nan--=15。

(3)的補(bǔ)充說(shuō)明：由列兩個(gè)等式daadaa19,412022+=+=可知

daa15520=-，你能類似的推出等差數(shù)列中任兩項(xiàng)的關(guān)系嗎？

類比：dmaam)1(1-+=

dnaan)1(1-+=

兩式相減得n

maaddnmaan

mnm--=

?-=-)(—等差數(shù)列的性質(zhì)。

例2、已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為qpnan+=，其中p，q是常數(shù)，且p≠0，那么這

種數(shù)列是否一定是等差數(shù)列？假如是，其首項(xiàng)與公差是什么？師—如何分析題意？

同學(xué)—由等差數(shù)列定義，要判定{an}是不是等差數(shù)列，只要看an-an-1（n≥2）是

不是一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常數(shù)就行了。（同學(xué)講述，老師板書）

解：取數(shù)列{an}中的隨意相鄰兩項(xiàng)an-1與an（n≥2）。

∴an-an-1=(pn+q)-[p(n-1)+q]=(pn+q)-(pn-q+q)=p，

它是一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常數(shù)，所以{an}是等差數(shù)列，且公差為p。在通項(xiàng)公式中，令n=1得a1=p+q，

所以這個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)是p+q，公差是p。

師—數(shù)列的通項(xiàng)公式給出的是an與n之間的一種關(guān)系，一個(gè)n都對(duì)應(yīng)著一個(gè)an，

這與我們以前學(xué)過(guò)的什么內(nèi)容類似？由本例得到什么結(jié)論？（引發(fā)同學(xué)聯(lián)想、歸納，同學(xué)很自然會(huì)想到一次函數(shù)）

同學(xué)—與一次函數(shù)內(nèi)容類似，即an與n之間的關(guān)系是一次函數(shù)的關(guān)系；

由本例的結(jié)論可知，假如an是關(guān)于n的一次函數(shù)，那么數(shù)列{an}是等差數(shù)列。師—本例題的逆命題，是否也成立？請(qǐng)學(xué)生們課下自己完成證實(shí)。

由上面例題實(shí)際上可以得出證實(shí)數(shù)列{an}是等差數(shù)列的一種辦法。（五）通項(xiàng)公式的圖象

設(shè)計(jì)意圖：加深同學(xué)對(duì)等差數(shù)列與一次函數(shù)的聯(lián)系的理解。

在直角坐標(biāo)系中作通項(xiàng)公式為an=3n-5的數(shù)列的圖像，并觀看圖像有什么特點(diǎn)？用幾何畫板作圖顯示為下圖：

該數(shù)列的圖象是一群孤立的點(diǎn)。且都落在直線53-=xy的圖象上。師—由圖歸納出等差數(shù)列通項(xiàng)公式的圖象的特點(diǎn)。

同學(xué)—公差不為零的等差數(shù)列qpnan+=的圖象是直線y=px+q上的勻稱排開的

一群孤立的點(diǎn)。

注：當(dāng)p=0時(shí)，an=q，等差數(shù)列為常數(shù)列，此時(shí)數(shù)列的圖象是平行x軸（或x上）

的勻稱公布的一群孤立點(diǎn)。（六）課時(shí)小結(jié)

提出問(wèn)題：這節(jié)課你學(xué)到了什么？

老師鼓舞同學(xué)樂(lè)觀回答，答不完整的沒(méi)有關(guān)系，其它學(xué)生補(bǔ)充。以此培養(yǎng)同學(xué)的口頭表達(dá)能力，歸納概括能力。并用多媒體把同學(xué)的歸納用一張表展示出來(lái)。①等差數(shù)列定義和通項(xiàng)公式:dnaan)1(1-+=（n∈+N）②等差中項(xiàng)：A叫a與b的等差中項(xiàng)2

2b

aA

baA+=?+=?③等差數(shù)列的性質(zhì)：++-∈≥+=Nnnaaannn,2,211

n

maaddnmaan

mnm