《等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式》說(shuō)課稿(附教案)

《等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式》說(shuō)課稿《等比數(shù)列前n項(xiàng)和》是人教版必修5第二章數(shù)列中第五節(jié)第一課時(shí)的內(nèi)容。下面，我從教材分析，情境創(chuàng)設(shè)、公式推導(dǎo)，公式應(yīng)用，教學(xué)反思等幾個(gè)方面,談?wù)勛约旱墓芨Q之見(jiàn),與各位老師探討。教材分析等比數(shù)列的前n項(xiàng)和是“等差數(shù)列的前n項(xiàng)和”與“等比數(shù)列”內(nèi)容的延續(xù)、是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)列知識(shí)和解決一類(lèi)求和問(wèn)題的重要基礎(chǔ)和有力工具。它不僅在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的實(shí)際應(yīng)用，如儲(chǔ)蓄、分期付款的有關(guān)計(jì)算等等，而且公式推導(dǎo)過(guò)程中所蘊(yùn)涵的類(lèi)比、分類(lèi)討論、方程等思想方法，都是學(xué)生今后學(xué)習(xí)和工作中必備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。學(xué)情分析就學(xué)生而言，等差、等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，等差數(shù)列的前ｎ項(xiàng)和的公式是學(xué)生在學(xué)習(xí)之前已經(jīng)具備的知識(shí)基礎(chǔ)。學(xué)生具體研究學(xué)習(xí)了等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法，具備了一定的探究能力?；诖?，學(xué)生會(huì)產(chǎn)生思考，等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式應(yīng)該如何推導(dǎo)，公式是從什么新的角度建構(gòu)？其重要性和普遍性體現(xiàn)在哪里？應(yīng)該說(shuō)學(xué)生從內(nèi)心來(lái)講，有想探究等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的欲望和驅(qū)動(dòng)力。教學(xué)目標(biāo)在知識(shí)方面：理解等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法，掌握等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式并能運(yùn)用公式解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題。在能力方面：提高學(xué)生的建模意識(shí)，體會(huì)公式探求過(guò)程中從特殊到一般的思維方法，滲透方程思想、分類(lèi)討論思想，優(yōu)化思維品質(zhì)。在情感方面：培養(yǎng)學(xué)生將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)放眼生活，用生活眼光看數(shù)學(xué)的思維品質(zhì)。重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：使學(xué)生掌握等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式解決實(shí)際問(wèn)題。難點(diǎn)：由研究等比數(shù)列的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)推導(dǎo)等比數(shù)列的前ｎ項(xiàng)和公式。情境創(chuàng)設(shè)《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中明確指出:教材應(yīng)注意創(chuàng)設(shè)情境,從具體實(shí)例出發(fā),展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程,使學(xué)生能夠從中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題,經(jīng)歷數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造過(guò)程,了解知識(shí)的來(lái)龍去脈.是對(duì)課堂教學(xué)實(shí)踐的要求.我選擇的問(wèn)題情景是國(guó)王賞麥的故事.國(guó)際象棋起源于古代印度,關(guān)于國(guó)際象棋有這樣一個(gè)傳說(shuō):相傳古印度宰相達(dá)依爾，發(fā)明了國(guó)際象棋。當(dāng)時(shí)的國(guó)王大為贊賞，就問(wèn)他想要什么。達(dá)依爾說(shuō)：“請(qǐng)?jiān)谄灞P(pán)的64個(gè)方格上，第一格放1顆麥粒，第二格放2顆麥粒，第三格放4顆麥粒，依次類(lèi)推，每一格放的麥粒數(shù)都是前一格的兩倍，直到第64格，請(qǐng)您給我足夠的麥粒以實(shí)現(xiàn)上述要求?！边x擇這個(gè)故事作為問(wèn)題情景首先是因?yàn)榻?jīng)典永遠(yuǎn)是經(jīng)典,這正是基于數(shù)學(xué)教師對(duì)數(shù)學(xué)史知識(shí)的廣泛認(rèn)同.通過(guò)數(shù)學(xué)史料,可以擴(kuò)展學(xué)生的數(shù)學(xué)視野,提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、文化價(jià)值的認(rèn)識(shí).其次,將學(xué)生的角色設(shè)計(jì)成國(guó)王的謀士，更加激發(fā)了學(xué)生的探究熱忱，同時(shí)也讓學(xué)生明白數(shù)學(xué)和生活息息相關(guān)，把學(xué)以致用的思想滲透到課堂中。最后,通過(guò)讓學(xué)生大膽預(yù)測(cè)麥粒的重量產(chǎn)生懸念,在公式推導(dǎo)后讓學(xué)生運(yùn)用公式解決問(wèn)題,收尾呼應(yīng).在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生根據(jù)自己掌握的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，很快建立起等比數(shù)列的數(shù)學(xué)模型。數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列。當(dāng)學(xué)生躍躍欲試要求這個(gè)數(shù)列的前64項(xiàng)和時(shí)，課題的引入水到渠成。公式推導(dǎo)豐富學(xué)生的學(xué)習(xí)方式,改進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)方法是高中數(shù)學(xué)新課程的基本理念.《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確指出:教學(xué)中,應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生積極參與教學(xué)活動(dòng),包括思維的參與和行為的參與.既要有教師的講授和指導(dǎo),也有學(xué)生的自主探索與合作交流.鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的規(guī)律和問(wèn)題解決的途徑,使他們經(jīng)歷知識(shí)形成的過(guò)程.公式推導(dǎo)是這節(jié)課的重難點(diǎn)突破的地方，是整節(jié)課的核心。我進(jìn)行了深入的思考,以教學(xué)實(shí)踐與經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ),設(shè)計(jì)的教學(xué)方案是通過(guò)復(fù)習(xí)類(lèi)比等差數(shù)列求和方法尋求等比數(shù)列求和的突破，重點(diǎn)主要是為什么要在等比數(shù)列前n項(xiàng)和這一等式兩邊同乘以公比q。首先推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，形式上采用倒序相加法，本質(zhì)上是根據(jù)等差數(shù)列的定義，從公差為這一特性出發(fā)，抓住倒序后兩式中上下對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和均為這個(gè)特點(diǎn)，構(gòu)造相同項(xiàng)，進(jìn)而化繁為簡(jiǎn)，推得公式。由此學(xué)生自然會(huì)聯(lián)想等比數(shù)列是不是也可以用倒序相加法求和?學(xué)生進(jìn)行嘗試發(fā)現(xiàn)時(shí)行不通的.在此情景下引領(lǐng)學(xué)生透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，如何在等比數(shù)列前n項(xiàng)和中構(gòu)造相同項(xiàng)，從而化繁為簡(jiǎn)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。引導(dǎo)學(xué)生抓住等差數(shù)列求和是根據(jù)定義，由公差切入。自然，等比數(shù)列求和也應(yīng)根據(jù)定義，由公比來(lái)探究。關(guān)注等比數(shù)列的定義：，如果對(duì)其稍加變形，就會(huì)發(fā)現(xiàn)=即等比數(shù)列中的每一項(xiàng)乘以都等于其后項(xiàng)，由于這是每一項(xiàng)共有的特點(diǎn)，所以將這一特點(diǎn)應(yīng)用在前n項(xiàng)和上，即。這樣一來(lái)，等式兩邊為何乘，迎刃而解。通過(guò)如上分析，學(xué)生也體會(huì)到：這兩種數(shù)列求和公式的推導(dǎo)方法，從數(shù)學(xué)思想上來(lái)講是一致的，將不同項(xiàng)轉(zhuǎn)化為相同項(xiàng)，從而將不易求轉(zhuǎn)化為易求，只是具體的處理形式略有差異。正是由于這些異同，學(xué)生數(shù)學(xué)思維深刻性、廣闊性等品質(zhì)就得到了提高，思維能力得到了鍛煉。下面如何對(duì)這一等式進(jìn)一步的化簡(jiǎn)整理，由學(xué)生分析思考，合作完成。在整合的過(guò)程中，學(xué)生會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)問(wèn)題。第一：由此，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)②式中的前（n-1）項(xiàng)與①式中的后（n-1）項(xiàng)對(duì)應(yīng)相同，這樣一來(lái)就構(gòu)造出了相同項(xiàng)。但是，在表征形式上的處理有差異。有些學(xué)生注意到如果將等式右邊各項(xiàng)均往后錯(cuò)一位，那么兩式中相同項(xiàng)的對(duì)應(yīng)就更加清晰，在此基礎(chǔ)上，用①式減②式，這些相同的（n-1）項(xiàng)立即抵消為0，得到,從而完美的達(dá)到了化繁為簡(jiǎn)的目的。因此，對(duì)于學(xué)生深入細(xì)致的思考應(yīng)給予高度的肯定和贊賞。同時(shí)，強(qiáng)調(diào)指出，這樣的處理方法被形象的喻為：錯(cuò)位相減法。第二：進(jìn)一步化簡(jiǎn)，有些學(xué)生容易忽視：等式兩邊同時(shí)除以（1—）時(shí)除數(shù)要求不為0，因此要特別強(qiáng)調(diào)對(duì)1—做分類(lèi)討論，當(dāng)1—=0即=1時(shí)，數(shù)列為常數(shù)列，，當(dāng)1—≠0即≠1時(shí)，，從而通過(guò)錯(cuò)位相減法推出公式。在此基礎(chǔ)上，引領(lǐng)學(xué)生由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式推出求和公式的第二種形式：≠1時(shí)，在探究的過(guò)程中，學(xué)生還有其他的推導(dǎo)公式的想法，我們都給予了學(xué)生高度的肯定，并且讓學(xué)生在課下整合自己的探究過(guò)程，在班級(jí)的學(xué)習(xí)園地中展示，同學(xué)們共享研究成果。同時(shí)，錯(cuò)位相減法是解決一類(lèi)求和問(wèn)題的重要基礎(chǔ)和有力工具。要引起學(xué)生的高度重視。數(shù)學(xué)探究是高中數(shù)學(xué)課程中引入的一種新的學(xué)習(xí)方式,它有利于學(xué)生形成功能良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu).在問(wèn)題探究過(guò)程中,學(xué)生通過(guò)思考、操作、內(nèi)化等學(xué)習(xí)過(guò)程,深化知識(shí)和方法的建構(gòu),同時(shí)也不斷地促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)參與學(xué)習(xí),使課堂教學(xué)真正做到讓學(xué)生“動(dòng)起來(lái)”,讓課堂“活起來(lái)”.公式應(yīng)用公式推出后,又通過(guò)對(duì)公式特征的分析幫助學(xué)生弄清公式形式和本質(zhì)，明確其內(nèi)涵和外延，為靈活運(yùn)用公式打下基礎(chǔ)。首先回到國(guó)王賞麥的故事中，我給學(xué)生提供了相應(yīng)的數(shù)據(jù)，讓學(xué)生運(yùn)用公式解決問(wèn)題，從數(shù)據(jù)出發(fā)，用事實(shí)說(shuō)話(huà)。同時(shí)再次使學(xué)生明確學(xué)習(xí)的意義在于學(xué)以致用。退去故事的外衣，就是等比數(shù)列求和的問(wèn)題，所以在此基礎(chǔ)上的變式練習(xí)就是公式的直接應(yīng)用，目的是加強(qiáng)對(duì)公式的認(rèn)識(shí)和記憶，幫助學(xué)生明確解題步驟，規(guī)范解題格式，提高運(yùn)算能力。例2是關(guān)于“知三求二”的應(yīng)用問(wèn)題，目的是深化公式本質(zhì)，滲透方程思想。教學(xué)反思結(jié)果因過(guò)程而精彩,現(xiàn)象因方法而生動(dòng).無(wú)論是情境創(chuàng)設(shè),還是探究設(shè)計(jì),都必須以學(xué)生為主體、教師為主導(dǎo)、訓(xùn)練為主線(xiàn),設(shè)法從龐雜的知識(shí)中引導(dǎo)學(xué)生去尋找關(guān)系,挖掘書(shū)本背后的數(shù)學(xué)思想,建構(gòu)基于學(xué)生發(fā)展的知識(shí)體系,教學(xué)生學(xué)會(huì)思考,讓教學(xué)真正成為發(fā)展學(xué)生能力的課堂活動(dòng)。因此，本課例在公式的推導(dǎo)及證明中舍得花大量時(shí)間，便是為了培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)探究與創(chuàng)新，它就像一縷溫暖的陽(yáng)光，不一定能喚醒萬(wàn)物，卻能催開(kāi)人世間最絢麗的花朵。整節(jié)課采取了“情境——問(wèn)題”的教學(xué)模式，以實(shí)際問(wèn)題作為背景創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境。在具體問(wèn)題上，抽象出解決一般問(wèn)題的方法，由“特殊到一般，再由一般到特殊”，讓學(xué)生親歷提出問(wèn)題，解決問(wèn)題，反思總結(jié)的全過(guò)程。在已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上主動(dòng)建構(gòu)新知識(shí)。同時(shí)，運(yùn)用了學(xué)案，成果展示等新的教學(xué)理念。既保留了傳統(tǒng)教學(xué)的優(yōu)勢(shì)，又增添了新式教學(xué)的輔助。新老結(jié)合，效果顯著。從學(xué)生的課堂積極性和學(xué)習(xí)成果來(lái)看，學(xué)生較好的完成了等比數(shù)列前n項(xiàng)和的學(xué)習(xí)，在獲得知識(shí)的基礎(chǔ)上提高了分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力。當(dāng)然，一節(jié)課的知識(shí)與能力的提高時(shí)有限的，特別是數(shù)學(xué)思想的滲透。但是，我們能夠從一節(jié)課中吸取精華，讓一節(jié)又一節(jié)的課堂活動(dòng)連貫起來(lái)，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)能力的提高，數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升。在整個(gè)過(guò)程當(dāng)中，從開(kāi)始準(zhǔn)備到此刻，我深刻的體會(huì)到了鉆研教材的艱辛與快樂(lè)，解惑授業(yè)時(shí)的責(zé)任與幸福。學(xué)無(wú)止境，路漫漫其修遠(yuǎn)兮，吾將上下而求索?！兜缺葦?shù)列的前n項(xiàng)和》教案教學(xué)目標(biāo)：（1）知識(shí)目標(biāo)：理解等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法；掌握等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式并能運(yùn)用公式解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題；（2）能力目標(biāo)：提高學(xué)生的建模意識(shí)，體會(huì)公式探求過(guò)程中從特殊到一般的思維方法，滲透方程思想、分類(lèi)討論思想；（3）情感目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)放眼生活，用生活眼光看數(shù)學(xué)的思維品質(zhì)；教學(xué)重點(diǎn)：（1）等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式；（2）等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用；教學(xué)難點(diǎn)：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)；教學(xué)方法：?jiǎn)栴}探索法及啟發(fā)式講授法教具：多媒體教學(xué)過(guò)程：一、復(fù)習(xí)提問(wèn)回顧等比數(shù)列定義，通項(xiàng)公式。（1）等比數(shù)列定義：（，（2）等比數(shù)列通項(xiàng)公式：（3）等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法：倒序相加法。二、問(wèn)題引入：閱讀:課本第55頁(yè)“國(guó)王賞麥的故事”。問(wèn)題:如何計(jì)算引出課題:等比數(shù)列的前n項(xiàng)和。三、問(wèn)題探討：?jiǎn)栴}：如何求等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式回顧：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法。倒序相加法。等差數(shù)列它的前n項(xiàng)和是根據(jù)等差數(shù)列的定義（1）（2）（1）+（2）得：探究：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是否能用倒序相加法推導(dǎo)？學(xué)生討論分析，得出等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式不能用倒序相加法推導(dǎo)?；仡櫍旱炔顢?shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法本質(zhì)。構(gòu)造相同項(xiàng)，化繁為簡(jiǎn)。探究：等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式是否能用這種思想推導(dǎo)？根據(jù)等比數(shù)列的定義：變形：具體：……學(xué)生分組討論推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)：由于等比數(shù)列中的每一項(xiàng)乘以公比都等于其后一項(xiàng)。所以將這一特點(diǎn)應(yīng)用在前n項(xiàng)和上。由此構(gòu)造相同項(xiàng)。數(shù)學(xué)具有和諧美，錯(cuò)位相減，從而化繁為簡(jiǎn)。（1）（2）由此構(gòu)造相同項(xiàng)。數(shù)學(xué)具有和諧美，錯(cuò)位相減，從而化繁為簡(jiǎn)。當(dāng)q=1時(shí)，當(dāng)時(shí)，學(xué)生經(jīng)過(guò)討論還發(fā)現(xiàn)了其他的推導(dǎo)方法，讓學(xué)生課后整合自己的思路，將各自的推導(dǎo)過(guò)程展示在班級(jí)學(xué)習(xí)園地，同學(xué)們共享探究。由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式推出求和公式的第二種形式：當(dāng)時(shí)，四.知識(shí)整合:1．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：當(dāng)q=1時(shí)，當(dāng)時(shí)，2．公式特征：⑴等比數(shù)列求和時(shí)，應(yīng)考慮與兩種情況。⑵當(dāng)時(shí)，等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式有兩種形式,分別都涉及四個(gè)量，四個(gè)量中“知三求一”。⑶等比數(shù)列通項(xiàng)公式結(jié)合前n項(xiàng)和公式涉及五個(gè)量，，五個(gè)量中“知三求二”（方程思想）。3．等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)方法：錯(cuò)位相減法。五、例題精講：例1．運(yùn)用公式解決國(guó)王賞麥故事中的難題。變式練習(xí)：⑴求等比數(shù)列1,2,4,8…的前多少項(xiàng)和是63.⑵求等比數(shù)列1,2,4,8…第4項(xiàng)到第7項(xiàng)的和.例2．畫(huà)一個(gè)邊長(zhǎng)為2cm的正方形，再將這個(gè)正方形各邊的中點(diǎn)相連得到第2個(gè)正方形，依次類(lèi)推⑴若一共畫(huà)了7個(gè)正方形，求第7個(gè)正方形的面積？⑵若已知所畫(huà)正方形的面積和為，求一共畫(huà)了幾個(gè)正方形，及所畫(huà)的最后一個(gè)正方形的面積。解：由題意得：每個(gè)正方形的面積構(gòu)成等比數(shù)列，且（1）（2）答：（1）第七個(gè)正方形的面積是。（2）一共測(cè)了5個(gè)正方形，所畫(huà)的最后一個(gè)正方形的面積是。鞏固練習(xí)：⑴已知等比數(shù)列中，，,求。⑵已知等比數(shù)列中，，,，求n，。六、課堂小結(jié)：1、