第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課兩個重要的公式課件

第二章極限與連續(xù)一、本章提要

1.基本概念函數(shù)的極限，左極限，右極限，數(shù)列的極限，無窮小量，無窮大量，等價無窮小，在一點連續(xù)，連續(xù)函數(shù)，間斷點，第一類間斷點（可去間斷點，跳躍間斷點），第二類間斷點.

2.基本公式

（代表同一變量).兩種形式注意能求的極限形式

3.基本方法*****⑴利用函數(shù)的連續(xù)性求極限；⑵利用四則運算法則求極限；⑶利用兩個重要極限求極限；⑷利用無窮小替換定理求極限；

⑸利用分子、分母消去共同的非零公因子求形式的極限；⑹利用分子，分母同除以自變量的最高次冪求形式的極限；⑺利用連續(xù)函數(shù)的函數(shù)符號與極限符號可交換次序的特性求極限；⑻利用“無窮小與有界函數(shù)之積仍為無窮小量”求極限.4.定理左右極限與極限的關(guān)系，單調(diào)有界原理，夾逼準(zhǔn)則，極限的惟一性，極限的保號性,極限的四則運算法則，極限與無窮小的關(guān)系，無窮小的運算性質(zhì)，無窮小的替換定理，無窮小與無窮大的關(guān)系初等函數(shù)的連續(xù)性，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì).二、學(xué)法建議1．本章的重點是極限的求法及函數(shù)在一點的連續(xù)的概念，特別是求極限的方法，靈活多樣．因此要掌握這部分知識，建議同學(xué)自己去總結(jié)經(jīng)驗體會，多做練習(xí)．2．本章概念較多，且互相聯(lián)系，例如：收斂，有界，單調(diào)有界；發(fā)散，無界;無窮大,

極限，無窮小，連續(xù)等．只有明確它們之間的聯(lián)系，才能對它們有深刻的理解，因此同學(xué)們要注意弄清它們之間的實質(zhì)關(guān)系．3．要深刻理解在一點的連續(xù)概念，即極限值等于函數(shù)值才連續(xù)．千萬不要求到極限存在就下連續(xù)的結(jié)論;特別注意判斷分段函數(shù)在分段點的連續(xù)性．

三、例題精解

例1

求下列極限:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

例2

設(shè)

問當(dāng)為何值時，是的間斷點?是什么間斷點?四、主要解題方法求函數(shù)極限方法*****

1.利用極限存在的充分必要條件求極限例1求下列函數(shù)的極限：解因為左極限不等于右極限，所以極限不存在．

小結(jié)

對于求含有絕對值的函數(shù)及分段函數(shù)分界點處的極限，要用左右極限來求，只有左右極限存在且相等時極限才存在，否則，極限不存在．

例如習(xí)題二P3122.利用極限運算法則求極限例2

求下列函數(shù)的極限：

(2)

(3)

(4)

(1)小結(jié)

(1)應(yīng)用極限運算法則求極限時，必須注意每項極限都存在（對于除法，分母極限不為零）才能適用．（2）求函數(shù)極限時，經(jīng)常出現(xiàn)

等情況，都不能直接運用極限運算法則，必須對原式進行恒等變換、化簡，然后再求極限。常使用的有以下幾種方法．型，往往需要先通分，化簡，再求極限，對于無理分式，分子、分母有理化，消去公因式，再求極限，對分子、分母進行因式分解，再求極限，對于當(dāng)時的型，可將分子分母同時除以分母的最高次冪，然后再求極限．解(1)==(2)當(dāng)時，分子、分母極限均為零，呈現(xiàn)型，不能直接用商的極限法則，可先分解因式，約去使分子分母為零的公因子，再用商的運算法則．原式=(3)當(dāng)時，的極限均不存在，式呈現(xiàn)型，不能直接用“差的極限等于極限的差”的運算法則，可先進行通分化簡，再用商的運算法則．即原式=(4)當(dāng)時，分子分母均無極限，呈現(xiàn)形式．需分子分母同時除以將無窮大的約去，再用法則求原式=3.利用無窮小的性質(zhì)求極限例3求下列函數(shù)的極限（1）

（2）

解（1）因為而，求該式的極限需用無窮小與無窮大關(guān)系定理解決．因為，所以當(dāng)時，是無窮小量，因而它的倒數(shù)是無窮大量，即（2）不能直接運用極限運算法則，因為當(dāng)時分子，極限不存在，但是有界函數(shù)，即而因此當(dāng)時，為無窮小量.根據(jù)有界函數(shù)與無窮小乘積仍為無窮小定理，即得小結(jié)利用無窮小與無窮大的關(guān)系，可求一類函數(shù)的極限（分母極限為零，而分子極限存在的函數(shù)極限）；利用有界函數(shù)與無窮小的乘積仍為無窮小定理可得一類函數(shù)的極限（有界量與無窮小之積的函數(shù)極限）．4.利用兩個重要極限求函數(shù)的極限例4求下列函數(shù)的極限：（1）

（2）

解（1）分子先用和差化積公式變形，然后再用重要極限公式求極限==（2）=小結(jié)利用求極限時，函數(shù)的特點是型，滿足的形式，其中為同一變量；用求極限時，函數(shù)的特點型冪指函數(shù)，其形式為型,為無窮小量，指數(shù)為無窮大，兩者恰好互倒數(shù)；

用兩個重要極限公式求極限時，往往用三角公式或代數(shù)公式進行恒等變形或作變量代換，使之成為重要極限的標(biāo)準(zhǔn)形式。常用等價無窮小:

～～～～～～～～～5.利用等價無窮小代換求極限例5求下列函數(shù)的極限（1）

（2）

解

（1）

（2）===

小結(jié)利用等價無窮小可代換整個分子或分母，也可代換分子或分母中的因式，但當(dāng)分子或分母為多項式時，一般不能代換其中一項。否則會出錯．如上題,即得一錯誤結(jié)果．6.利用函數(shù)的連續(xù)性求極限例6求下列函數(shù)的極限（1）

解(1)因為是初等函數(shù)，在處有定義，所以

（2）

函數(shù)看成由

復(fù)合而成，利用分子有理化

=小結(jié)利用“函數(shù)連續(xù)的極限值即為函數(shù)值”可求連續(xù)函數(shù)的極限。在一定條件下復(fù)合函數(shù)的極限，極限符號與函數(shù)符號可交換次序．可見,函數(shù)在點五、函數(shù)連續(xù)性的定義*****定義:在的某鄰域內(nèi)有定義,則稱函數(shù)(1)在點即(2)極限(3)設(shè)函數(shù)連續(xù)必須具備下列條件:存在;且有定義,存在;在在六、函數(shù)的間斷點(1)函數(shù)(2)函數(shù)不存在;(3)函數(shù)存在,但不連續(xù):設(shè)在點的某去心鄰域內(nèi)有定義,則下列情形這樣的點之一函數(shù)f(x)在點雖有定義,但雖有定義,且稱為間斷點

.在無定義

;間斷點分類:第一類間斷點:及均存在,若稱若稱第二類間斷點:及中至少一個不存在,稱若其中有一個為振蕩,稱若其中有一個為為可去間斷點

.為跳躍間斷點

.為無窮間斷點

.為振蕩間斷點

.為其無窮間斷點.為其振蕩間斷點.為可去間斷點.例如:顯然為其可去間斷點.(4)(5)為其跳躍間斷點.內(nèi)容小結(jié)左連續(xù)右連續(xù)第一類間斷點可去間斷點跳躍間斷點左右極限都存在第二類間斷點無窮間斷點振蕩間斷點左右極限至少有一個不存在在點間斷的類型在點連續(xù)的等價形式練習(xí)1.討論函數(shù)x=2是第二類無窮間斷點.間斷點的類型.2.設(shè)時提示:為連續(xù)函數(shù).答案:x=1是第一類可去間斷點,備用題

確定函數(shù)間斷點的類型.解:

間斷點為無窮間斷點;故為跳躍間斷點.

2.

求解:原式=1本次課結(jié)束謝謝同學(xué)們作業(yè)：教材習(xí)題一(補充）三、極限1.極限定義的等價形式(以為例)(即為無窮小)有機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2.極限存在準(zhǔn)則及極限運算法則3.無窮小無窮小的性質(zhì);無窮小的比較;常用等價無窮小:

4.兩個重要極限

6.判斷極限不存在的方法～～～～～～～～～機動目錄上頁下頁返回結(jié)束5.求極限的基本方法

例6.

求下列極