高等數(shù)學(xué)第十一章級數(shù)

高等數(shù)學(xué)第十一章級數(shù)第一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二一、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)（11.3.2）（11.3.1）設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù),則稱為定義在區(qū)間上的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)，簡稱級數(shù)．取,則在處的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)(11.3.1)就成為常數(shù)項(xiàng)級數(shù)：+++…+…++++……+第二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二函數(shù)項(xiàng)級數(shù)（11.3.1）的所有收斂點(diǎn)組成的集合稱為它的收斂域，所有發(fā)散點(diǎn)組成的集合稱為它的發(fā)散域．如果級數(shù)(11.3.2)收斂，則稱點(diǎn)是級數(shù)(11.3.1)的一個(gè)收斂點(diǎn)，如果發(fā)散，稱點(diǎn)是級數(shù)（11.3.1）的發(fā)散點(diǎn)，（11.3.2）+++…+…第三頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二由于對收斂域內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn)因而有確定的和函數(shù)項(xiàng)級數(shù)都對應(yīng)一個(gè)收斂即函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和是的函數(shù)，通常稱為函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的記為的常數(shù)項(xiàng)級數(shù)，且隨著的變化而變化，x和函數(shù)，+……+（11.3.1）++++……+函數(shù)項(xiàng)級數(shù)第四頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二顯然和函數(shù)的定義域就是函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂域．把叫做函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的余項(xiàng)，則在收斂域上有且=+……+++++……+把函數(shù)項(xiàng)級數(shù)（11.3.1）前項(xiàng)部分和記作第五頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二二、冪函數(shù)及其收斂性現(xiàn)在我們要討論形式簡單而實(shí)用的一類函數(shù)項(xiàng)級數(shù)，即各項(xiàng)都是冪函數(shù)的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)，稱之為冪級數(shù)，它的一般形式是：（11.3.3）其中，,，，…,，…，均為常數(shù)，則級數(shù)(11.3.3)化為（11.3.4）因此以下主要研究（11.3.4）形式的冪級數(shù).它們稱為冪級數(shù)(11.3.3)的系數(shù)．令第六頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二首先考察冪級數(shù)的收斂性．且由§11.1例2知：當(dāng)時(shí)，因此，該冪級數(shù)的收斂域是開區(qū)間發(fā)散域是及該級數(shù)收斂于和該級數(shù)發(fā)散.時(shí)，當(dāng)?shù)谄唔摚捕唔?，編輯?023年，星期二從這個(gè)例子可以看到，該冪級數(shù)的收斂域是一個(gè)區(qū)間.事實(shí)上，這個(gè)結(jié)論對于一般的冪級數(shù)也是成立的．定理1

（阿貝爾（Abel）定理）如果冪級數(shù)在（）點(diǎn)收斂，則對滿足不等式的一切，反之，如果級數(shù)在點(diǎn)發(fā)散，則對滿足不等式該冪級數(shù)絕對收斂，該冪級數(shù)發(fā)散．的一切第八頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二于是數(shù)列證因?yàn)榧墧?shù)收斂，有界，現(xiàn)將給定的冪級數(shù)改寫成

，所以有，也就是說存在，使得顯然，，有:對于所有的第九頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二又由于時(shí)，內(nèi)絕對收斂.于是，由比較審斂法可知，在冪級數(shù)收斂.從而級數(shù)，定理的第二部分證明用反證法.時(shí)發(fā)散．假設(shè)冪級數(shù)當(dāng)，若存在一點(diǎn)本定理的第一部分的結(jié)論，時(shí)應(yīng)收斂，級數(shù)當(dāng)這與假設(shè)收斂，級數(shù)則根據(jù)，的一切發(fā)散．

矛盾.因此，點(diǎn)發(fā)散，如果級數(shù)在那么對滿足不等式第十頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二在區(qū)間端點(diǎn)可能收斂，也可能發(fā)散，稱為收斂區(qū)間，

由定理1可知，冪級數(shù)的收斂域有下面的三種情況之一：的有限區(qū)間．（1）收斂域是以原點(diǎn)為中心半徑為內(nèi)絕對收斂，冪級數(shù)在稱為收斂半徑．由此可見，冪級數(shù)的收斂域等于再加上收斂點(diǎn)端點(diǎn)．之外發(fā)散，在一點(diǎn)，（2）收斂域只有，（3）收斂域是無窮區(qū)間此時(shí)，稱收斂半徑為無窮大．此時(shí)規(guī)定其收斂半徑第十一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二 關(guān)于冪級數(shù)的收斂半徑的確定有下面定理．定理2

證

若的收斂半徑：（或），，考察絕對值級數(shù)這級數(shù)相鄰兩項(xiàng)之比的極限,則冪級數(shù)第十二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二由比值審斂法知級數(shù)絕對收斂；級數(shù)發(fā)散．因此，原級數(shù)的收斂半徑即時(shí)，即時(shí)，①當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，都有③當(dāng)時(shí)，均有所以級數(shù)僅在處收斂,②當(dāng)時(shí)，因?yàn)閷τ谟谑墙^對收斂,所以級數(shù)因?yàn)閷τ谝磺杏谑堑谑?，共二十七頁，編輯?023年，星期二例1解求冪級數(shù)收斂域．因?yàn)樗?/p>

該級數(shù)發(fā)散（調(diào)和級數(shù)）；時(shí)，當(dāng)級數(shù)為用萊布尼茲定理判斷此級數(shù)收斂.當(dāng)時(shí)，從而所求收斂域是級數(shù)為第十四頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二例2

解

求冪級數(shù)的收斂半徑（記）．因?yàn)樗?/p>

即級數(shù)僅在處收斂．第十五頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二例3

解

求冪級數(shù)的收斂域．令則級數(shù)變?yōu)樗云涫諗堪霃疆?dāng)時(shí)，級數(shù)收斂.收斂域?yàn)橐虼思墧?shù)從而只有當(dāng)即時(shí)，故原級數(shù)收斂域?yàn)闀r(shí)，當(dāng)原級數(shù)收斂，級數(shù)發(fā)散；第十六頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二如果冪級數(shù)只含有的奇次冪或的偶次冪，它的形式是或，則這時(shí)若根據(jù)比值判別法，，即當(dāng)時(shí)級數(shù)絕對收斂，當(dāng)，即時(shí)級數(shù)發(fā)散.或的收斂半徑為因此級數(shù)對此類問題，為了避免產(chǎn)生錯(cuò)誤，及收斂域．用定理2的方法確定冪級數(shù)的收斂半徑當(dāng)通?？芍苯佑帽戎蹬袆e法而不第十七頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二例4*

解

求冪級數(shù)的收斂域.當(dāng)時(shí),級數(shù)收斂;即當(dāng)即時(shí),級數(shù)發(fā)散．故收斂半徑當(dāng)時(shí),均發(fā)散,級數(shù)故收斂域?yàn)?/p>

級數(shù)只含有的奇數(shù)次冪,用如下方法求其收斂域．第十八頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二三、冪級數(shù)的運(yùn)算設(shè)已知兩個(gè)級數(shù)：和若它們的收斂區(qū)間分別為與和函數(shù)分別為和令，兩級數(shù)可進(jìn)行如下列運(yùn)算：內(nèi),則在區(qū)間第十九頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二

1．逐項(xiàng)相加或相減，得到一個(gè)新冪級數(shù)：新冪級數(shù)在區(qū)間內(nèi)收斂于2．兩級數(shù)相乘，得到一個(gè)新的冪級數(shù)新冪級數(shù)在區(qū)間內(nèi)收斂于第二十頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二(3)兩級數(shù)相除，這里，與相乘，中同次冪的系數(shù)，并令乘積中各項(xiàng)的系數(shù)分別等于級數(shù)，為了決定系數(shù)可以將級數(shù)即得：得到一個(gè)新的冪級數(shù)第二十一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二，，，，，相除后所得的冪級數(shù)的收斂區(qū)間可能比原來兩級數(shù)，…………由這些方程，可以依次求出,….的收斂區(qū)間小得多．…，第二十二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二的收斂半徑為定理3

設(shè)冪級數(shù)（且在收斂區(qū)間內(nèi)其和函數(shù)為，則）（1）在內(nèi)連續(xù)，在（或）內(nèi)連續(xù)．則和函數(shù)（或在也收斂，)如果冪級數(shù)在第二十三頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二逐項(xiàng)求導(dǎo)所得到的冪級數(shù)與原冪級數(shù)的收斂半徑相同．（2）在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，逐項(xiàng)積分所得的冪級數(shù)與原冪級數(shù)的收斂半徑相同．（3）在區(qū)間內(nèi)可積，且可逐項(xiàng)積分，即且可逐項(xiàng)求導(dǎo)，即第二十四頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期二例5

解:

而在收斂區(qū)間內(nèi)所以求冪級數(shù)