高考全國甲卷：《理科數(shù)學(xué)》2018年考試真題與答案解析

-5-高考精品文檔高考全國甲卷理科數(shù)學(xué)·2018年考試真題與答案解析同卷地區(qū)貴州省、四川省、云南省西藏自治區(qū)、廣西自治區(qū)高考全國甲卷：《理科數(shù)學(xué)》2018年考試真題與答案解析一、選擇題本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，，則（）A．B．C．D．答案：C2．（）A．B．C．D．答案：D3．中國古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來，構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長方體是榫頭．若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體，則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是（）A．B．C．D．答案：A4．若，則（）A．B．C．D．答案：B5．的展開式中的系數(shù)為（）A．10B．20C．40D．80答案：C6．直線分別與軸，軸交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則面積的取值范圍是（）A．B．C．D．答案：A7．函數(shù)的圖像大致為（）A.B.C.D.答案：D8．某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為，各成員的支付方式相互獨(dú)立，設(shè)為該群體的10位成員中使用移動支付的人數(shù)，，，則（）。A．0.7B．0.6C．0.4D．0.3答案：B9．的內(nèi)角的對邊分別為，，，若的面積為，則（）A．B．C．D．答案：C10．設(shè)是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，為等邊三角形且其面積為，則三棱錐體積的最大值為A．B．C．D．答案：B11．設(shè)是雙曲線（）的左，右焦點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)．過作的一條漸近線的垂線，垂足為．若，則的離心率為A．B．2C．D．答案：C12．設(shè)，，則A．B．C．D．答案：B二、填空題本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知向量，，．若，則________．答案：0.514．曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，則________．答案：﹣315．函數(shù)在的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為________．答案：316．已知點(diǎn)和拋物線，過的焦點(diǎn)且斜率為的直線與交于，兩點(diǎn)．若，則________．答案：2三、解答題解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每題12分，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，每題10分，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題17．等比數(shù)列中，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記為的前項(xiàng)和．若，求．答案：（1）解答過程如下；設(shè)的公比為，由題設(shè)得.由已知得，解得（舍去），或.故或.（2）解答過程如下；若，則.由，得，此方程沒有正整數(shù)解.若，則.由得，解得.綜上，.18．某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術(shù)創(chuàng)新活動，提出了完成某項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式．為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機(jī)分成兩組，每組20人。第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式．根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間（單位：min）繪制了如下莖葉圖：（1）根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說明理由；（2）求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)，并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間超過和不超過的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表：超過不超過第一種生產(chǎn)方式第二種生產(chǎn)方式（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，能否有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？附：，答案：（1）解答過程如下；第二種生產(chǎn)方式的效率更高.理由如下：（i）由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間至少80分鐘，用第二種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間至多79分鐘.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.（ii）由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為85.5分鐘，用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為73.5分鐘.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.（iii）由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時(shí)間高于80分鐘；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時(shí)間低于80分鐘，因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.（iv）由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布在莖8上的最多，關(guān)于莖8大致呈對稱分布；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布在莖7上的最多，關(guān)于莖7大致呈對稱分布，又用兩種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布的區(qū)間相同，故可以認(rèn)為用第二種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時(shí)間比用第一種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時(shí)間更少，因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.以上給出了4種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分.（2）解答過程如下；由莖葉圖知.列聯(lián)表如下：超過不超過第一種生產(chǎn)方式155第二種生產(chǎn)方式515（3）解答過程如下由于，所以有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異.19．如圖，邊長為2的正方形所在的平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點(diǎn)．（1）證明：平面平面；（2）當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，求面與面所成二面角的正弦值．答案：（1）證明過程如下；由題設(shè)知，平面CMD⊥平面ABCD，交線為CD.因?yàn)锽C⊥CD，BC平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM.因?yàn)镸為上異于C，D的點(diǎn)，且DC為直徑，所以DM⊥CM.又BCCM=C，所以DM⊥平面BMC.而DM平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC.（2）解答過程如下；以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D?xyz.當(dāng)三棱錐M?ABC體積最大時(shí)，M為弧CD的中點(diǎn).由題設(shè)得，設(shè)是平面MAB的法向量，則即可取.是平面MCD的法向量，因此，，所以面MAB與面MCD所成二面角的正弦值是.20．已知斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為．（1）證明：；（2）設(shè)為的右焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且．證明：，，成等差數(shù)列，并求該數(shù)列的公差．答案：（1）證明過程如下；設(shè)，則.兩式相減，并由；得.由題設(shè)知，于是.①由題設(shè)得，故.（2）解答過程如下；由題意得，設(shè)，則.由（1）及題設(shè)得.又點(diǎn)P在C上，所以，從而，.于是.同理.所以.故，即成等差數(shù)列.設(shè)該數(shù)列的公差為d，則.②將代入①得.所以l的方程為，代入C的方程，整理得.故，代入②解得.所以該數(shù)列的公差為或.21．已知函數(shù)．（1）若，證明：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；（2）若是的極大值點(diǎn)，求．答案：（1）證明過程如下；當(dāng)時(shí)，，.設(shè)函數(shù)，則.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故當(dāng)時(shí)，，且僅當(dāng)時(shí)，，從而，且僅當(dāng)時(shí)，.所以在單調(diào)遞增.又，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.（2）解答過程如下；（i）若，由（1）知，當(dāng)時(shí)，，這與是的極大值點(diǎn)矛盾.（ii）若，設(shè)函數(shù).由于當(dāng)時(shí)，，故與符號相同.又，故是的極大值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)是的極大值點(diǎn).如果，則當(dāng)，且時(shí)，，故不是的極大值點(diǎn).如果，則存在根，故當(dāng)，且時(shí)，，所以不是的極大值點(diǎn).如果，則.則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以是的極大值點(diǎn)，從而是的極大值點(diǎn)綜上，.（二）選考題請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。22．[選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]在平面直角坐標(biāo)系中，的參數(shù)方程為（為參數(shù)），過點(diǎn)且傾斜角為的直線與交于兩點(diǎn)．（1）求的取值范圍；（2）求中點(diǎn)的軌跡的參數(shù)方程．答案：（1）解答過程如下：圓O的直角坐標(biāo)方程為．當(dāng)時(shí)，與圓O交于兩點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，記，則的方程為．與圓O交于兩點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)，解得或，即或．綜上，的取值范圍是．（2）解答過程如下；的參數(shù)方程為為參數(shù)，．設(shè)，，對應(yīng)的參數(shù)分別為，，，則，且，