2023屆甘肅省高三下學(xué)期理數(shù)二模試卷及答案

高三下學(xué)期理數(shù)二模試卷一、單項選擇題1.集合，集合，那么〔

〕A.

B.

C.

D.

2.復(fù)數(shù)滿足，那么復(fù)數(shù)的虛部為〔

〕A.

B.

C.

-1

D.

13.函數(shù)，那么函數(shù)的圖象為〔

〕A.

B.

C.

D.

4.雙曲線(，)的漸近線方程為，實軸長為2，那么為〔

〕A.

-1

B.

C.

D.

5.如圖，在棱長為2的正方體中，分別是棱的中點，是底面內(nèi)一動點，假設(shè)直線與平面不存在公共點，那么三角形的面積的最小值為〔

〕A.

B.

1

C.

D.

26.某地以“綠水青山就是金山銀山〞理念為引導(dǎo)，推進綠色開展，現(xiàn)要訂購一批苗木，苗木長度與售價如下表：苗木長度(厘米)384858687888售價(元)24由表可知，苗木長度(厘米)與售價(元)之間存在線性相關(guān)關(guān)系，回歸方程為，那么當(dāng)苗木長度為150厘米時，售價大約為〔

〕A.

33.3

B.

35.5

C.

38.9

7.數(shù)列的前項和為，假設(shè)點在函數(shù)的圖象上，那么〔

〕A.

2021

B.

4041

C.

4042

D.

40438.，，均為銳角，且，那么〔

〕A.

B.

C.

D.

9.中國古代制定樂律的生成方法是最早見于?管子·地員篇?的三分損益法，三分損益包含兩個含義：三分損一和三分益一.根據(jù)某一特定的弦，去其，即三分損一，可得出該弦音的上方五度音；將該弦增長，即三分益一，可得出該弦音的下方四度音.中國古代的五聲音階：宮?徵(zhǐ)，商?羽?角(jué)，就是按三分損一和三分益一的順序交替，連續(xù)使用產(chǎn)生的.假設(shè)五音中的“宮〞的律數(shù)為81，請根據(jù)上述律數(shù)演算法推算出“羽〞的律數(shù)為〔

〕A.

72

B.

48

C.

54

D.

6410.數(shù)列的前項和為，且，那么〔

〕A.

B.

C.

D.

11.過拋物線焦點的直線與拋物線交與，兩點，過，兩點分別作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，假設(shè)線段的中點為，且線段的長為4，那么直線的方程為〔

〕A.

B.

C.

或

D.

或12.函數(shù)，，假設(shè)經(jīng)過點存在一條直線與圖象和圖象都相切，那么〔

〕A.

0

B.

-1

C.

3

D.

-1或3二、填空題13.平面內(nèi)單位向量，，滿足，那么=________.14.假設(shè)實數(shù)，滿足約束條件，那么取最大值4時，的最小值為________.15.孫子定理(又稱中國剩余定理)是中國古代求解一次同余式組的方法.問題最早可見于南北朝時期的數(shù)學(xué)著作?孫子算經(jīng)?卷下第二十六題“物不知數(shù)〞問題：有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二.問物幾何？它的根本解法之一是：列出用3整除余2的整數(shù)：2，5，8，11，14，17，20，23…，用5整除余3的整數(shù)：3，8，13，18，23，…，用7整除余2的整數(shù)：2，9，16，23…，那么23就是“問物幾何？〞中“物〞的最少件數(shù)，“物〞的所有件數(shù)可用表示.試問：一個數(shù)被3除余1，被4除少1，被5除余4，那么這個數(shù)最小是________.16.三棱錐的底面是邊長為3的正三角形，面垂直底面，且，那么三棱錐體積的最大值是________.三、解答題17.如圖，在直四棱柱中，底面是邊長為2的菱形，且，，分別為，的中點.〔1〕證明：平面；〔2〕假設(shè)，求二面角的余弦值.18.某校為了解高三學(xué)生周末在家學(xué)習(xí)情況，隨機抽取高三年級甲?乙兩班學(xué)生進行網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查，統(tǒng)計了甲?乙兩班各40人每天的學(xué)習(xí)時間(單位：小時)，并將樣本數(shù)據(jù)分成，，，，五組，整理得到如下頻率分布直方圖：〔1〕將學(xué)習(xí)時間不少于6小時和少于6小時的學(xué)生數(shù)填入下面的列聯(lián)表：不少于6小時少于6小時總計甲班乙班總計能以95%的把握認為學(xué)習(xí)時間不少于6小時與班級有關(guān)嗎？為什么？〔2〕此次問卷調(diào)查甲班學(xué)生的學(xué)習(xí)時間大致滿足，其中等于甲班學(xué)生學(xué)習(xí)時間的平均數(shù)，求甲班學(xué)生學(xué)習(xí)時間在區(qū)間的概率.參考公式：，.參考數(shù)據(jù)①：②假設(shè)，那么，.19.圓經(jīng)過橢圓的右焦點，且經(jīng)過點作圓的切線被橢圓截得的弦長為.〔1〕求橢圓的方程；〔2〕假設(shè)點，是橢圓上異于短軸端點的兩點，點滿足，且，試確定直線，斜率之積是否為定值，假設(shè)是，求出這個定值；假設(shè)不是，說明理由.20.的內(nèi)角，，的對邊分別是，，，且.〔1〕求角的大??；〔2〕假設(shè)，為邊上一點，，且________，求的面積.(從①為的平分線，②為的中點，這兩個條件中任選一個補充在上面的橫線上并作答)21.函數(shù)，.〔1〕假設(shè)在單調(diào)遞增，求的取值范圍；〔2〕假設(shè)，求證：.22.在直角坐標(biāo)系中，點是曲線：上的動點，滿足的點的軌跡是.〔1〕以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求曲線，的極坐標(biāo)方程；〔2〕直線的參數(shù)方程是(為參數(shù))，點的直角坐標(biāo)是，假設(shè)直線與曲線交于，兩點，當(dāng)線段，，成等比數(shù)列時，求的值.23.函數(shù)，.〔1〕求函數(shù)的圖象與直線圍成區(qū)域的面積；〔2〕假設(shè)對于，，且時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

答案解析局部一、單項選擇題1.【解析】【解答】，.故答案為：C.

【分析】由不等式的解法求解出不等式的解集，從而得到集合A再由交集的定義即可得出答案。2.【解析】【解答】由，所以復(fù)數(shù)的虛部為1，故答案為：D

【分析】首先由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運算性質(zhì)整理再結(jié)合復(fù)數(shù)的概念即可得出答案。3.【解析】【解答】因為，定義域為，關(guān)于原點對稱，所以，所以函數(shù)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，所以D不正確；因為，所以B不正確；因為，所以A不正確.故答案為：C

【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式可得，排除B，分析函數(shù)為奇函數(shù)排除D，再由排除A，即可得答案.4.【解析】【解答】雙曲線(，)的漸近線方程為，實軸長為2，得，∴，且，那么，∴.故答案為：C.

【分析】首先由雙曲線的簡單性質(zhì)以及條件求出a的值，再由雙曲線里a、b、c的關(guān)系計算出n的值從而計算出結(jié)果即可。5.【解析】【解答】延展平面，可得截面,其中分別是所在棱的中點，直線與平面不存在公共點，所以平面,由中位線定理可得,在平面內(nèi)，在平面外，所以平面,因為與在平面內(nèi)相交，所以平面平面,所以在上時，直線與平面不存在公共點，因為與垂直，所以與重合時最小，此時，三角形的面積最小，最小值為，

故答案為：C.

【分析】延展平面，可得截面,從而得到以在上，當(dāng)點與重合時最小，那么三角形的面積最小，求解此時的面積即可.6.【解析】【解答】因為，，所以樣本點中心為，又回歸直線經(jīng)過，所以，所以，所以回歸方程為，當(dāng)時，厘米.那么當(dāng)苗木長度為150厘米時，售價大約為38.9厘米.故答案為：C

【分析】結(jié)合條件求出樣本中心點的坐標(biāo)，再把坐標(biāo)代入線性回歸方程計算出，由此得到線性回歸方程，結(jié)合題意再把x的值代入計算出結(jié)果即可。7.【解析】【解答】因為點在函數(shù)的圖象上，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，，又適合上式，所以，所以，故答案為：D

【分析】將點

代入函數(shù)解析式，即可得到數(shù)列的前n項和公式，然后利用數(shù)列通項與前n項和的關(guān)系求解數(shù)列的通項公式，進而求出結(jié)果.8.【解析】【解答】因為，，均為銳角，所以，因為，所以，即，所以，得，因為為銳角，所以，所以.故答案為：A

【分析】由可求，利用同角三角函數(shù)根本關(guān)系式可求的值，進而根據(jù)誘導(dǎo)公式可求

的值.9.【解析】【解答】依題意，將“宮〞的律數(shù)81三分損一可得“徵〞的律數(shù)為，將“徵〞的律數(shù)54三分益一可得“商〞的律數(shù)為，將“商〞的律數(shù)72三分損一可得“羽〞的律數(shù)為.故答案為：B

【分析】根據(jù)題中材料分析得出律數(shù)變化規(guī)律，進行求解.10.【解析】【解答】當(dāng)時，，得，當(dāng)時，，所以，即，又，所以數(shù)列是首項為，公比的等比數(shù)列，所以，，所以.故答案為：B

【分析】首先利用數(shù)列的遞推關(guān)系式求出數(shù)列的通項公式，進一步利用關(guān)系式的應(yīng)用求出結(jié)果.11.【解析】【解答】由得，所以，準(zhǔn)線為，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去并整理得，恒成立，設(shè)、，那么，所以，依題意得、，那么線段的中點，因為，所以，解得，所以直線的方程為：或.故答案為：C

【分析】求得拋物線的焦點和準(zhǔn)線方程，設(shè)直線的方程為，與拋物線的方程聯(lián)立，運用韋達定理和中點坐標(biāo)公式、兩點的距離公式，計算可得所求直線方程.12.【解析】【解答】設(shè)直線與相切的切點為，由的導(dǎo)數(shù)為，可得切線的斜率為，那么切線的方程為，將代入切線的方程可得，解得，那么切線的方程為，聯(lián)立，可得，由，解得或3，故答案為：D.

【分析】根據(jù)題意設(shè)直線l與y=

f(x)相切的切點，求得f(x)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切線的方程，代入A的坐標(biāo)，求得切點，可得切線的方程，與y聯(lián)立，運用相切的條件：判別式為0，由此得到求解出方程的解，可得得到a的值。二、填空題13.【解析】【解答】因為為單位向量，所以，因為，所以，所以，所以，得.故答案為：

【分析】此題根據(jù)題意將條件進行轉(zhuǎn)化可得，然后兩邊平方，并結(jié)合單位向量的定義進行計算即可得到

的值.14.【解析】【解答】作出可行域如圖：聯(lián)立，得，所以，因為，所以，將目標(biāo)函數(shù)化為斜截式可得，因為直線的斜率為，所以由圖可知，當(dāng)直線經(jīng)過時，，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.故答案為：2

【分析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)求得最大值，可得，然后結(jié)合根本不等式求得

的最小值.15.【解析】【解答】因為被3除余1的整數(shù)有：被4除少1即被4除余3的整數(shù)有：被5除余4的整數(shù)有：所以這個數(shù)最小為.故答案為：19

【分析】分別列出被3除余1，被4除少1，被5除余4的數(shù)，找出最小數(shù)即可.16.【解析】【解答】因為面垂直底面，那么三棱錐的高即為到AB的距離，設(shè)為，，設(shè)，在中，，那么，那么，當(dāng)，即時，，又，那么三棱錐體積的最大值為.故答案為：.

【分析】由題意畫出圖形，求出A到平面的距離，設(shè)，求解三角形可得三角形的面積，換元后利用配方法求最值，再由棱錐體積公式求三棱錐體積的最大值.三、解答題17.【解析】【分析】

〔1〕連接

交

于

點，連接

，

利用中位線定理證明四邊形

為平行四邊形

，得到

，然后利用線面垂直的判定定理證明

平面

，從而證明

平面

；〔2〕建立適宜的空間直角坐標(biāo)系，求出所需點的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出兩個平面的法向量，然后由向量的夾角公式求解即可.18.【解析】【分析】(1)由條件的圖表中的數(shù)據(jù)結(jié)合