第4章離散傅里葉變換課件

第4章圖像變換

為了有效和快速地對(duì)圖像進(jìn)行處理和分析，常常需要將原定義在圖像空間的圖像以某種形式轉(zhuǎn)換到其他空間，并且利用圖像在這個(gè)空間的特有性質(zhì)進(jìn)行處理，然后通過(guò)逆變換操作轉(zhuǎn)換到圖像空間。本章討論圖像變換重點(diǎn)介紹圖像處理中常用的正交變換，如傅里葉變換、離散余弦變換和小波變換等。2023/6/71.一維連續(xù)傅里葉變換

設(shè)f(x)為x的函數(shù)，如果f(x)滿足下面的狄里赫萊條件：

(1)具有有限個(gè)間斷點(diǎn)；

(2)具有有限個(gè)極值點(diǎn)；

(3)絕對(duì)可積。則定義f(x)的傅里葉變換為：4.1連續(xù)傅里葉變換2023/6/7從F(u)恢復(fù)f(x)稱為傅里葉反變換，定義為：上述二式形成傅里葉變換對(duì)，記做：函數(shù)f(x)的傅里葉變換一般是一個(gè)復(fù)數(shù)，它可以由下式表示：F(u)=R(u)+jI(u)R(u),I(u)分別為F(u)的實(shí)部和虛部。寫(xiě)成指數(shù)形式：4.1連續(xù)傅里葉變換2023/6/7F(u)為復(fù)平面上的向量，它有幅度和相角：

幅度：相角：幅度函數(shù)|F(u)|稱為f(x)的傅里葉譜或頻率譜，φ(u)稱為相位譜。稱為f(x)的能量譜或稱為功率譜。4.1連續(xù)傅里葉變換2023/6/72.二維連續(xù)傅里葉變換傅里葉變換可以推廣到兩個(gè)變量連續(xù)可積的函數(shù)f(x,y)若f(x,y)滿足狄里赫萊條件，則存在如下傅里葉變化對(duì)：二維函數(shù)的傅里葉譜、相位和能量譜分別表示為：

2023/6/71.一維離散傅里葉變換

對(duì)一個(gè)連續(xù)函數(shù)f(x)等間隔采樣可得到一個(gè)離散序列。設(shè)共采了N個(gè)點(diǎn)，則這個(gè)離散序列可表示為{f(0),f(1),…,f(N-1)}。借助這種表達(dá)，并令x為離散空域變量，u為離散頻率變量，可將離散傅里葉變換定義為：4.1.2離散傅里葉變換2023/6/7

傅里葉反變換定義由表示：

可以證明離散傅里葉變換對(duì)總是存在的。其傅里葉譜、相位和能量譜如下：4.1.2離散傅里葉變換2023/6/72.離散傅里葉變換（DFT）的矩陣表示法由DFT的定義，N＝4的原信號(hào)序列f(x)={f(0),f(1),f(2),f(3)}的傅里葉變換F(u)展開(kāi)為：4.1.2離散傅里葉變換2023/6/7

將e指數(shù)項(xiàng)化簡(jiǎn)可寫(xiě)成矩陣形式：

記作：可用復(fù)平面的單位圓來(lái)求W的各元素。如圖4-1所示。當(dāng)N=4時(shí)，參看圖4.1(a)。把單位圓分為N=4份，則正變換矩陣第u行每次移動(dòng)u份得到該行系數(shù)。4.1.2離散傅里葉變換2023/6/7(a)(b)圖4.1復(fù)平面單位圓(a)N＝4(b)N＝84.1.2離散傅里葉變換2023/6/7

同理N=8見(jiàn)圖4-1(b)的單位圓。N=8的W陣應(yīng)把單位圓分為8份，順時(shí)順次轉(zhuǎn)0份,1份、…,7份，可得W陣為:4.1.2離散傅里葉變換2023/6/74.1.2離散傅里葉變換2023/6/72.二維離散傅里葉變換一幅靜止的數(shù)字圖像可看做是二維數(shù)據(jù)陣列。因此，數(shù)字圖像處理主要是二維數(shù)據(jù)處理。如果一幅二維離散圖像f(x,y)的大小為M*N，則二維傅里葉變換可用下面二式表示。4.1.2離散傅里葉變換2023/6/7

在圖像處理中，一般總是選擇方形陣列，所以通常情況下總是M=N。正逆變換對(duì)具有下列對(duì)稱的形式：4.1.2離散傅里葉變換2023/6/73.二維離散傅里葉變換的性質(zhì)二維離散傅里葉變換有一些重要的性質(zhì)，這些性質(zhì)為使用提供了極大的方便。

1）分離性二維離散傅里葉變換具有分離性4.1.2離散傅里葉變換2023/6/7分離性質(zhì)的主要優(yōu)點(diǎn)是可借助一系列一維傅里葉變換分兩步求得F(u,v)。第1步，沿著f(x,y)的每一行取變換，將其結(jié)果乘以1/N,取得二維函數(shù)F(x,v);第2步，沿著F(x,v)的每一列取變換，再將結(jié)果乘以1/N,就得到了F(u,v)。這種方法是先行后列。如果采用先列后行的順序，其結(jié)果相同。如圖4.6所示。4.1.2離散傅里葉變換2023/6/7行變換列變換圖4.6把二維傅里葉變換作為一系列一維的計(jì)算方法4.1.2離散傅里葉變換2023/6/7

對(duì)逆變換f(x,y)也可以類似地分兩步進(jìn)行。4.1.2離散傅里葉變換2023/6/72）平移性傅里葉變換和逆變換對(duì)的位移性質(zhì)是指：

由f(x,y)乘以指數(shù)項(xiàng)并取其乘積的傅立葉變換，使頻率平面的原點(diǎn)位移至(u0,v0)。同樣地，以指數(shù)項(xiàng)乘以F(u,v)并取其反變換，將空間域平面的原點(diǎn)位移至(x0,y0)。當(dāng)u0=v0=N/2時(shí)，指數(shù)項(xiàng)為：

4.1.2離散傅里葉變換2023/6/7即為：

這樣，用（-l）(x+y)乘以f(x,y)就可以將f(x,y)的傅里葉變換原點(diǎn)移動(dòng)到N*N頻率方陣的中心，這樣才能看到整個(gè)譜圖。另外，對(duì)f(x,y)的平移不影響其傅里葉變換的幅值。此外，與連續(xù)二維傅里葉變換一樣，二維離散傅里葉變換也具有周期性、共軛對(duì)稱性、線性、旋轉(zhuǎn)性、相關(guān)定理、卷積定理、比例性等性質(zhì)。這些性質(zhì)在分析及處理圖像時(shí)有重要意義。4.1.2離散傅里葉變換2023/6/73.DFT應(yīng)用中的問(wèn)題

1）頻譜的圖像顯示

DFT在計(jì)算機(jī)圖像處理中計(jì)算的中間過(guò)程和結(jié)果要圖像化。對(duì)DFT來(lái)講不但f(x,y)是圖像,F(u,v)也要用圖像來(lái)顯示其結(jié)果。譜圖像就是把|F(u,v)|作為亮度顯示在屏幕上。但在傅里葉變換中F(u,v)隨u,v的衰減太快，其高頻項(xiàng)只看到一兩個(gè)峰，其余皆不清楚。由于人的視覺(jué)可分辨灰度有限，為了得到清晰的顯示效果，即為了顯示這個(gè)頻譜，可用下式處理，設(shè)顯示信號(hào)為D(u,v),4.1.2離散傅里葉變換2023/6/7

即用顯示D(u,v)來(lái)代替只顯示|F(u,v)|不夠清楚的補(bǔ)救方法。譜的顯示加深了對(duì)圖像的視覺(jué)理解。如一幅遙感圖像受正弦網(wǎng)紋的干擾，從頻譜圖上立即可指出干擾的空間頻率并可方便地從頻域去除。如圖4.7為圖像的傅里葉頻譜圖像4.1.2離散傅里葉變換2023/6/7圖4.7圖像的傅里葉頻譜圖像，原始圖像，(b)頻譜直接顯示，(c)頻譜經(jīng)過(guò)變換后的結(jié)果(b)(c)4.1.2離散傅里葉變換a.a.2023/6/72.頻譜圖像的移中顯示常用的傅里葉正反變換公式都是以零點(diǎn)為中心的公式，其結(jié)果中心最亮點(diǎn)卻在頻譜圖像的左上角，作為周期性函數(shù)其中心最亮點(diǎn)將分布在四角，為了觀察方便，將頻譜圖像的零點(diǎn)移到顯示的中心。當(dāng)周期為N時(shí)，應(yīng)在頻域移動(dòng)N/2。利用DFT的平移性質(zhì)，先把原圖像f(x,y)乘以(-1)(x+y)然后再進(jìn)行傅里葉變換，其結(jié)果譜就是移N/2的F(u,v)。圖4-8所示。應(yīng)當(dāng)注意，顯示是為了觀看，而實(shí)際F(u,v)數(shù)據(jù)仍保留為原來(lái)的值。4.1.2離散傅里葉變換2023/6/7圖4.8頻譜圖像的移中顯示(a)未移至中心的頻譜圖像，(b)移至中心后的頻譜圖像(a)(b)4.1.2離散傅里葉變換2023/6/73.旋轉(zhuǎn)性應(yīng)用中，對(duì)兩幅圖像進(jìn)行傅里葉變換后，為求兩幅圖像的相似性，常須對(duì)頻域圖進(jìn)行旋轉(zhuǎn)尋找匹配。此時(shí)FT公式常用極坐標(biāo)表示為傅里葉變換對(duì)。設(shè)f(x,y)為原圖中任一點(diǎn)的坐標(biāo)，，θ為(x,y)點(diǎn)與x軸的夾角，則傅里葉變換對(duì)為：若空域頻域4.1.2離散傅里葉變換2023/6/7則旋轉(zhuǎn)不變性質(zhì)為：上式表明，在空域中對(duì)圖像f(x,y)旋轉(zhuǎn)θ0對(duì)應(yīng)于將其傅里葉變換F(u,v)也旋轉(zhuǎn)θ0，類似的，對(duì)F(u,v)旋轉(zhuǎn)θ0也對(duì)應(yīng)于將其傅里葉反變換f(x,y)旋轉(zhuǎn)θ0。4.1.2離散傅里葉變換2023/6/7(a)(b)圖4.9傅里葉變換的旋轉(zhuǎn)性，對(duì)比圖4.84.1.2離散傅里葉變換2023/6/74.數(shù)字圖像傅里葉變換的頻譜分布和統(tǒng)計(jì)特性

1)數(shù)字圖像傅里葉變換的頻譜分布數(shù)字圖像的二維離散傅里葉變換所得結(jié)果的頻率成分如圖4.10所示，左上角為直流成分，變換結(jié)果的四個(gè)角的周圍對(duì)應(yīng)于低頻成分，中央部位對(duì)應(yīng)于高頻部分。為了便于觀察譜的分布，使直流成分出現(xiàn)在窗口的中央，可采用圖示的換位方法，根據(jù)傅里葉頻率位移的性質(zhì)，只需要用f(x，y)乘上因子進(jìn)行傅里葉變換即可實(shí)現(xiàn)，變換后的坐標(biāo)原點(diǎn)移動(dòng)到了窗口中心，圍繞坐標(biāo)中心的是低頻，向外是高頻。4.1.2離散傅里葉變換2023/6/7圖4.10二維傅里葉變換的頻譜分布

4.1.2離散傅里葉變換2023/6/7圖4.11頻率位移示例4.1.2離散傅里葉變換2023/6/7

圖4.11為二維離散傅里葉變換的頻率位移特性。圍繞坐標(biāo)中心的是低頻，向外是高頻，頻譜由中心向周邊放射，而且各行各列的譜對(duì)中心點(diǎn)是共軛對(duì)稱的，利用這個(gè)特性，在數(shù)據(jù)存儲(chǔ)和傳輸時(shí)，僅存儲(chǔ)和傳輸它們中的一部分，進(jìn)行逆變換恢復(fù)原圖像前，按照對(duì)稱性補(bǔ)充另一部分?jǐn)?shù)據(jù)，就可達(dá)到數(shù)據(jù)壓縮的目的。

2）圖像傅里葉變換的統(tǒng)計(jì)分布（1）傅里葉變換后的零頻分量F（0，0），也稱作直流分量，根據(jù)傅里葉變換公式有：

它反映了原始圖像的平均亮度。

4.1.2離散傅里葉變換2023/6/7（2）對(duì)大多數(shù)無(wú)明顯顆粒噪音的圖像來(lái)說(shuō)，低頻區(qū)集中了85％的能量，這一點(diǎn)成為對(duì)圖像變換壓縮編碼的理論根據(jù)，如變換后僅傳送低頻分量的幅值，對(duì)高頻分量不傳送，反變換前再將它們恢復(fù)為零值，就可以達(dá)到壓縮的目的。（3）圖像灰度變化緩慢的區(qū)域，對(duì)應(yīng)它變換后的低頻分量部分；圖