同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

第五章5.2.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系1.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式.2.會用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式進行三角函數(shù)式的求值、化簡和證明.課標(biāo)要求素養(yǎng)要求通過同角三角函數(shù)式的應(yīng)用，重點提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).課前預(yù)習(xí)課堂互動分層訓(xùn)練內(nèi)容索引課前預(yù)習(xí)知識探究11.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系描述方式基本關(guān)系基本關(guān)系式語言描述平方關(guān)系________________同一個角α的正弦、余弦的平方和等于1商數(shù)關(guān)系___________________________同一個角α的正弦、余弦的商等于角α的正切sin2α＋cos2α＝12.同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的變形1－cos2α1－sin2α1±2sinαcosαtanαcosα點睛1.思考辨析，判斷正誤×(1)sin2α＋cos2β＝1.(

)提示在同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式中要注意是“同角”才成立，即sin2α＋cos2α＝1.√××2.(多選題)下列四個結(jié)論中可能成立的是(

)ABB2課堂互動題型剖析2題型一同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及簡單應(yīng)用(1)當(dāng)α是第二象限角時，則(1)已知sinθ(或cosθ)求tanθ常用以下方式求解思維升華(2)若沒有給出角α是第幾象限角，則應(yīng)分類討論，先由已知三角函數(shù)的值推出α的終邊可能在的象限，再分類求解.【例2】

化簡：題型二三角函數(shù)式的化簡三角函數(shù)式的化簡技巧(1)化切為弦，即把正切函數(shù)都化為正、余弦函數(shù)，從而減少函數(shù)名稱，達到化繁為簡的目的.(2)對于含有根號的，常把根號里面的部分化成完全平方式，然后去根號達到化簡的目的.(3)對于化簡含高次的三角函數(shù)式，往往借助于因式分解，或構(gòu)造sin2α＋cos2α＝1，以降低函數(shù)次數(shù)，達到化簡的目的.思維升華角度1弦切互化求值【例3－1】已知tanα＝2.題型三三角函數(shù)式的求值(2)求2sin2α－sinαcosα＋cos2α的值.思維升華由上知，θ為第二象限角，所以sinθ－cosθ>0，已知sinα±cosα，sinαcosα求值問題，一般利用三角恒等式，采用整體代入的方法求解.涉及的三角恒等式有：(1)(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ；(2)(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ；(3)(sinθ＋cosθ)2＋(sinθ－cosθ)2＝2；(4)(sinθ－cosθ)2＝(sinθ＋cosθ)2－4sinθcosθ.上述三角恒等式告訴我們，已知sinθ＋cosθ，sinθ－cosθ，sinθcosθ中的任何一個，則另兩個式子的值均可求出.思維升華又α∈(0，π)，則sinα>0，cosα<0，解析由題中等式易知cosα≠0，整理得9tan2α＋30tanα－11＝0，即(3tanα－1)(3tanα＋11)＝0，題型四三角恒等式的證明思維升華角度2條件恒等式的證明【例4－2】

已知tan2α＝2tan2β＋1，求證：sin2β＝2sin2α－1.

證明因為tan2α＝2tan2β＋1，所以tan2α＋1＝2tan2β＋2.即cos2β＝2cos2α，所以1－sin2β＝2(1－sin2α)，即sin2β＝2sin2α－1.含有條件的三角恒等式證明的常用方法(1)直推法：從條件直推到結(jié)論；(2)代入法：將條件代入到結(jié)論中，轉(zhuǎn)化為三角恒等式的證明；(3)換元法：把條件和要證明的式子的三角函數(shù)問題轉(zhuǎn)換為代數(shù)問題，利用代數(shù)即可完成證明.思維升華∴原等式成立.證明設(shè)sin2A＝m(0<m<1)，sin2B＝n(0<n<1)，則cos2A＝1－m，cos2B＝1－n.課堂小結(jié)分層訓(xùn)練素養(yǎng)提升3一、選擇題DAB解析原式＝sin2α＋cos2α(cos2α＋sin2α)＝sin2α＋cos2α＝1.CAB二、填空題6.化簡(1＋tan215°)·cos215°＝________.1三、解答題9.已知tanα＝2，求下列代數(shù)式的值：∴左邊＝右邊，原等式成立.BB解析lg(1＋sinA)＝m，lg(1－sinA)＝－n，所以lg(1－sin2A)＝m－n，所以lg(cos2A)＝m－n，(3)證明：?x∈R，cos2x－sin2x＝cos4x－sin4x.(4)推測?x∈R，cos2x－sin2x與cos2x的關(guān)系，不需證明.(3)證明

cos4x－sin4x＝(cos2x＋sin2x)(cos2x－sin2x)＝cos2x－sin2x.(4)解推測cos2x－sin2x＝cos2x.14.設(shè)α是第三象限角，問是否存在實數(shù)m，使得sinα，cosα是關(guān)于x的方程8x2＋6mx＋2m＋1＝0的兩個根？若存在，求出實數(shù)m；若不存在，