2020年上海楊浦區(qū)控江中學(xué)高一下期中數(shù)學(xué)試卷

期中數(shù)學(xué)試卷題號(hào) -二三總分得分一、選擇題（本大題共4小題，共12.0分）TOC\o"1-5"\h\z.若a是象限角，則下列各式中，不恒成立的是（ ）A.tan（n+a）=tan（-a） B.j=、士 J t-C._'：；：=. D.（seca-1）（seca+1）=tan2an 4#f.若.…L，：…--，則角0的終邊在第（ ）象限.■rA.一 B.二 C.三 D.四.在平面直角坐標(biāo)系中，仁，：「.，「，.?:是圓％2+y2=1上的四段弧（如圖），點(diǎn)P其中一段上，角a以0%為始邊，OP為終邊.若tana<cosa<sina,則P所在的圓弧A.? B.二 C.三一 D.」.對(duì)于數(shù)列{an},若存在常數(shù)M使得對(duì)任意nEN*,an與an+1中至少有一個(gè)不小于M,貝U記作{an}>M,那么下列命題正確的是（ ））“A.若{an}>M,則數(shù)歹U{an}各項(xiàng)均大于或等于MB.若{an}>M,{bn}>M，則{an+bn}>2MC.若{an}>M，則{an2}>M2D.若{an}>M,則{2an+1}>2M+1二、填空題（本大題共11小題，共33.0分）.若扇形的圓心角為，半徑為2,則扇形的面積為.4.若點(diǎn)P（-3,y）是角a終邊上的一點(diǎn)，且〕二二一，則y=..已知sina+cosa=3,則Usin2a的值為..若等差數(shù)列U{an}中，a6=3,{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則S11=..若二?：」=；且tana<0,則」，二；;、=..我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層燈數(shù)為 第1頁，共10頁.將式子,；,「+ ；化成Acos(a+p)(其中A>0,pG［-n,n))的形式為.若一>.［且」.：」=二則31r...數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和Sn滿足：、1—武-7,nGN*，則數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式an=.若tana,tan0是方程/十4V取+5—。的兩根，且a、戶丘,,］則a+0=.已知k是正整數(shù)，且1女W2019,則滿足方程：sin1°+sin2°+…+sink°=sin1°,sin2°?…sink°的k有個(gè).三、解答題(本大題共6小題，共63.0分).將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣：356891012131415按照以上排列的規(guī)律，第n行(n23)從左向右的第3個(gè)數(shù)為.已知tana=2.(1)求n” 上的值；⑵求.，，、的值..已知｛an｝為等差數(shù)列，a3+a8=10,a6=6.(1)求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；(2)求a2+a5+a8+…+a68的值.第2頁，共10頁

19.已知1卜\, | .(1)判斷tanr+tany的正負(fù)性，并說明理由;(2)若3口1二=.，求cos2x和cosy的值.20.對(duì)于集合Q=｛%20.對(duì)于集合Q=｛%%…，0〃｝和常數(shù)00,定義：：匚0名“%—狐)十”￡；"/一%)十...+匚￡?/(%一白口)為集合Q相對(duì)00的“余弦方差”.(1)若集合」』=「.二，0。=0,求集合Q相對(duì)00的“余弦方差”；(2)若集合」」=、：.「，證明集合Q相對(duì)于任何常數(shù)00的“余弦方差”是一個(gè)常數(shù)，并求這個(gè)常數(shù)；(3)若集合二=:心『，ae[0,n),歸[n,2n),相對(duì)于任何常數(shù)00的“余弦方差”是一個(gè)常數(shù)，求a,P的值.21.設(shè)｛%｝是等差數(shù)列，｛2｝是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，且4=b1=1,a2+b3=a3+b2=7.(1)求｛與｝、｛bj的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)cn=1VnGN*，若c3，ck,cm成等差數(shù)列(k、m為正整數(shù)且3Vk<m),求k和m的值；(3)設(shè)Bn為數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和，是否存在實(shí)數(shù)p，使得+]i+j?對(duì)一切nGN*均成立？若存在，求出p的最大值；若不存在，說明理由.第3頁，共10頁答案和解析.【答案】A【解析】解：對(duì)于A,左邊二tan(n+a)=tana，tan(-a)=右邊，故不成立；對(duì)于B，左邊=-tana=-=右邊，故成立；對(duì)于C左邊==,二右邊，故成立；「一 ，、r 1 、 1 、 1￡inLQf ,、r對(duì)于D，左邊=(-1)( +1)=.-1=?=tan2a=右邊.故選：A.利用誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式逐一化簡(jiǎn)求解即可.本題考查運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值，考查同角三角函數(shù)間的關(guān)系式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題..【答案】D一-IL.1 4,95 甘12f, 3燈一g?【解析】解：若「：.,與=,，貝U2kn+.,＜二＜2kn+n,kEZ,a4kn+.<0<4kn+2n,故角0為第四象限角，■J故選：D.先求出;的范圍，可得0的范圍，從而得出結(jié)論.本題主要考查三角函數(shù)在各個(gè)象限中的符號(hào)，不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題..【答案】C【解析】【分析】本題主要考查三角函數(shù)象限和符號(hào)的應(yīng)用，分別判斷三角函數(shù)線的大小是解決本題的關(guān)鍵.根據(jù)三角函數(shù)線的定義，分別進(jìn)行判斷排除即可.【解答】解：如圖：A.在AB段，正弦線小于余弦線，即cosa<sina不成立，故A不滿足條件.B.在CD段正切線最大，則cosa<sina<tana,故B不滿足條件.C.在EF段，正切線，余弦線為負(fù)值，正弦線為正，第4頁，共10頁滿足tana<cosa<sina,。.在GH段，正切線為正值，正弦線和余弦線為負(fù)值，滿足cosa<sina<tana不滿足tana<cosa<sina.故選：C.4.【答案】D【解析】解：A中，在數(shù)列1,2,1,2,1,2…中，M可以為1.5,歹U｛%｝各項(xiàng)均大于或等于M不成立，故A不正確；B中，數(shù)列｛an｝為1,2,1,2,1,2…，｛bn｝為2,1,2,1,2…，M可以為1.6,而｛an+bn｝各項(xiàng)均為3,則｛an+bn｝>2M不成立，故B不正確；C中在數(shù)列1,2,1,2,1,2…中，M可以為-3,此時(shí)｛an2｝>M2不正確，C錯(cuò)誤；D中，若｛an｝>M,則｛2an+1｝中，2an+1與2an+1+1中至少有一個(gè)不小于2M+1,故｛2an+1｝>2M+1正確.故選：D.舉出反例，易知A、B、C不正確；根據(jù)題意，若｛an｝>M,則｛2an+1｝中，2an+1與2an+1+1中至少有一個(gè)不小于2M+1,故可得D正確.本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要真正理解定義｛an｝>M..【答案】.【解析】解：；扇形的圓心角為二半徑為2,???扇形的面積為S」xxx22x'.=.W JJ故答案為：:由已知利用扇形的面積公式即可計(jì)算得解.本題主要考查了扇形的面積公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題..【答案】-4【解析】解：?.?點(diǎn)P(-3,y)是角a終邊上的一點(diǎn)，且』?'二='=■.,則y=-4,故答案為：-4.由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義，求出y的值.本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題..【答案】：【解析】解：；已知sina+cosa=，平方可得1+2sinacosa=1+sin2a=-,解得sin2a=-.,,故答案為-二把所給的條件平方，再利用二倍角公式求得sin2a的值.本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.第5頁，共10頁.【答案】33(ft,+a.)X112a.X11【解析】解：根據(jù)題意，在等差數(shù)列｛%｝中，S11= =_=11a6=33,故答案為：33.(fl,+du)x11根據(jù)題意，由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式分析可得S11= : =11a6,計(jì)算即可得答案.本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，涉及等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.4.【答案】--3 時(shí)【解析】解：二>0,且tana=—<0,.??sina<0./霍、—: -T~4a：..-.；-sina—I「?：、..■=-..故答案為：-1.由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，誘導(dǎo)公式即可計(jì)算求解.本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，誘導(dǎo)公式在三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題..【答案】3【解析】解：設(shè)塔的頂層共有a1盞燈，則數(shù)列｛an｝公比為2的等比數(shù)列，aS7=「381解得a1=3.故答案為：3.設(shè)塔的頂層共有a1盞燈，則數(shù)列U｛an｝公比為2的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式能求出結(jié)果.本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題..【答案】I【解析】解：=2('，；??"I；?、:；"?=2cos(--,'.0,故答案為：2cos(」「;).直接結(jié)合輔助角公式即可化簡(jiǎn).本題主要考查了輔助角公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題..【答案】-33?t 4 ? 7-3【解析】解：若?工二且，,：」=-,Asina--..1——.,：-"=--,firl-costfL+s則LL□:二=n\~=~=-3，T故答案為：-3.第6頁，共10頁由題意利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得cosa,再利用半角的正切公式求得tan」的值.本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，半角的正切公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.YC“、(凡注=1.【答案】，劫I”三二【解析】解：根據(jù)題意，數(shù)歹U｛勾｝的前n項(xiàng)和Sn滿足：，.—，丁+7,nGN*,當(dāng)n=1時(shí)，a1=S「1+7=8,當(dāng)n>2時(shí)，a=S-S尸(n2+7)-[(n-1)2+7]=2n-1,nnn-1而a1=8不滿足an=2n-1；_,f肌=1故-L：一屋|二二二；、fRfr=1故答案為：，」；l,；i±2.根據(jù)題意，在數(shù)列｛an｝的Sn公式中令n=1,可得a1的值，當(dāng)n>2時(shí)，分析可得an=SnSn-1=2n-1,驗(yàn)證a1是否滿足an=2n-1,綜合即可得答案.本題考查數(shù)列的前n項(xiàng)和與通項(xiàng)公式的關(guān)系，注意驗(yàn)證n=1是否滿足，屬于基礎(chǔ)題..【答案】一，【解析】解：由題意可得，tana+tan0=-4」：<0,tanatan0=5>0,Mana<0,tan0<0,又「a、E二，，所以a,0E，J,所以a+昵(-n,0),rdMfl+rcr計(jì)g一網(wǎng)55所以tan(a+B)=i=i二=\'1,所以a+p=-..故答案為：-：.由已知結(jié)合方程的根與系數(shù)關(guān)系及兩角和的正切公式即可求解tan(a+p),然后結(jié)合角a+p的范圍即可求解.本題主要考查了方程的根與系數(shù)關(guān)系及兩角和的正切公式的應(yīng)用，屬于中檔試題..【答案】11【解析】解：由三角函數(shù)的單調(diào)性及值域，可知sin1°?sin2°…sink°<1..,.除k=1外只有當(dāng)?shù)仁絪in1°+sin2°+…+sink°=sin1°?sin2°…sink°的左右兩邊均為0時(shí)等式成立，則k=1、359、360、719、720、1079、1080、1439、1440、1799、1800時(shí)等式成立，滿足條件的正整數(shù)k有11個(gè).故答案為：11.由三角函數(shù)的值域可知，除k=1外當(dāng)?shù)仁絪in1°+sin2°+…+sink°=sin1°?sin2°…sink。的左右兩邊均為0時(shí)等式成立，由此可得正整數(shù)k的個(gè)數(shù).本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，尋找規(guī)律是解答該題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題..【答案】解：前n-1行共有正整數(shù)1+2+…+(n-1)個(gè)，即.個(gè)，第7頁，共10頁因此第n行第3個(gè)數(shù)是全體正整數(shù)中第.、+3個(gè)，即為'.故第n行（n23）從左向右的第3個(gè)數(shù)為.二【解析】首先找出前n-1行正整數(shù)的個(gè)數(shù)，前n-1行整數(shù)共有1+2+…+（n-1）個(gè)，然后找出第n行第3個(gè)數(shù).本小題考查歸納推理和等差數(shù)列求和公式，難點(diǎn)在于求出數(shù)列的通項(xiàng)，解決此題需要一定的觀察能力和邏輯推理能力..【答案】解：（1）???tana=2,ITTOC\o"1-5"\h\z7r tana4tm4 2+1???33：，，■；= -=_.= ：.；；1—^ncr-士如甘,:tana=2,劃打2就iwte於窕 ZMnar2 1 1??烈可,一0反仃+1一累計(jì)%+為n1—31削%—"—至【解析】（1）由已知利用兩角和的正切函數(shù)公式即可計(jì)算得解.（2）由已知利用二倍角公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可計(jì)算得解.本題主要考查了兩角和的正切函數(shù)公式，二倍角公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.12tli+Dd=1。.【答案】解：（1）依題意：由Wa8=10,a6=6得方程組：，）—5—3（%,d為首項(xiàng)和公差）他=T解得：，：；=2,通項(xiàng)公式為：an=2n-6（nGN*）；（2）易知a2+a5+a8+…+a68也為等差數(shù)列求和；且該數(shù)列項(xiàng)數(shù)為，：=： ?=二;項(xiàng)，首項(xiàng)a2=-2,公差為3d=6.,,-[■ ‘-；I:;；：I…I:;=二,二I. '11=IKJ.j2nl+l10【解析】（1）依題意：由a3+a8=10,a6=6得方程組：?「— —3（a?d為首項(xiàng)和公差）聯(lián)立解得即可得出.（2）易知a2+a5+a8+…+a68也為等差數(shù)列求和；且該數(shù)列項(xiàng)數(shù)為l..+L二：項(xiàng)，首項(xiàng)a2=-2,公差為3d=6,利用求和公式即可得出.本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題..【答案】解：（1）「sin（%+y）=sinxcosy+cos%siny,sinxsinystnxc^y1cosx^ny烈件（了斗川 ?,tan%+tany= + = = = ,，:0<%<.，.<y<n，第8頁，共10頁acosx>0,cosy(0,TOC\o"1-5"\h\z則tanx+tany= (0.rjrx1 Zrciny4(2)由K3二二二，得tanx= =,~~1-c,J 3 ? 1v0<x<,acosx=.,sinx=_,貝Ucos2x=2cos2x-1=2xJ--1=-J.-0<x<, <y<n,.?<x+y<,5 12則由I■■■=.得cos(x+y)=-|,貝Ucosy=cos(x+y-x)=cos(x+y)cosx+sinx(x+y)sinx=-1：.、-+1---=-.,-.【解析】(1)根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系進(jìn)行化簡(jiǎn)，結(jié)合三角函數(shù)符號(hào)與角的關(guān)系進(jìn)行判斷即可.(2)利用三角函數(shù)的倍角公式以及兩角和差的三角公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.本題主要考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和求值，結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系以及三角函數(shù)的倍角公式以及兩角和差的三角公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，難度中等..【答案】解：(1)當(dāng)集合為二=：：,「，。0=0時(shí)，集合Q相對(duì)00的“余弦方差?、…」二；(2)當(dāng)集合=二：時(shí)，集合Q相對(duì)于常數(shù)00的“余弦方差”CM依,即4CM依,即4cos3{y-aj4-cas\n4)COS審白/4*=出汩。4 1A此時(shí)“余弦方差”是一個(gè)常數(shù)，且常數(shù)為;;(3)當(dāng)集合二二,「□.『「，ae[0,n),0e[n,2n)時(shí)，集合Q相對(duì)于任何常數(shù)00的“余弦方差”cos產(chǎn)=?[( 」：??二..I，：??，；)cos20八+(1+sin2a+sin2B)sin0ncos0n+( 產(chǎn)=?[( 」：??二..I，：??，；)cos20八+(1+sin2a+sin2B)sin0ncos0n+( ：‘；！”. =,；)sin20c]0 0 0 0要是上式是一個(gè)常數(shù)，則1+sin2a+sin20=0且：,?，?.【；=-.、?，丁/一.」「3,第9頁，共10頁由ae［0,n),昵［n,2n)取a=^,P=,二可滿足上式.【解析】由新定義結(jié)合三角函數(shù)公式分別計(jì)算可得.本題考查新定義，涉及三角函數(shù)的恒等變換，屬中檔題..【答案】解：(1)依題意，設(shè)已知兩數(shù)列的公差為昆公比為q，q>0,由ai=b1=1,a2+b3=a3+b2=7，i1+d+^-7 3=2 j