高中圓錐曲線(橢圓、雙曲線、拋物線)規(guī)律技巧總結(jié)

八、圓錐曲線1.圓錐曲線的兩個定義：（1）第一定義中要重視“括號”內(nèi)的限制條件：橢圓中，與兩個定點(diǎn)F，F(xiàn)的距離的和等于常數(shù)，且此常數(shù)一定要大于，當(dāng)常數(shù)等于時，軌跡是線段FF，當(dāng)常數(shù)小于時，無軌跡；雙曲線中，與兩定點(diǎn)F，F(xiàn)的距離的差的絕對值等于常數(shù)，且此常數(shù)一定要小于|FF|，定義中的“絕對值”與＜|FF|不可忽視。若＝|FF|，則軌跡是以F，F(xiàn)為端點(diǎn)的兩條射線，若﹥|FF|，則軌跡不存在。若去掉定義中的絕對值則軌跡僅表示雙曲線的一支。如（1）已知定點(diǎn)，在滿足下列條件的平面上動點(diǎn)P的軌跡中是橢圓的是A．B．C．D．（答：C）；（2）方程表示的曲線是_____（答：雙曲線的左支）（2）第二定義中要注意定點(diǎn)和定直線是相應(yīng)的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線，且“點(diǎn)點(diǎn)距為分子、點(diǎn)線距為分母”，其商即是離心率。圓錐曲線的第二定義，給出了圓錐曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離與此點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線距離間的關(guān)系，要善于運(yùn)用第二定義對它們進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化。如已知點(diǎn)及拋物線上一動點(diǎn)P（x,y）,則y+|PQ|的最小值是_____（答：2）2.圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（標(biāo)準(zhǔn)方程是指中心（頂點(diǎn)）在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對稱軸時的標(biāo)準(zhǔn)位置的方程）：（1）橢圓：焦點(diǎn)在軸上時（）（參數(shù)方程，其中為參數(shù)），焦點(diǎn)在軸上時＝1（）。方程表示橢圓的充要條件是什么？（ABC≠0，且A，B，C同號，A≠B）。如（1）已知方程表示橢圓，則的取值范圍為____（答：）；（2）若，且，則的最大值是____，的最小值是___（答：）（2）雙曲線：焦點(diǎn)在軸上：=1，焦點(diǎn)在軸上：＝1（）。方程表示雙曲線的充要條件是什么？（ABC≠0，且A，B異號）。如（1）雙曲線的離心率等于，且與橢圓有公共焦點(diǎn)，則該雙曲線的方程_______（答：）；（2）設(shè)中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)、在坐標(biāo)軸上，離心率的雙曲線C過點(diǎn)，則C的方程為_______（答：）（3）拋物線：開口向右時，開口向左時，開口向上時，開口向下時。3.圓錐曲線焦點(diǎn)位置的判斷（首先化成標(biāo)準(zhǔn)方程，然后再判斷）：（1）橢圓：由,分母的大小決定，焦點(diǎn)在分母大的坐標(biāo)軸上。如已知方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則m的取值范圍是__（答：）（2）雙曲線：由,項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)決定，焦點(diǎn)在系數(shù)為正的坐標(biāo)軸上；（3）拋物線：焦點(diǎn)在一次項(xiàng)的坐標(biāo)軸上，一次項(xiàng)的符號決定開口方向。特別提醒：（1）在求解橢圓、雙曲線問題時，首先要判斷焦點(diǎn)位置，焦點(diǎn)F，F(xiàn)的位置，是橢圓、雙曲線的定位條件，它決定橢圓、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的類型，而方程中的兩個參數(shù)，確定橢圓、雙曲線的形狀和大小，是橢圓、雙曲線的定形條件；在求解拋物線問題時，首先要判斷開口方向；（2）在橢圓中，最大，，在雙曲線中，最大，。4.圓錐曲線的幾何性質(zhì)：（1）橢圓（以（）為例）：①范圍：；②焦點(diǎn)：兩個焦點(diǎn)；③對稱性：兩條對稱軸，一個對稱中心（0,0），四個頂點(diǎn)，其中長軸長為2，短軸長為2；④準(zhǔn)線：兩條準(zhǔn)線；⑤離心率：，橢圓，越小，橢圓越圓；越大，橢圓越扁。如（1）若橢圓的離心率，則的值是__（答：3或）；（2）以橢圓上一點(diǎn)和橢圓兩焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積最大值為1時，則橢圓長軸的最小值為__（答：）（2）雙曲線（以（）為例）：①范圍：或；②焦點(diǎn)：兩個焦點(diǎn)；③對稱性：兩條對稱軸，一個對稱中心（0,0），兩個頂點(diǎn)，其中實(shí)軸長為2，虛軸長為2，特別地，當(dāng)實(shí)軸和虛軸的長相等時，稱為等軸雙曲線，其方程可設(shè)為）；（5）拋物線上的兩點(diǎn)A、B到焦點(diǎn)的距離和是5，則線段AB的中點(diǎn)到軸的距離為______（答：2）；（6）橢圓內(nèi)有一點(diǎn)，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，在橢圓上有一點(diǎn)M，使之值最小，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為_______（答：）；8、焦點(diǎn)三角形（橢圓或雙曲線上的一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形）問題：常利用第一定義和正弦、余弦定理求解。設(shè)橢圓或雙曲線上的一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離分別為，焦點(diǎn)的面積為，則在橢圓中，①＝，且當(dāng)即為短軸端點(diǎn)時，最大為＝；②，當(dāng)即為短軸端點(diǎn)時，的最大值為bc；對于雙曲線的焦點(diǎn)三角形有：①；②。如（1）短軸長為，離心率的橢圓的兩焦點(diǎn)為、，過作直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，則的周長為________（答：6）；（2）設(shè)P是等軸雙曲線右支上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是左右焦點(diǎn)，若，|PF1|=6，則該雙曲線的方程為（答：）；（3）橢圓的焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)P為橢圓上的動點(diǎn)，當(dāng)eq\o(PF2,\s\up6(→))·eq\o(PF1,\s\up6(→))<0時，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是 （答：）；（4）雙曲線的虛軸長為4，離心率e＝，F(xiàn)1、F2是它的左右焦點(diǎn)，若